PanaMaths
[1 - 2]Août 2008
Montrer que l’on a :
( )
20
, , 2
p i
p
p q
p q p q i
p q
=i p i p
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ + − +
∀ ∈ =
∑ −
`
Analyse
On s’intéresse au produit p q p q i
i p i
+ + −
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ − ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ que l’on transforme facilement. La forme des facteurs du deuxième membre de l’égalité nous conduit alors à effectuer des transformations appropriées.
Résolution
On a, pour tout couple d’entiers naturels
(
p q,)
et tout entier naturel i inférieur à p :( )
( )
!
! !
p q p q i p q
i p i i p q i
+ + − +
⎛ ⎞⎛ ⎞=
⎜ ⎟⎜ − ⎟ + −
⎝ ⎠⎝ ⎠
(
p+ −q i)
!×
( )
( )
( )
! !
!
! ! !
p i q p q
i q p i
−
= +
− On a alors immédiatement :
( )
( )
( )
( )
0 0
0
!
! ! !
! 1
! ! !
p p
i i
p
i
p q p q i p q
i p i i q p i
p q
q i p i
= =
=
+ + − +
⎛ ⎞⎛ ⎞=
⎜ ⎟⎜ − ⎟ −
⎝ ⎠⎝ ⎠
= +
−
∑ ∑
∑
Le facteur
( )
!! p q
q
+ nous permet de faire apparaître p q p
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠. On a en effet :
( )
!( )
!! !
! ! !
p q p q
p p
q p q
p q p
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝
+ +
= = ⎠
PanaMaths
[2 - 2]Août 2008
On en tire alors :
( )
( )
( )
( )
0 0
0
0
0
! 1
! ! !
! 1
! !
!
! !
p p
i i
p
i p
i p
i
p q p q i p q
i p i q
p q p
i p i
p i p i
p q p
i p i p i p
p q p
= =
=
=
=
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
+ + − +
⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ − ⎟=
⎝ ⎠
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ +
⎝ ⎠⎝ ⎠ −
= −
= −
= ⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎜ ⎞⎟
⎝ ⎠
∑ ∑
∑
∑
∑
On a l’égalité classique (on rappelle rapidement comment l’obtenir) :
( )
0 0
11 1 1 2
p p
i p i p p
i i
p p
i i
−
= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = + =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑
On obtient finalement le résultat cherché :
0 0
2
p p
p
i i
p q p q
p p
p q p q i p
i p i i
= =
+ +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟
+ + −
⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎛ ⎞=
⎜ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎟⎜ − ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑
Résultat final
( )
20
, , 2
p
i
p q p q i p p q
p q = i p i p
+ + − +
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
∀ ∈`
