Montrer l’existence deF1 et la calculer

Problème : Formule de Stirling à l’aide des intégrales de Futuna

Dans ce problème, on propose une preuve de la formule de Stirling à l’aide des intégrales de Futuna.

Partie N^o1 : Intégrales de Futuna

Soientx₀>0etf une application continue sur[x₀,+∞,[à valeurs dansR⁺ alors, on pose Z +∞

x0

f(x) dx= lim

a→+∞

Z a

x0

f(x) dx,

si cette limite existe dansR.

Pour tout n ∈ N^?, on pose Fn = Z +∞

0

1

ch(x)ⁿ dx, sous réserve d’existence (il s’agit donc de la définition précédente avecx0 = 0).

Les intégralesF_n sont appelées les intégrales de Futuna.

1. Montrer l’existence deF1 et la calculer.

Indication : On utilisera un changement de variable u= sh(x).

2. Montrer l’existence deF₂ et la calculer.

3. Pour toutn∈N^?, montrer que,Fn existe et établir, à l’aide d’une intégration par parties, que F_n+2 = _n+1ⁿ F_n.

4. Montrer que(Fn) est décroissante, strictement positive et convergente.

5. Soient, b∈R^?+ avec < b. On décomposeFn sous la forme Fn=

Z

0

1

ch(x)ⁿ dx+ Z b

1

ch(x)ⁿ dx+ Z +∞

b

1 ch(x)ⁿ dx.

(a) Montrer que Fn6+_ch()^b n +^(2e−b_n⁾ⁿ. (b) En déduire que (Fn) converge vers0.

6. ExprimerF_2n+1 à l’aide de nombres factoriels.

7. Montrer que la suiten7→nF_nF_n+1 est constante et donner sa valeur.

8. Montrer que lim

n→∞

Fn+1

Fn = 1 et en déduire queFn ∼

n→+∞

p _π

2n. Partie N^o2 : La formule de Stirling 1. Rappeler la formule de Stirling.

2. Montrer que

∀n∈N^?, Z n+1

n

(x−n)(n+ 1−x)× 1

x² dx=−2 + (2n+ 1)(ln(n+ 1)−ln(n)).

3. En déduire que

∀n∈N^?, 06

n+1 2

×(ln(n+ 1)−ln(n))−16 1 12n². On définit les suites uetv de la façon suivante :

∀n>2, u_n= ln nⁿ√ ne⁻ⁿ

−ln(n!)etv_n=u_n+ 1 12(n−1). 4. Montrer que les suitesu etv convergent vers la même limite.

5. En déduire l’existence d’une constante C >0 telle que n! ∼

n→+∞C√ n ⁿ_en

. 6. En utilisant la partie précédente, calculerC.

* * * FIN DU SUJET * * *

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