On suppose que l’on a :

PanaMaths Mars 2018

Soit E un K − espace vectoriel et soit u un endomorphisme non nul de E.

On suppose que l’on a :

( )

E,

_x

/

_x

x λ u x λ x

∀ ∈ ∃ ∈ G K G = G Montrer que u est une homothétie de E.

Analyse

Notons d’abord qu’il convient de montrer : ^{∃ ∈}

^λ

^{K/∀ ∈xG E,u x}

( )

^{G =}

^λ

^xG.

Remarquons ensuite que, u n’étant pas nul, l’espace vectoriel E n’est pas réduit au vecteur nul. On va donc considérer dans un premier temps un vecteur xG

non nul de E et s’intéresser à

( )

Vect xG

… Dans un deuxième temps, on considèrera un éventuel vecteur yG

non colinéaire à xG

…

Résolution

Soit xG

un vecteur non nul de E.

Par hypothèse, il existe un scalaire λ_x tel que u x

( )

G =

λ

xxG . Soit alors yG

un vecteur non nul de ^Vect

( )

^xG . Il existe donc un scalaire non nul

α

tel que yG=αxG

et il vient : u y

( ) ( )

G =u

α

xG =

α

u x

( )

G =

αλ

xxG .

Mais par hypothèse, il existe un scalaire λ_y tel que u y

( )

G =

λ

yyG

. D’où : u y

( )

G =

λ α

y xG . On a ainsi : u y

( )

G =

αλ

xxG=

λ α

y xG

et donc α λ λ

(

x− y

)

xG=⁰G . Comme le scalaire

α

est non nul et le vecteur xG

est différent du vecteur nul, il vient finalement λ_x =λ_y.

En notant λ_x =λ, on a le résultat : ^{∀ ∈xG Vect}

( ) ( )

^{xG ,u xG =}

^λ

^xG (l’égalité est trivialement vraie pour le vecteur nul).

Si ^E=Vect

( )

^xG , on a terminé.

Remarquons que l’on a en fait montré que la restriction de u à toute droite vectorielle est une homothétie.

PanaMaths Mars 2018

Supposons maintenant ^E≠Vect

( )

^xG et considérons un vecteur non nul yG

n’appartenant pas à

( )

Vect xG

. Pour établir le résultat, il nous suffit de montrer que l’on a : ^{u y}

( )

^{G =}

^λ

^yG.

Soit un vecteur ^zG∈Vect

(

^{x yG G,}

)

^{tel que zG=αxG+βyG avec}

^α

^{≠0 et β ≠0.}

On a par hypothèse et linéarité de u : d’une part, u z

( )

G =

λ

zzG=

λ α

z

(

xG+

β

yG

)

=

αλ

zxG+

βλ

zyG et, d’autre part, u z

( ) (

G =u

α

xG+

β

yG

)

=

α

u x

( )

G +

β

u y

( )

G =

αλ

xG+

βλ

yyG

. On a donc : u z

( )

G =

αλ

zxG+

βλ

zyG=

αλ

xG+

βλ

yyG

et donc : α λ λ

(

z−

)

xG+β λ λ

(

z− y

)

yG=⁰G . La famille

(

^{x yG G,}

)

étant libre, on en tire α λ λ

(

z−

)

=β λ λ

(

z− y

)

=⁰. Comme

α

≠0 et β ≠0, il vient alors : λ λ λ λ_z− = _z− _y =0, soit : λ λ= _z=λ_y.

On a donc : ^{u y}

( )

^{G =}

^λ

^yG. Le résultat est établi.

Résultat final

Si E est un K−espace vectoriel et si u est un endomorphisme non nul de E tel que ∀ ∈ ∃ ∈xG ^E,

λ

x K^/u x

( )

G =

λ

xxG alors u est une homothétie de E.