AP Matrices ECO1 LMA 2020/21
Exercice 1
Chaque question peut être traitée indépendamment des autres.
1. SoitA=
1 −1 1 0
. Montrer queAest inversible et calculer son inverse.
2. Soit A une matrice carrée non nulle. Supposons queA2016= 0. Montrer que An’ est pas inversible.
3. SoitM la matrice définie parM =
5 1 2 0 5 3 0 0 5
et soitJ la matrice définie parJ =M−5I3. (a) CalculerJ,J2 etJ3.
En déduire, pour toutk∈N∗,Jk
(b) A l’aide de la formule du binôme de Newton, calculerMn pour toutn∈N
Exercice 1. Soienta,b etc trois réels donnés. On posea2+b2+c2=set on supposes6= 0.
On considère la matriceM =
0 −a −b a 0 −c b c 0
.
1. (a) Justifier queAn’est pas la matrice nulle.
(b) Calculer M2 etM3.
(c) Justifier par le calcul queM3=−sM.
2. (a) Montrer que siM est inversible alors M2+sI3= 0
(b) Montrer que l’hypothèse “M est inversible” conduit à une contradiction.
(c) Conclure.
Exercice 2
Soit A, J etI les trois matrices carrées d’ordre 2définies par : A=
1 3 3 1
, J = 1 1
1 1
, I= 1 0
0 1
1. Déterminer deux réelsaet btels queA=aJ+bI.
2. CalculerJ2 en fonction deJ.
3. À l’aide d’un raisonnement par récurrence, établir pour tout entier natureln, la relation suivante : An= (−2)nI+1
2[4n−(−2)n]J 4. Donner l’expression explicite de An sous forme d’une matrice d’ordre 2.
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