On considère l’algorithme suivant :

DEVOIR A LA MAISON N°3. TS2.

Pour le mercredi 30 septembre 2015 I. D après bac

Partie A

On considère l’algorithme suivant :

Variables k et p sont des entiers naturels u est un réel

Entrée Demander la valeur de p Traitement Affecter à u la valeur 5

Pour k variant de 1 à p

Affecter à u la valeur 0,5u + 0,5(k – 1) – 1,5 Fin de pour

Sortie Afficher u

Faire fonctionner cet algorithme pour p = 2 en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.

Quel nombre obtient-on en sortie ? Partie B

Soit   u

n

la suite définie par son premier terme u

0

= 5 et, pour tout entier naturel n par u

n 1

0,5u

n

0,5n 1,5.

1. Modifier l’algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de u

n

pour n variant de 1 à p.

2. À l’aide de l’algorithme modifié, après avoir saisi p = 4, on obtient les résultats suivants :

n 1 2 3 4

u

_n

1 – 0,5 – 0,75 – 0,375

Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite ( ) ^u

ⁿ

est décroissante ? Justifier.

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, u

n 1

u

n

. Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite ( ) ^u

ⁿ

^?

4. Soit v

_n

la suite définie pour tout entier naturel n par v

_n

0,1u

_n

0,1n 0,5.

Démontrer que la suite ( ) ^v

n

est géométrique de raison 0,5 et exprimer alors v

_n

en fonction de n.

5. En déduire que, pour tout entier naturel n, u

_n

10 0,5

ⁿ

n 5.

6. Déterminer alors la limite de la suite ( ) ^u

n

. II. Déterminer les limites suivantes :

1. lim

x

3x

⁵

3x

⁴

5 x² x x

⁵

x 1 . 2. lim

x

2x

³

−x

²

x−1 3. lim

x 3

x² (x −3)

⁴

4. lim

x 2

3−2 x 2−x 5. lim

x 3−

2 5 x

x² 4x 3

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°3. TS2

I. D après bac.

Partie A

On peut construire la table d exécution suivante :

k p u

2

5

1 1

2 0,5

Partie B

1. Il suffit de déplacer la ligne "Afficher u" pour la mettre avant le "Fin de pour".

2. u

₄

u

₃

donc la suite ( ) ^u

ⁿ

n est pas décroissante.

3. Initialisation : pour n

0

3 : u

4

0,375 et u

3

0,5 donc u

4

u

3

: la propriété est vraie pour n

₀

3.

Hérédité : soit p un entier naturel supérieur ou égal à 3 tel que u

p 1

u

p

. Montrons que u

p 2

u

p 1

.

u

p 1

u

p

donc 0,5u

p 1

0,5( p 1) 1,5 0,5u

p

0,5( p 1) 1,5 donc u

_{p 2}

0,5u

_p

0,5p 1,5 0,5

donc u

p 2

u

p 1

0,5 donc u

p 2

u

p 1

Conclusion : pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, u

_{n 1}

u

_n

. La suite ( ) ^u

n

est donc croissante à partir du rang 4.

4. v

_{n 1}

0,1u

_{n 1}

0,1( n 1) 0,5 0,1 ( ^0,5u

ⁿ

^{0,5n 1,5} ) ^{0,1n 0,1 0,5}

0,05 un 0,05n 0,25 0,5 ( ^0,1u

ⁿ

^{0,1n 0,5} ) ^0,5v

ⁿ

^.

La suite ( ) ^v

ⁿ

est donc géométrique de raison 0,5 et de premier terme v

0

0,1 5 0,1 0 0,5 1 Pour tout n de , on a alors v

n

1 0,5

ⁿ

0,5

ⁿ

. Soit v

_n

la suite définie pour tout entier naturel n par

0,1 0,1 0,5

n n

v u n

.

5. v

n

05

ⁿ

0,1u

n

0,1n 0,5 0,5

ⁿ

u

n

10 ( ^0,5

ⁿ

^{0,1n 0,5} ) ^u

n

10 0,5

ⁿ

n 5.

6. 1 0,5 1 donc lim

n

0,5

ⁿ

0 et lim

n

n 5 . Ainsi, lim

n

u

n

.

II.

1. lim

x

3x

⁵

3x

⁴

5 x² x

x

⁵

x 1 lim

x

3x

⁵

x

⁵

lim

x

3 3.

2. lim

x

2x

³

−x

²

x−1 lim

x

2 x

³

− 3. lim

x 3

x ² 9 ; lim

x 3

(x 3)

⁴

0 et, pour tout x de , ( x 3)

⁴

0. Ainsi, lim

x 3

x ²

(x −3)

⁴

. 4. lim

x 2

3 2 x 1 ; lim

x 2

2 x 0 et, si x 2, 2 x 0 donc lim

x 2

2 x 0 . Alors lim

x 2

3−2x

2−x .

5. lim

x 3

2 5 x 12 et lim

x 3

x² 4 x 3 0.

On cherche le signe de x² 4 x 3 : 4 ; le trinôme est du signe de a 1 sauf entre les racines qui sont 1 et 3. Alors lim

x 3−

x² 4x 3 0

x 1 3 +

x² 4 x 3 + +

Ainsi, lim

x 3−

2 5x

x² 4x 3 .

Affichage :

u 0,5