Partie I : Alg` ebre Lin´ eaire

Universit´e des Antilles et de la Guyane Facult´e des Sciences Exactes et Naturelles

D´epartement de Math´ematiques et Informatique, Campus de Fouillole D´epartement Scientifique Interfacultaire, Campus de Schoelcher

DEUG MIAS — Module MIP2 — Math´ematiques 2

* * * Examen de septembre 2001 * * *

Dur´ee : 3 heures — Aucun document ni calculatrice autoris´es !

NB : La clart´e de la r´edaction est un ´el´ement important dans l’appr´eciation des copies ! [1 pt]

Partie I : Alg` ebre Lin´ eaire

Exercice 1. Soit f :R³ →R⁴ l’application d´efinie par

f(x, y, z) = (3x−z, x−y+ 2z,5x+ 3y−4z). (a) Montrer que f est une application lin´eaire.

(b) On consid`ere la base canoniqueB= (e₁, e₂, e₃) de l’espace vectoriel R³. Ecrire la matriceA def dans la base B.

(c) D´eterminer kerf. En d´eduire le rang de f, puis imf.

(d) D´eduire de la question pr´ec´edente queAest une matrice inversible et calculer son inverse A⁻¹.

(e) D´eterminer l’application inverse de f que l’on noteraf⁻¹.

Exercice 2. Soit f : R⁵ → R⁴ une application lin´eaire dont la matrice A par rapport aux bases canoniques est donn´ee par

A=









1 2 −1 0 1

2 1 −3 0 2

−3 1 2 2 −1

1 6 −3 2 3









D´eterminer kerf et imf. Quelle est la dimension de chacun de ces sous-espaces vectoriels ? Justifier votre r´eponse avec pr´ecision.

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Partie II : Analyse 2

Exercice 3. On consid`ere la fraction rationnelle F(x) = 2x³+ 4x²−1

x²+ 2x+ 3 .

(a) Effectuer la division Euclidienne de 2x³+ 4x²−1 parx²+ 2x+ 3.

(b) En utilisant la question pr´ec´edente, calculer g(x) = Rx

0 F(t) dt pourx∈R.

Exercice 4. R´esoudre sur ]1,+∞[, l’´equation diff´erentielle

(1−x)y⁰+x y= (x−1)² . (E)

Exercice 5. Soit f la fonction r´eelle d´efinie par

f(x) = x

lnx − 1 x−1 . (a) D´eterminer le domaine de d´efinition Dde f .

(b) i. Donner le d´eveloppement limit´e d’ordre 2 au voisinage de 0, de la fonctiong :t 7→ln(1 +t).

ii. Calculer le d´eveloppement limit´e d’ordre 1 au voisinage de 0, de la fonctionh:t 7→t f(1 +t).

iii. Calculer lim

x→1f(x), puis lim

x→0f(x).

iv. Montrer que la courbe (C) de f admet au voisinage de +∞, une branche parabolique de direction (Ox).

(c) Pour tout x >0 on pose

φ(x) = (lnx)²+ (x−1)²(lnx−1).

Exprimer la d´eriv´eef⁰(x) en fonction de φ(x), pour tout x∈D.

(d) Calculer φ⁰(x) et φ⁰⁰(x), pour tout x > 0. [On ´ecrira φ⁰⁰(x) = A(x) + 2B(x) lnx, o`u A etB sont des fonctions rationnelles.]

(e) i. Montrer que φ⁰⁰(x)≥0, pour toutx >0.

ii. En d´eduire le signe de φ⁰(x), puis les variations def.

∗ ∗ ∗ Fin ∗ ∗ ∗

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