1 Introduction On suppose que

(1)

AP 6 - Primitives - TS

1 Introduction

On suppose que F est telle que F

^′

= f sur un intervalle I . 1. Compléter, quand vous le pouvez, le tableau suivant :

Intervalle I F (x) f (x)

e

^x

6x 4x ²

1 x

− 2 x ²

2x − 3 3x + 2 2x ³ + x − 4 2. Y a-t-il une unique solution ?

3. Comment faire pour vérifier les calculs ?

2 Notion de primitive d’une fonction

Soit f est une fonction continue sur un intervalle I de R. On dit qu’une fonction F définie sur I est une primitive de f si :

• F est ... sur I ;

• et ... = ... pour tout x de I Définition

Exemple :

On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 3x ² + 5x − 8.

Déterminer la primitive de f qui vaut 3 si x = 0 et vérifiez que la fonction trouvée est bien dérivable sur R.

...

(2)

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Si F est une primitive de f sur I alors, pour tout réel k, la fonction F + .... est aussi une primitive de f sur I .

Propriété

3 Primitives à connaître

Fonction Primitive

f (t ) = 0 F (t ) = ...

f (t ) = k F (t ) = ...

f (t) = t F (t ) = ...

4 Vecteur de l’espace

Dans un repère de l’espace (

O, → − ı , → −

ȷ , − → k

)

un vecteur possède 3 coordonnées (composantes).

⃗ i

⃗ k

⃗ j

O

⃗ i (1; 0; 0), ⃗ j (0; 1; 0) et ⃗ k(0; 0; 1).

g désignant l’accélération de la pesanteur (g ≈ 9, 8 m.s

⁻²

) : ⃗ g (0; 0; − g ).

5 Notion de physique

— Notation de la dérivée :

Si f est une fonction dérivable sur I . La dérivée de f par rapport au temps t est notée d f dt et veut dire f

^′

(t).

Cette notation est utilisée car, en physique, on peut avoir une fonction de deux, trois, ...

variables.

Propriété

(3)

— Vitesse :

Si M (t) (

x(t ), y (t), z(t ) )

est la position d’un mobile à l’instant t , on admet que :

• sa vitesse −−−→

V (t) , est une variation des composantes (x(t ), y (t), z(t )) par rapport au ... ...., c’est à dire la dérivée par rapport au ... ... des compo- santes

• Elle a donc pour composantes (..., ..., ...) soit, avec les notation adoptées en physique :

• ( d...

d... , d...

d...

)

: les dérivées par rapports au temps des coordonnées.

Propriété

— Accélération :

Si V (t) (

V

_x

(t), V

_y

(t ),V

_z

(t) )

est la vitesse d’un mobile à l’instant t, on admet que :

• son accélération −−−→

a(t ) a pour composantes

( d...

d... , d...

d...

)

(ou encore (....

^′

_... (...), ....

^′

_... (...)....

^′

_... (...)) si ....

^′

_... (...), ....

^′

_... (...) et ....

^′

_... (...) désignent les dérivées par rap- port au temps des trois composantes du vecteur vitesse.

Propriété

— Conséquence :

Autrement dit, les composantes du vecteur vitesse sont des ...

des composantes du vecteur accélération et les coordonnées de M (t) sont des ... des composantes du vecteur vitesse.

Propriété

6 Application : A vous de jouer

Un mobile a pour position initiale, à l’instant t = 0, M 0 (200, 300, 400) en mètres. Il est mis en mouve- ment avec une vitesse initiale −→

V ₀ (3, 1, − 2), chacune des composantes s’exprimant en m.s

⁻¹

(la com- posante "verticale" étant négative, le mobile est envoyé vers le bas). Il est soumis à l’accélération de la pesanteur.

1. Déterminez les équations horaires du mouvement du mobile M, c’est-à-dire les coordonnées de M .

2. Quelle est la position du mobile à l’instant t = 5 ? 3. A quel instant l’impact au sol a-t-il lieu ?

3

(4)

(5)

7 Un peu de mathématiques

Exercice 1

Dans chacun des cas, donner l’expression algébrique d’une primitive des fonctions f définies sur R par :

1. f (t) = 2t 2. f (t) = 3t ² 3. f (t) = 7t ⁶ 4. f (t) = 7t 5. f (t) = 6t ²

6. f (t ) = 7t ⁵ 7. f (t ) = 7t + 2 8. f (t ) = 7t ² − 3t + 1 9. f (t ) = 6t ⁹ + t ² − 3 Exercice 2

Reprendre l’exercice précédent sachant que dans chacun des cas la primitive F de la fonction f vérifie F (1) = 0.

Exercice 3 : Pour aller plus loin

Dans chacun des cas, donner la primitive F , telle que F (t ₀ ) = y ₀ , des fonctions f définies sur I . 1. f (t) = t + 1

t ² I = ]0; +∞ [ t ₀ = 1, y ₀ = 5 2. f (t) = t ² − 2t − 1

2 I = R t ₀ = −1, y ₀ = 0 3. f (t) = 2e

^t

I = R t ₀ = 0, y ₀ = 0

4. f (t) = e ^3t I = R t ₀ = 1, y ₀ = 1 5. f (t) = 3

p 3t − 5 I = ] 5

3 ; +∞

[

t ₀ = 2, y ₀ = 1

4

(6)

Résultats ou indices

Ex. 1 Dans le désordre :

F (x) = t ⁷ + C

^{t e}

,F (x) = t ³ + C

^{t e}

,F (x) = t ² + C

^{t e}

,F (x) = 7

2 t ² + C

^{t e}

,F (x) = 3

5 t ¹⁰ + 1

3 t ³ − 3t + C

^{t e}

,F (x) = 7

2 t ² + 2t + C

^{t e}

,F (x) = 7 3 t ³ − 3

2 t ² + t + C

^{t e}

,F (x) = 7

2 t ² +C

^{t e}

,F (x) = 2t ³ +C

^{t e}

,F (x) = 7

6 t ⁶ + C

^{t e}

Ex.2

1. −1, 2. −3, 3. −1, 4. − 7

2 , 5. −2, 6. − 7

6 , 7. − 11

2 , 8. − 11

6 , 9. + 31 5 . Ex.3 Dans le désordre :

F (x) = 2 p

3t − 5 − 1, F (x) = e

^t

− 2, F (x) = t ² 2 − 1

t + 11

2 , F (x) = 1

3 t ³ − t ² − 1 2 t + 5

6 , F (x) = 1

3 e ^3t + 1 − e ³

3 .

1 Introduction On suppose que

AP 6 - Primitives - TS

1 Introduction

On suppose que F est telle que F

= f sur un intervalle I . 1. Compléter, quand vous le pouvez, le tableau suivant :

Intervalle I F (x) f (x)

e

6x 4x 2

1 x

− 2 x 2

2x − 3 3x + 2 2x 3 + x − 4 2. Y a-t-il une unique solution ?

3. Comment faire pour vérifier les calculs ?

2 Notion de primitive d’une fonction

Soit f est une fonction continue sur un intervalle I de R. On dit qu’une fonction F définie sur I est une primitive de f si :

• F est ... sur I ;

• et ... = ... pour tout x de I Définition

Exemple :

On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 3x 2 + 5x − 8.

Déterminer la primitive de f qui vaut 3 si x = 0 et vérifiez que la fonction trouvée est bien dérivable sur R.

...

...

...

...

...

...

...

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Si F est une primitive de f sur I alors, pour tout réel k, la fonction F + .... est aussi une primitive de f sur I .

Propriété

3 Primitives à connaître

Fonction Primitive

f (t ) = 0 F (t ) = ...

f (t ) = k F (t ) = ...

f (t) = t F (t ) = ...

4 Vecteur de l’espace

Dans un repère de l’espace (

O, → − ı , → −

ȷ , − → k

)

un vecteur possède 3 coordonnées (composantes).

⃗ i

⃗ k

⃗ j

⃗ i (1; 0; 0), ⃗ j (0; 1; 0) et ⃗ k(0; 0; 1).

g désignant l’accélération de la pesanteur (g ≈ 9, 8 m.s

) : ⃗ g (0; 0; − g ).

5 Notion de physique

— Notation de la dérivée :

Si f est une fonction dérivable sur I . La dérivée de f par rapport au temps t est notée d f dt et veut dire f

(t).

Cette notation est utilisée car, en physique, on peut avoir une fonction de deux, trois, ...

variables.

Propriété

— Vitesse :

Si M (t) (

x(t ), y (t), z(t ) )

est la position d’un mobile à l’instant t , on admet que :

• sa vitesse −−−→

V (t) , est une variation des composantes (x(t ), y (t), z(t )) par rapport au ... ...., c’est à dire la dérivée par rapport au ... ... des compo- santes

• Elle a donc pour composantes (..., ..., ...) soit, avec les notation adoptées en physique :

• ( d...

d... , d...

d... , d...

d...

)

: les dérivées par rapports au temps des coordonnées.

Propriété

— Accélération :

Si V (t) (

V

(t), V

(t ),V

(t) )

est la vitesse d’un mobile à l’instant t, on admet que :

• son accélération −−−→

a(t ) a pour composantes

( d...

d... , d...

d... , d...

d...

)

6x 4x ²

− 2 x ²

2x − 3 3x + 2 2x ³ + x − 4 2. Y a-t-il une unique solution ?

On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 3x ² + 5x − 8.

_... (...), ....

_... (...)....

_... (...)) si ....

_... (...), ....

_... (...) et ....

_... (...) désignent les dérivées par rap- port au temps des trois composantes du vecteur vitesse.

V ₀ (3, 1, − 2), chacune des composantes s’exprimant en m.s

1. f (t) = 2t 2. f (t) = 3t ² 3. f (t) = 7t ⁶ 4. f (t) = 7t 5. f (t) = 6t ²

6. f (t ) = 7t ⁵ 7. f (t ) = 7t + 2 8. f (t ) = 7t ² − 3t + 1 9. f (t ) = 6t ⁹ + t ² − 3 Exercice 2

Dans chacun des cas, donner la primitive F , telle que F (t ₀ ) = y ₀ , des fonctions f définies sur I . 1. f (t) = t + 1

t ² I = ]0; +∞ [ t ₀ = 1, y ₀ = 5 2. f (t) = t ² − 2t − 1

2 I = R t ₀ = −1, y ₀ = 0 3. f (t) = 2e

I = R t ₀ = 0, y ₀ = 0

4. f (t) = e ^3t I = R t ₀ = 1, y ₀ = 1 5. f (t) = 3

t ₀ = 2, y ₀ = 1

F (x) = t ⁷ + C

,F (x) = t ³ + C

,F (x) = t ² + C

2 t ² + C

5 t ¹⁰ + 1

3 t ³ − 3t + C

2 t ² + 2t + C

,F (x) = 7 3 t ³ − 3

2 t ² + t + C

2 t ² +C

,F (x) = 2t ³ +C

6 t ⁶ + C

− 2, F (x) = t ² 2 − 1

3 t ³ − t ² − 1 2 t + 5

3 e ^3t + 1 − e ³