Chap.6 : Inverse d'une matrice
Objectifs :
m13. Écriture matricielle d'un système linéaire m11. Matrice inverse d'une matrice carrée.
Activité n°1 : en voie d'extinction
En 1990, aux Etats-Unis, une controverse opposa des environnementalistes à des représentants de l’industrie du bois à propos de la possible extinction de l’espèce des chouettes tachetées pour cause de déforestation. Pour trancher la question, un modèle mathématique de la démographie de cette population de chouettes fut élaboré sur la base d’observations et de recensements de cette population sur une zone donnée.
Les scientifiques qui ont étudié et observé cette espèce estiment que : - Le nombre de nouveaux bébés à l’année (n+1) est égal au tiers du nombre d’adultes vivants l’année n ;
- Seuls 20 % des bébés nés l’année n parviennent au stade jeune à l’année (n+1) ; - 75 % des jeunes et 90 % des adultes de l’année n survivent pour être
comptabilisés comme adultes à l’année (n+1).
On note x0, y0 et z0 (resp x1, y1 et z1) les effectifs de chacune des classes d’âge pour l’année 1990 (resp 1991).
Enfin, on note U0 (resp U1) la matrice colonne
(
xyz000)
(resp(
xyz111)
).1.Déterminer la matrice A telle que U1=AU0.
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2.Exprimer U0 en fonction de U1. En déduire la matrice A' telle que U0=A'U1. ...
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3. Calculer AA' et A'A . Que constate-t-on ?
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La matrice A' est appelée matrice inverse de la matrice A.
Activité d'approche n°2
Un éleveur de bovins dispose de trois aliments pour l’hiver (foin, ensilé, farine) qui contiennent chacun des nutriments A, B et C selon le tableau ci-contre (unités arbitraires). Sachant que chacun de ses
animaux doit disposer quotidiennement de 6 unités de A, 3 unités de B et 5 unités de C, quelles doses de foin, d’ensilé et de farine l’éleveur doit-il fournir ? On nomme x la dose de foin, y la dose d’ensilé et z la dose de farine.
1. Traduire le problème à l’aide d’un système.
foin ensilé farine
A 1 1 1
B 1 1 0
C 0 1 1
2. Ecrire ce système sous la forme AX = B , où X et B sont des matrices
colonnes de dimension 3 × 1 et A est une matrice carrée d’ordre 3. Expliciter les
matrices A, B et X.
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3. A l’aide de la calculatrice, résoudre le problème en précisant les différentes étapes.
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4. On reprend ce problème avec le tableau ci-contre.
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foin ensilé farine
A 1 2 1
B 1 1 0
C 0 1 1
Cours n°1
Chap.6 : Inverse de matrice
I) Matrices inverses
Propriété n°1 (admise)
Soit A une matrice carrée d'ordre n. S'il existe une matrice carrée d'ordre n telle que AB=In, alors BA=In. Réciproquement, si BA=In , alors …...
Propriété n°2
Soit A une matrice carrée d'ordre n. S'il existe deux matrices B et C telles que AB=In et CA=In , alors …...
Démonstration :
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Définition n°1
Soit A une matrice carrée d'ordre n. On appelle matrice inverse, et on note
A-1, la matrice unique qui, si elle existe, vérifie AA-1=In.
Remarque :
Une telle matrice n'existe pas toujours. Exemple : (27 216)
Exemple n°1
Montrer que les matrices A=(5 64 5) et B=(−65 −45 ) sont inverses l'une de l'autre.
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Exemple n°2
Montrer que la matrice A=(−12 −01) est telle que A2=I2. En déduire que A est inversible et donner sa matrice inverse.
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Ex. n°1
Ex.30 p.95 Ex. n°2
Ex.32 p.95 Ex. n°3*
Ex.68 p.99 Ex. n°4*
Ex.70 p.99 Ex. n°5*
Ex.72 p.99
Activité n°3 : système linéaire à deux inconnues
Soit A une matrice carrée d'ordre 2. À partir de cette matrice, on construit la matrice B, d'ordre 2 (−aa2221 −aa1112).
1. Montrer que AB=I2, où est un réel que l'on déterminera.
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2. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que A soit inversible.
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3. Application : les matrices suivantes sont-elles inversibles (en cas de réponse positive, on donnera la matrice inverse) ?
a.(27 216) b.(37 216) c.(1 23 1)
Cours n°2
II) Systèmes d'équations lilnéaires et matrces Propriété n°3
Si un système d'équations linéaires a pour écriture matricielle AX=B (où X re- présente la matrice des inconnues), alors, le système admet une unique solu- tion si A est inversible : …...
Démonstration :
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Exemple n°3
Soit le système d'équations linéaires {−x−x+2y−y+y−z=12z=3z=2
1. Déterminer A tel que A(xyz)=(132)
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2. Montrer qu'il existe deux nombres a et b non nuls tels que A2 = aI3 – bA.
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3. En déduire que A est inversible et trouver les solutions du système d'équations.
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Exemple n°4
Soit A la matrice A=(1 34 2) et Q la matrice Q= (−14 31).
1. Déterminer la matrice P, inverse de Q.
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2. Calculer QAP.
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3. En déduire An, quelque soit n entier naturel.
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Ex. n°6
Ex.33 p.95
Ex. n°7*
Ex.34 p.95 Ex. n°8*
Ex.77 p.99 Ex. n°9**
Ex.81 p.100 Ex. n°10***
Ex.82 p.100 Ex. n°11***
Sujet C p.106 Ex. n°12***
Sujet D p.106 Ex. n°13***
Ex.107 p.109 Ex. n°14***
Ex.105 p.108
Indices et résultats
Ex.1 (30 p.95) : ( calculer AB ) Ex.2 (32 p.95) : A-1=(−53 −12 )
Ex.3* (68 p.99) : B-1=B.
Ex.4* (70 p.99) : 1. A2 = et A3 = -8I2.2. A-1 =
(
1434 −1414)
Ex.5* (72 p.99) : / (cf livre) Ex.6 (33 p.95) : (3;0)
Ex.7* (34 p.95) : (−13 ;−1 3;5
3)
Ex.8* (77 p.99) : 1.(−75 a+45b ;2a−b) 2. (9,55 ;-11,5) Ex.9** (81 p.100) : 1. A-1 = 1
20 (24 −43 ) 2. x = 201 (-62z – 18) et y = 1
20 (19z + 11) Ex.10*** (82 p.100) : 1. M = (−4 2 116 4 136 6 1) 2. f(x) = 7x2 + 4x – 10 3. g(x)= (14 p+1
2) x2 +
(–2p – 4)x + (4p + 6)
Ex.11*** (Sujet C p.106) : 1. B = (−2−24 −4 213 71) et AB = (1000 1000 1000) 2. A-1= 101 B
3. M(– 0,4;2,1;1,3) 4. a3 = –10 ; b3 = 0 ; c3 = 4. 5. a4 = – 40 ; b4 = –10 ; c4 = 16 6. par ….. 7. a5
= –160 ; b5 = – 40 ; c5 = 54 et a6 = –540 ; b6 = –160 ; c6 = 176.
Ex.12*** (Sujet D p.106) : 1. Proposition A fausse – Proposition B fausse 2.
Proposition C fausse 3. Proposition D fausse 4. Proposition E vraie : un= 4n.
Ex.13*** (107 p.109) 1.a. 0,36 1.b. 0,48 2.a. R1 = ( 0 0,6 0 0,4 0 ) et
R2 = ( 0,36 0 0,48 0 0,16 ) 2.d.Rn = R0 M n. 3.b. Le deuxième et le quatrième. 4.a. pn
est la probabilité d'atteindre le point 1 en n pas.
Ex.14*** (105 p.108) 4. P= (21 −11 )5. D=(20 −10 )6.
An = 1
3 ((−1)(−1)n+2n+2n+1n (−2)×(−1)2×(−1)nn++22nn+1)7. un = 13 ((−1)n+2n+1)
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