On considère l’arbre suivant :

(1)

PanaMaths

[1 - 4]

Novembre 2005

On considère l’arbre suivant :

On donne :

( ) ^P ³ ₅

p = , ^p ( ^P ^{∩ =} ^S ) ² ₇ ^et ^p ( ) ^{S| P} ⁼ ² ₉

1. Compléter l’arbre ci-dessus ; 2. Calculer ^p ( ) ^S ^;

3. Les événements P et S sont-ils indépendants ?

Analyse

Il s’agit d’un exercice qui permet de passer en revue les principales connaissances et types de calculs en matière de probabilité conditionnelle.

Résolution

Question 1.

Dans un premier temps, nous allons calculer les diverses probabilités devant figurer dans l’arbre.

Æ Calcul de ^p

( )

^P ^.

S P

S

(2)

PanaMaths

[2 - 4]

Novembre 2005

On a : ^p

( )

^P ^{= −}¹ ^p

^{( )}

^P ^{= − =}¹ ³₅ ₅²

Æ Calcul de ^p

( )

^{S | P} ^.

On a :

( ) ( )

( )

2

S P 7 2 5 10

S | P

P 3 7 3 21

5 p

p p

= ∩ = = × =

Æ Calcul de ^p

(

^{S | P}

)

^.

On peut écrire immédiatement (à partir d’un sommet de l’arbre pondéré du premier niveau, la somme des probabilités conditionnelles est égale à 1) : ^p

(

^{S | P}

)

⁺ ^p

( )

^{S | P} ⁼¹^.

On peut aussi retrouver ce résultat en notant que les événements P et P forment une partition de l’univers. On a alors :

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ^{( )}

( ) ( )

( ) ^{( )}

P P S P S

S P S P

S | P P S P P

S | P S P P

p p p

p p

p p p p

p p p

= ∩ + ∩

= × + ∩ ×

= + ∩ ×

On retrouve le résultat.

Il vient alors : ^p

(

^{S | P}

)

^{= −}¹ ^p

( )

^{S | P} ^{= −}¹ ¹⁰₂₁⁼ ¹¹₂₁

Æ Calcul de ^p

(

^P^∩^S

)

^.

On utilise : ^p

( )

^P ⁼ ^p

(

^P^{∩ +}^S

)

^p

(

^P^∩^S

)

^.

Avec ^p

(

^P^∩^S

)

⁼ ²₇^et^p

^{( )}

^P ⁼³₅, il vient :

(

^P ^S

) ( )

^P

(

^P ^S

)

³₅ ²₇ ^{21 10}₃₅ ¹¹₃₅

p ∩ = p − p ∩ = − = − =

Æ Calcul de ^p

( )

^{S | P} ^.

On a : ^p

( ) ( )

^{S | P} ⁺ ^p ^{S | P} ⁼¹. Or, on a : ^p

( )

^{S | P} ⁼²₉^.

On en déduit : ^p

( )

^{S | P} ^{= − =}¹ ²₉ ⁷₉

(3)

PanaMaths

[3 - 4]

Novembre 2005

Æ Calcul de ^p

(

^P^∩^S

)

^.

On a : ^p

(

^P^∩^S

) ( ) ( )

⁼ ^p ^{S | P} ^×^p ^P ^{= × =}²₉ ²₅ ₄₅⁴

Æ Calcul de ^p

(

^P^∩^S

)

^.

On a : ^p

(

^P^∩^S

) ( ) ( )

⁼ ^p ^{S | P} ^×^p ^P ^{= × =}⁷₉ ²₅ ¹⁴₄₅

On peut alors fournir l’arbre complété suivant :

Question 2.

On a : ^p

( )

^S ⁼ ^p

(

^S^∩^P

)

⁺ ^p

(

^S^∩^P

)

⁼¹¹₃₅⁺₄₅⁴ ⁼^{99 28}₃₁₅⁺ ⁼¹²⁷₃₁₅^.

( )

^S ¹²⁷

p =315

Question 3.

On a calculé à la question 1. :

(

^P ^S

)

¹¹

p ∩ =35.

S P

S

(4)

PanaMaths

[4 - 4]

Novembre 2005

Par ailleurs, on a :

( )

^P ³

p =5 et, d’après la question précédente,

( )

^S ¹²⁷

p =315. On en déduit :

( ) ( )

^S ^P ¹²⁷ ³ ¹²⁷ ¹¹

315 5 525 35

p p = × = ≠ .

Comme ^p

( ) ( )

^S ^p ^P ^≠ ^p

(

^P^∩^S

)

, on en déduit que les événements P et S ne sont pas indépendants.

Les événements P et S ne sont pas indépendants.

On considère l’arbre suivant :

PanaMaths

Novembre 2005