PanaMaths Novembre 2017
Soit x un réel et n un entier naturel non nul fixé.
Montrer que l’on a :
( ) ( ) ( ) 1 ( )
E E 2 ... E E
2
x + x + + nx
+∞∼ n + nx
Analyse
Il s’agit ici de montrer que l’on a :
( ) ( ) ( ) ( )
E E 2 ... E 1
lim E 2
x
x x nx n
→+∞ nx
+ + + = + .
En utilisant des encadrements appropriés des parties entières, on peut facilement calculer la limite du rapport
( ) ( ) ( )
( )
E E 2 ... E
E
x x nx
nx
+ + +
.
Résolution
Pour tout entier naturel k dans 1 ;n , on a :
( )
1 E
kx− < kx ≤kx
On a alors :
( ) ( )
1 1 1
1 E
n n n
k k k
kx kx kx
= = =
− < ≤
∑ ∑ ∑
D’où :
( )
1 1 1
E
n n n
k k k
k x n kx k x
= = =
⎛ ⎞ − < ≤⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝
∑
⎠∑
⎝∑
⎠ , soit :( ) ( ) ( )
1
1 1
2 E 2
n
k
n n n n
x n kx x
=
+ +
− <
∑
≤ .Par ailleurs : nx− <1 E
( )
nx ≤nx. Pour tout réel x>1, on a alors :( )
1 1 1
E 1
nx≤ nx <nx
− .
De ce qui précède, on tire l’encadrement :
( ) ( )
( )
( )
1
1 E 1
2 2
E 1
n
k
n n x n kx n n x
nx nx nx
=
+ +
− < <
−
∑
PanaMaths Novembre 2017
C’est-à-dire :
( ) ( )
( )
1
1 1 E 1
2 2
E 1
n
k
n x kx n n x
x nx nx
=
+ − +
< <
−
∑
.
On a alors :
1 1
1 1
2 2
lim lim
2
x x
n n
x x
n
x x
→+∞ →+∞
+ − = + = + et
(
1) (
1)
2 2 1
lim lim
1 2
x x
n n n n
x x
n
nx nx
→+∞ →+∞
+ +
= = +
− .
En définitive :
( )
1
( )
E 1
lim E 2
n
k x
kx n nx
=
→+∞
= +
∑
et donc :
( ) ( )
1
E
lim 1
1E 2
n
k x
kx
n nx
=
→+∞ + =
∑
, c’est-à-dire :
( ) ( )
1
E 1E
2
n
k
kx n nx
= +∞
∑
∼ +Le résultat est ainsi établi.
Résultat final
( ) ( ) ( )
1( )
E E 2 ... E E
2
x x nx n nx
+∞
+ + + ∼ +
