Montrer que l’on a :

PanaMaths

[1 - 2]

Août 2014

Soit n et m deux entiers naturels.

Soit k un entier naturel inférieur ou égal à n et à m.

Montrer que l’on a :

0 k i

n m n m

k

₌

i k i

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ = ∑ −

Analyse

Chacun des trois coefficients binomiaux apparaissant dans l’égalité doit nous faire penser à une certaine formule du binôme … On peut s’aider du formalisme des polynômes (mais ce n’est pas, stricto sensu, une obligation) pour établir l’égalité cherchée.

Résolution

Le coefficient binomial n m k

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ nous conduit à considérer le polynôme

(

^1+X

)

^{n m+ .}

Les coefficients binomiaux n i

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠ et m k i

⎛ ⎞

⎜ − ⎟

⎝ ⎠ nous conduisent à considérer respectivement les polynômes

(

^1+X

)

^{n et}

(

^1+X

)

^m.

On a alors :

( ) ( ) ( )

0 0 0

1 1 1

n m n m

n m n m

k i j

k i j

n m n m

X X X X X X

k i j

+ +

= = =

+ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎛ ⎞ = + = + + =⎜ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜× ⎛ ⎞ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠

∑ ∑ ∑

Dans le produit

0 0

n m

i j

i j

n m

X X

i j

= =

⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎛× ⎛ ⎞ ⎞

⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎠, le coefficient de X^k est donné par

, i j k i n j m

n m i j

+ =≤ ≤

⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

∑

^.

Comme i+ =j k, cette somme peut être récrite :

0 ,

k

i j k i

i n j m

n m n m

i j i k i

+ = =

≤ ≤

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ − ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∑ ∑

^.

Il vient alors immédiatement :

0 k

i

n m n m

k ₌ i k i

⎛ + ⎞= ⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ − ⎟

⎝ ⎠

∑

⎝ ⎠⎝ ⎠, qui est le résultat cherché.

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[2 - 2]

Août 2014

Résultat final

Pour tous entiers naturels k, n et m avec k≤n et k≤m, on a :

0 k

i

n m n m

k ₌ i k i

⎛ + ⎞= ⎛ ⎞⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ − ⎟

⎝ ⎠

∑

⎝ ⎠⎝ ⎠