\{Éruoons QueNu:rnrrr.es

(1)

,1 ; ^,

J ^r.r-6^1r,^r;

,l lû

_[O

_â' {rolvr,*r,

\{Éruoons QueNu:rnrrr.es

³

I]niv.

Paris

VIII.

2014-2015

ExaH,rpx 2Èrvrp strssroN

Durée : 2 ^i:.eures

Les calculatrices sont interdites, et les télé.phones rloi,uent ê,trv étein,ts.

Exercice 1 -

^On^considèreI'application linéa,ire

.f ,R3 4R3, _{:r,y,z)

^r.+

(-r3y 2,,ÿ*2,2x-A+Jz), /O.S

^a,)Ecrirc la mntrice de

/

^{dans les}^ba.sesca,noniques.

/o.5+/.!.+ ritlos

b)

Donner une farnille génér:atrice cle

lur/.

Calculer: son râ,rg, et

et

déduire une base et la dimension de

Inil.

/o,414

c) En cléduire la dimension de

Ker/. L'api:lication /

^est-clieinjectii,e? Suriectir,.e?

lz -4 1l

Exercice2-

Clonsidér'onslarnatrice

e:lZ O ¹ _l.

1,1 1 lJ

1.

Dérnontrer que cette matrice Â est inversible, et caiculer son inverse en utilisant Ie pivot

/l,S

^cle^Gauss.

( 2-4y72:-6

. ^2.

En déciuire la solution clu svstème linéaire suir.ant

: {

^2.r,

*

z

:7

/4 [.,,*y+::4

Exercice 3 -

Déterminer les va,leurs réelles de

c pour

lesquelles Ia,

uatrice

suir,,ante est inversiblc ^:

Exercice 4 -

Dans cet exercice. on considère

la rnatri.. f : _I /g,S l.

Calctiler la matriee adjoinre de

B.

L

/4,5 2.

En déduire I'inverse de B.

Exercice

5

-

^En

utilisant

la règle cle Crzrmer, r-léteruriner la, r,aleur de

r

^clansla solution

tlu

{ +Y;:-7

s5'stème lirréaire

{ -r, *

2y

:

3

[ -, - 3y-22:t

Exercice 6 -

Consir-iérons la rna,trice

C : l 5 -6

I

2 -3 )' /-t.St.

l)éterminer le pol1,nôme caractéristique cle C.

/-t ^2.

Calculcr les valeurs proprcs do

C,

et préciser leur multipiicité.

/lr.S

^S.Déternüner une ba.se cle ciiacun des sous-espa,ces propres.

/o,g

A. La matricc

C

est-elle cliagonalisable ?

^"(ô t,rt

c*2 0

⁰

0 c1 -c-1 0 -c-7 ^c3

2c:- 4,

⁰

_-4

2c

-

^-11

-4 OI

^I

\{Éruoons QueNu:rnrrr.es

,l lû

â' {rolvr,*r,

\{Éruoons QueNu:rnrrr.es

I]niv.

VIII.

ExaH,rpx 2Èrvrp strssroN

Exercice 1 -

.f ,R3 4R3, {:r,y,z)

(-r*3y* 2,,ÿ*2,2x-A+Jz), /O.S

/

b)

lur/.

et

Inil.

/o,414

Ker/. L'api:lication /

lz -4 1l

Exercice2-

e:lZ O 1 l.

1,1 1 lJ

1.

/l,S

( 2*-4y*72:-6

. 2.

: {

*

:7

/4 [.,,*y+::4

Exercice 3 -

c pour

uatrice

Exercice 4 -

la rnatri.. f : I /g,S l.

B.

/4,5 2.

Exercice

-

utilisant

r

tlu

{ *+Y*;:-7

{ -r, *

:

[ -, - 3y-22:t

Exercice 6 -

C : l 5 -6

2 -3 )' /-t.St.

/-t 2.

C,

/lr.S

/o,g

C

^"(ô t,rt

c*2 0

0 c*1 -c-1 0 -c-7 c*3

2c:- 4,

-4

-

-4 OI

4c+1)

t 2 3l 0 1 2 l.

-1 --l -t l

@

_â' {rolvr,*r,

.f ,R3 4R3, _{:r,y,z)

(-r3y 2,,ÿ*2,2x-A+Jz), /O.S

e:lZ O ¹ _l.

( 2-4y72:-6

. ^2.

la rnatri.. f : _I /g,S l.

{ +Y;:-7

/-t ^2.

0 c1 -c-1 0 -c-7 ^c3

_-4

t 2 3l 0 1 2 _l.