Partie I. Parties entières.

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

On note respectivementbxcet {x}=x− bxcla partie entière et la partie fractionnaire d'un nombre réel. Dans tout le problèmem,n,k désignent des entiers naturels non nuls.

Pour tout entier naturel non nuln, on introduit un ensembleDn et un nombredn : Dn =

k∈J1, nKtq{n k} ≥ 1

2

, dn= ]Dn

n On peut interpréterdn comme la densité deDn dansJ1, nK.

L'objet de ce problème¹ est de montrer que(dn)_n∈N∗ converge vers2 ln 2−1.

Partie I. Parties entières.

On dénit une fonctionϕdans]0,+∞[par :

∀x >0 : ϕ(x) =b2

xc −2b1 xc

Pour tout naturel non nulm, on dénitϕmcomme la restriction deϕau segment[_m¹,1]. 1. Les fonctionsϕet ϕ_m sont-elles continues par morceaux ? en escalier ? intégrables ? 2. a. Montrer queϕne prend que les valeurs0ou1.

b. Pour un naturelknon nul, tracer le graphe de ϕrestreint à[_k+1¹ ,¹_k].

c. Soitnxé et k∈ {1,· · ·, n}, montrer quek∈Dn si et seulement siϕ(_n^k) = 1. 3. Montrer que

Z

[_m¹,1]

ϕ=

m

X

k=2

1 k−¹₂ −

m

X

k=2

1 k

4. On introduit une suite(hn)_n∈N∗et on admet qu'il existe un réelγ(constante d'Euler) tel que

hn = 1 +1

2 +· · ·+ 1

n = lnn+γ+o(1) a. ExprimerR

[_m¹,1]ϕen utilisanth2m ethm. b. Montrer que

Z

[_m¹,1]

ϕ

!

m∈N^∗

→2 ln 2−1

1d'après Problems and Theorems in Analysis I G. Pólya - G. Szeg® (Springer) p55

Parties II. Sommes de Riemann.

1. Soitψune fonction en escalier dénie sur un segment[a, b]etM un majorant de|ψ|. Soit S = (x0,· · ·, xs) une subdivision adaptée à ψ qui n'est pas supposée régulière.

On noteαle plus petit desxi+1−xi pour ientre0 ets−1. Pour tout naturelntel que _n¹ < α, on introduitIn et Sn :

I_n=

k∈Ntqa≤ k n ≤b

, S_n= 1 n

X

k∈In

ψ(k n).

Montrer que

Sn− Z

[a,b]

ψ

≤(s+ 1)2M n .

2. a. Montrer que

dn= 1 n

n

X

k=1

ϕ(k n).

b. Soitmentier naturel non nul xé, montrer que

1 n

n

X

k≥_mⁿ

ϕ(k n)−

Z

[_m¹,1]

ϕ

≤ 4m n 3. Montrer que(dn)_n∈N∗ converge vers2 ln 2−1.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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1 Rémy Nicolai Afesc1

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Corrigé

Partie I. Parties entières

1. Comme la fonction partie entière est constante sur des intervalles, il est clair que la fonctionϕle sera aussi. Les bornes de ces intervalles seront précisées plus loin. Pourtant elle ne peut être ni ni en escalier ni continue par morceaux (ou intégrable puisque c'est la même chose) car son domaine de dénition n'est pas un segment. En revanche, la restrictionϕm est en escalier donc continue par morceaux et intégrable.

2. a. Pour toutx >0, on écrit les dénitions des deux parties entières et on combine les encadrements

2

x−1<b2 xc ≤ 2

x 1

x−1<b1 xc ≤

x







⇒ 2

x−1−21

x< ϕ(x)< 2 x−2(1

x−1)

⇒ −1< ϕ(x)<2⇒ϕ(x)∈ {0,1}

carϕest à valeurs entières.

b. Remarquons d'abord queϕprend la valeur0en un inverse d'entier. On se place donc dans l'intervalle ouvert. D'une part,

1

k+ 1 < x < 1

k ⇒k < 1

x< k+ 1⇒ b1 xc=k D'autre part,

1

k+ 1 < x < 1

k ⇒2k < 2

x <2k+ 2⇒ b2

xc ∈ {2k,2k+ 1}

avec :

ϕ(x) = 0⇔ b2

xc= 2k⇔ 2

x <2k+ 1⇔x > 2

2k+ 1 = 1 k+¹₂ ϕ(x) = 1⇔ b2

xc= 2k+ 1⇔ 2

x ≥2k+ 1⇔x≤ 2

2k+ 1 = 1 k+¹₂ On en déduit le graphe présenté en gure1.

c. D'après les dénitions, k∈Dn⇔ n

k − bn kc ≥ 1

2 ⇔ 2n k −2bn

kc ≥1⇔ b2n

k c+{2n

k } −2bn kc ≥1

⇔ϕ(k

n)≥1− {2n

k } ⇔ϕ(k

n)>0 (car{x} ∈[0,1[)⇔ϕ(k n) = 1

k+11 1

k+¹₂ 1

k

Fig. 1: Graphe deϕdansh

1 k+1,¹_ki

3. On calcule l'intégrale en utilisant la relation de Chasles et le graphe de la gure1

Z

[_m¹,1]

ϕ=

m−1

X

k=1

Z

[_k+1¹ ,¹_k]

ϕ=

m−1

X

k=1



 Z

[_k+1¹ , ¹

k+ 12

]

ϕ

|{z}

=1

+ Z

[ ¹

k+ 12

,¹_k,]

ϕ

|{z}

=0





=

m−1

X

k=1

1

k+¹₂ − 1 k+ 1

=

m

X

k⁰=2

1 k⁰−¹₂ − 1

k⁰

=

m

X

k=2

1 k−¹₂ −

m

X

k=2

1 k 4. a. On manipule l'expression obtenue pour l'intégrale en utilisant _k−¹1

2

= _2k−1² et en dégageant le rôle des entiers pairs et impairs.

Z

[_m¹,1]

ϕ= 2 1

3 +1

5 +· · ·+ 1 2m−1

− 1

2+1

3 +· · ·+ 1 m

= 2

1 + 1 2+1

3 +· · ·+ 1 2m

−1− 1

2 +1

4+· · ·+ 1 2m

−

1 +1 2 +1

3 +· · ·+ 1 m

−1

= 2h2m−2−2hm+ 1 = 2h2m−2hm−1

b. En utilisant le développement donné par l'énoncé, il vient Z

[_m¹,1]

ϕ= 2 [ln(2m)−ln(m) +o(1)]−1 = 2 ln 2−1 +o(1)→2 ln 2−1

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Partie II. Sommes de Riemann

1. RegardonsSncomme l'intégrale d'une fonction en escalierψformée à partir des valeurs deψ. La subdivisionS dénissantψ est constituée par les extrémités aet b et les ^k_n dans l'intervalle[a, b](tirets dans la gure2).

La fonctionψest nulle sur le premier intervalle (entreaet le tiret le plus à gauche).

x

= a x

x

x

= b

kn k+1 n

Fig. 2: SubdivisionsS et S

Sur chacun des intervalles suivants, la valeur est celle deψau tiret de gauche. Pourψ ainsi dénie,Sn est bien l'intégrale deψentreaet b.

D'après l'hypothèse ¹_n < α, la longueur d'un intervalle de S est toujours plus petite que la longueur d'un intervalle deS (gure 2). La diérence que l'on nous demande de majorer est la valeur absolue de l'intégrale deψ−ψ. On la découpe à l'aide de la relation de Chasles en une somme d'intégrales sur les intervalles[_n^k,^k+1_n ]deS. Considérons un intervalle (ouvert) deS.

S'il ne contient aucun des x_i alors ψ et ψ coïncident sur cet intervalle. Sur un tel intervalle les deux intégrales sont égales.

Les seuls intervalles qui contribuent réellement sont donc ceux contenant unxi. Il y en a au plusm+1(le nombre dexi), leur longueur est au plus _n¹, la diérence des fonctions ψet ψest majorée en valeur absolue par2M. On en déduit l'inégalité demandée.

2. a. On a vu en I.1.c. queϕ(^k_n) = 1 si et seulement sik∈D_n et que la valeur de ϕ est nulle sinon. On en déduit que

]Dn=

n

X

k=1

ϕ(k

n)⇒dn= 1 n

n

X

k=1

ϕ(k n)

b. Pour obtenir l'inégalité demandée, on applique l'inégalité de la question II.1. à la fonction en escalierϕm dans le segment [_m¹,1]. Précisons d'abord le nombre de points d'une subdivision adaptée àϕm.

D'après la question 2 de la partie I. Une subdivision adaptée est formée par les

1

k et les _k+¹1

2 entre _m¹ et1. 1

m ≤ 1

k ≤1⇔k∈J1, mK, 1 m ≤ 1

k+¹₂ ≤1⇔k∈J0, m−1K.

Le nombre total (qui ests+ 1dans l'inégalité) de points de la subdivision adaptée àϕmest donc2m.

3. Notons l = 2 ln 2−1. On va former une majoration valable pour des entiersn > m, l'entiermétant à priori arbitraire. On verra après comment le choisir en fonction d'un ε >0arbitraire pour valider la dénition de la limite.

|dn−l| ≤ 1 n

X

ktq ^kn<_m¹

ϕ(k n)

+ 1 n

X

ktqn^k≥_m¹

ϕ(k n)−

Z

[_m¹,1]

ϕ

+ Z

[_m¹,1]

ϕ−l

≤ 1 n× n

m×1 +4m n +

Z

[_m¹,1]

ϕ−l

≤ 1 m+4m

n + Z

[_m¹,1]

ϕ−l On est alors en mesure de prouver la convergence.

Pour toutε >0, il existe unmvériant :

1 m ≤ε

3

Z

[_m¹,1]

ϕ−l

≤ ε 3. Cemétant xé, la suite ^4m_n

n∈N^∗converge vers0. Il existe donc unN(que l'on prend

≥m) tel que

n≥N⇒ 4m n ≤ ε

3. On aura bien alors

n≥N ⇒ |dn−l| ≤ε.

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