MPSI B Année 2012-2013 Énoncé DM 12 (pour le 01/03/13) 29 juin 2019
On note respectivementbxcet {x}=x− bxcla partie entière et la partie fractionnaire d'un nombre réel. Dans tout le problèmem,n,k désignent des entiers naturels non nuls.
Pour tout entier naturel non nuln, on introduit un ensembleDn et un nombredn : Dn =
k∈J1, nKtq{n k} ≥ 1
2
, dn= ]Dn n On peut interpréterdn comme la densité deDn dansJ1, nK.
L'objet de ce problème1 est de montrer que(dn)n∈
N∗ converge vers2 ln 2−1.
Partie I. Parties entières.
On dénit une fonctionϕdans]0,+∞[par :
∀x >0 : ϕ(x) =b2
xc −2b1 xc
Pour tout naturel non nulm, on dénitϕmcomme la restriction deϕau segment[m1,1]. 1. Les fonctionsϕet ϕm sont-elles continues par morceaux ? en escalier ? intégrables ? 2. a. Montrer queϕne prend que les valeurs0ou1.
b. Pour un naturelknon nul, tracer le graphe de ϕrestreint à[k+11 ,1k].
c. Soitnxé et k∈ {1,· · ·, n}, montrer quek∈Dn si et seulement siϕ(nk) = 1. 3. Montrer que
Z
[m1,1]
ϕ=
m
X
k=2
1 k−12 −
m
X
k=2
1 k 4. On introduit une suite(hn)n∈
N∗et on admet qu'il existe un réelγ(constante d'Euler) tel que
hn = 1 +1
2 +· · ·+ 1
n = lnn+γ+o(1) a. ExprimerR
[m1,1]ϕen utilisanth2m ethm. b. Montrer que
Z
[m1,1]
ϕ
!
m∈N∗
→2 ln 2−1
1d'après Problems and Theorems in Analysis I G. Pólya - G. Szeg® (Springer) p55
Parties II. Sommes de Riemann.
1. Soitψune fonction en escalier dénie sur un segment[a, b]etM un majorant de|ψ|. Soit S = (x0,· · ·, xs) une subdivision adaptée à ψ qui n'est pas supposée régulière.
On noteαle plus petit desxi+1−xi pour ientre0 ets−1. Pour tout naturelntel que n1 < α, on introduitIn et Sn :
In=
k∈Ntqa≤ k n ≤b
, Sn= 1 n
X
k∈In
ψ(k n).
Montrer que
Sn− Z
[a,b]
ψ
≤(s+ 1)2M n .
2. a. Montrer que
dn= 1 n
n
X
k=1
ϕ(k n).
b. Soitmentier naturel non nul xé, montrer que
1 n
n
X
k≥mn
ϕ(k n)−
Z
[m1,1]
ϕ
≤ 4m n 3. Montrer que(dn)n∈N∗ converge vers2 ln 2−1.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1 Rémy Nicolai M1212E
