cas : On suppose que M

D663. La saga des carrés inscrits (2ème épisode)

On considère un quadrilatère (ABCD) tel que dans ses 4 sommets il n'y en ait pas trois alignés.

On numérote les droites (AB),(BC),(CD),(DA) par respectivement (1),(2),(3),(4).

On veut choisir 4 points Mi, Mi étant sur la droite (i) (i entre 1 et 4) de telle façon que M1,M2,M3,M4 soient les sommets d'un carré, que l'on appellera carré inscrit dans (ABCD).

Q3 Soit N le nombre des carrés que l'on peut inscrire dans (ABCD), quelles sont les valeurs respectives de N si (ABCD) est un rectangle, un losange, un parallélogramme, un trapèze isocèle ?

Solution

Préambule

La question est appliquée à un certain nombre de cas particuliers de configurations.

Il existe des raccourcis rapides pour répondre à chacune de ces configurations ; mais il est plus puissant d’essayer d’y répondre d’une manière générale et d’en profiter pour donner les caractéristiques précises de la solution ou des solutions possibles.

1

cas : On suppose que M

M

et M

M

sont des côtés du carré

Nous appelons M1 le point de contact sur la droite AB, M2 sur BC, M3 sur CD et M4 sur DA.

Pour permettre les calculs analytiques, le point A sera pris comme origine, le segment AB comme élément unité, la droite AB comme axe des abscisses (donc AB = 1).

Le point de contact M1 est défini par AM1 = p Posons aussi pour simplifier les formules M1B = q Soit a l’angle (BAM4), posons Sin(a) = Sa et Cos(a) = Ca Soit b l’angle (M2BA), posons Sin(b) = Sb et Cos(b) = Cb Soit c l’angle (BM1M2), posons Tan(c) = T

On a M1 [p , 0]

Équation de la droite AM4 : Sa.x - Ca.y = 0 Équation de la droite M1M4 : x + Ty = p

D’où M4 [pCa/( Ca+SaT) , pSa/(Ca+SaT)]

Équation de la droite BM2 : Sb.x + Cb.y = Sb Équation de la droite M1M2 : T.x - y = p.T

Doù M2 [(Sb+pCbT)/(Sb+CbT) , qSbT/(Sb+CbT)]

On a |M1M4| = 𝑝𝑆𝑎.𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒(1+𝑇²)

𝐶𝑎+𝑆𝑎𝑇 et |M1M2| = 𝑞𝑆𝑏.𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒(1+𝑇²) 𝑆𝑏+𝐶𝑏𝑇

La condition |M1H4| = |M1H2|implique que :

𝑝𝑆𝑎

𝐶𝑎+𝑆𝑎𝑇 = ± _{𝑆𝑏+𝐶𝑏𝑇}^𝑞𝑆𝑏

Prenons ε =+1 ou -1 pour traiter en une fois les 2 possibilités.

On obtient donc la relation entre p et T, condition nécessaire et suffisante pour des segments M4M1 et M1M2

égaux et perpendiculaires.

T =

=

𝑆𝑎(𝑝𝐶𝑏−𝜀𝑞𝑆𝑏)

[1]

Compte tenu de cette condition, on peut obtenir les coordonnées de M1, M2 et M4 en fonction des paramètres p et ε

M1 [p , 0]

M2 [ εSa(𝑝𝐶𝑏−εqSb)

𝐶𝑎𝐶𝑏−𝑆𝑎𝑆𝑏 , Sb(qCa−εpSa) 𝐶𝑎𝐶𝑏−𝑆𝑎𝑆𝑏 ] M4 [ 𝐶𝑎(𝑝𝐶𝑏−εqSb)

𝐶𝑎𝐶𝑏−𝑆𝑎𝑆𝑏 , 𝑆𝑎(𝑝𝐶𝑏−εqSb) 𝐶𝑎𝐶𝑏−𝑆𝑎𝑆𝑏 ]

Calcul des coordonnées de M3 : Vectoriellement AM3 = AM1 +M1M2 + M1M4 = AM2 +AM4 - AM1

Ce qui fournit après quelques calculs fastidieux en fonction de la géométrie des côté du quadrilatère ( Sa, Ca, Sb, Cb), de la position p du point M1 et des solutions possibles (ε)

M3 [X3 , Y3] =

[

𝐶𝑎𝐶𝑏−𝑆𝑎𝑆𝑏

,

𝐶𝑎𝐶𝑏−𝑆𝑎𝑆𝑏

]

^[2]

D’où

p = (𝐶𝑎+𝜀𝑆𝑎)(𝐶𝑏+𝜀𝑆𝑏)^{𝐶𝑎𝐶𝑏−𝑆𝑎𝑆𝑏} X3 + _{𝐶𝑏+𝜀𝑆𝑏}^𝜀𝑆𝑏

et

(CaSb-SaCb) X + (Ca+εSa)(Cb+εSb) Y = Sb(Ca+εSa)

[3]

Quand M

M

et M

M

sont des côtés du carré, il existe 2 lieux possibles pour M

en fonction du choix de ε, ce sont les droites (D1) et (D2) suivantes :

(CaSb-SaCb) X + (Ca+Sa)(Cb+Sb) Y = Sb(Ca+Sa)

(D1)

[4]

(CaSb-SaCb) X + (Ca-Sa)(Cb-Sb) Y = Sb(Ca-Sa)

(D2)

[5]

Soit en ordonnant pour avoir une expression uniquement en sinus : (SaCb-CaSb) X - (Sa+εCa)(Sb+εCb) Y = -εSb(Sa+εCa)

sin(a-b) X – 2 sin(a+ε.π/4) sin (b+ε.π/4) Y = -ε √2 sin(b) sin(a+ε.π/4)

[3 bis]

sin(a-b) X – 2 sin(a+π/4) sin (b+π/4) Y = - √2 sin(b) sin(a+π/4) (D1)

[4 bis]

sin(a-b) X – 2 sin(a-π/4) sin (b-π/4) Y = + √2 sin(b) sin(a-π/4) (D2) [5 bis]

Compte tenu de la linéarité des formules, l’ensemble des points de ces droites font partie du lieu

géométrique.

2

cas : On suppose que M

M

est un côté du carré et M

M

une diagonale du carré ou que M

M

est une diagonale du carré et M

M

un côté du carré

Nous gardons les mêmes notations que précédemment.

Nous appelons M1 le point de contact sur la droite AB, M2 sur BC, M3 sur CD et M4 sur DA.

Pour permettre les calculs analytiques, le point A sera pris comme origine, le segment AB comme élément unité, la droite AB comme axe des abscisses (donc AB = 1).

Le point de contact M1 est défini par AM1 = p Posons aussi pour simplifier les formules M1B = q

Pour Soit a l’angle (BAM4), posons Sin(a) = Sa Cos(a) = Ca et Tan(a)=Ta

Soit b l’angle (M2BA), posons Sin(b) = Sb et Cos(b) = Cb Ca et Tan(b)=Tb

Soit c l’angle (BM1M2), posons Sin(c) = Sc Cos(c) = Cc et Tan(c) = T Pour faciliter la notation, nous allons maintenant abandonner l’utilisation des sinus et cosinus pour ne garder que celle des tangentes. Cela poserait un problème quand l’angle fait π/2, mais en fait on pourra chaque fois que nécessaire en déduire

l’expression correspondante en sinus et cosinus en remplaçant tangente par sinus et cosinus, en mettant au même dénominateur et en simplifiant

On a M1 [p , 0]

Équation de la droite AM4 : Ta.x - y = 0 Équation de la droite M1M4 : x - ^1−𝑇

1+𝑇 y = p En posant A=1+T et B=1-T on obtient :

D’où M4 [A.p/( A-B.Ta) , A.pTa/(A-B.Ta)]

Équation de la droite BM2 : Tb.x + y = Tb Équation de la droite M1M2 : T.x - y = p.T

Doù M2 [(Tb+pT)/(Tb+T) , qTbT/(Tb+T)]

On a |M1M4| = √2𝑝𝑇𝑎 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒 (1+𝑇²)

𝐴−𝐵.𝑇𝑎 et |M1M2| = 𝑞𝑇𝑏 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒(1+𝑇²) 𝑇𝑏+𝑇

Si M1M2 est une diagonale du carré, alors |M1M4| √2 = |M1M2| Si M1M4 est une diagonale du carré, alors |M1M4| = |M1M2|√2 Ce qui permet d’exprimer la condition suivante pour avoir un carré :

𝑘 𝑝𝑇𝑎

𝐴−𝐵.𝑇𝑎 = ± _{𝑇𝑏+𝑇}^𝑞𝑇𝑏 (avec k=2 dans le premier cas et k=1 dans le second) Prenons ε =+1 ou -1 pour exprimer les 2 possibilités d’égalité.

On obtient donc la relation entre p et T, condition nécessaire et suffisante pour que √2 M4M1 soit égal à M1M2 en faisant un angle de 45°.

T =

𝑘𝑝𝑇𝑎−𝜀𝑞𝑇𝑏−𝜀𝑞𝑇𝑎𝑇𝑏)

avec β=(k-ε)p+ε et k=2

[10]

Avec 2 possibilités k et 2 possibilités pour ε, il y aura 4 valeurs possibles pour T

A chacune de ces valeurs correspondra une position de M3. Nous allons montrer que cela définit 4 lieux géométriques (en fait des droites comme nous allons le démontrer).

Compte tenu de la condition sur T, on peut obtenir les coordonnées de M1, M2 et M4 en fonction des paramètres p et ε :

M1 [p , 0]

M2 [ ((k−ε)Ta+ε)p−εTb−εTaTb)

1−𝑇𝑎−𝑇𝑏−𝑇𝑎𝑇𝑏 , εTb(−𝑝(ε+kTa−εTa)+ε−εTa) 1−𝑇𝑎−𝑇𝑏−𝑇𝑎𝑇𝑏 ] M4 [ 𝑘𝑝+𝑇𝑏(2𝜀−𝑘)𝑝−2𝜀𝑇𝑏)

𝑘(1−𝑇𝑎−𝑇𝑏−𝑇𝑎𝑇𝑏) , 𝑘𝑝+𝑇𝑏(2𝜀−𝑘)𝑝−2𝜀𝑇𝑏) 𝑘(1−𝑇𝑎−𝑇𝑏−𝑇𝑎𝑇𝑏) Ta ] Si nous posons :

PX2=(k-ε)Ta+ε) QX2=-εTb-εTaTb) PY2=-εTb(ε+kTa-εTa) QY2=εTb(ε-εTa) PX4=k+Tb(2ε-k) QX4=-2εTb PY4= PX4Ta QY4= QX4Ta On peut écrire :

X2=(PX2.p+QX2)/Den Y2=(PY2.p+QY2)/Den X4=(PX4.p+QX4)/k.Den Y2=(PY4.p+QY4)/k.Den

Calcul des coordonnées de M3 : Vectoriellement AM2 = AM1 +M1M3 + M1M4 = AM3 + AM4 – AM1

Donc AM3 = AM1 + AM2 - AM4

D’où

X3 = p + (PX2.p+QX2)/Den - (PX4.p+QX4)/k.Den Y3 = (PY2.p+QY2)/Den - (PY4.p+QY4)/k.Den

On constate que X3 et Y3 sont des fonctions linéaires de P dont l’équation paramétrique en fonction de p est définie par l’équation ci-dessus.

Ces relations montrent également que lorsque le point M1 se déplace de -∞ à +∞, il en est de même de M3. Nous avons donc ajouté 4 nouvelles droites, lieux possibles de M3.

Pour illustrer plus précisément, nous allons prendre le cas k=2 et ε=1.

Les formules sont alors les suivantes : M1 [p , 0]

M2 [ (Ta+1)p−Tb−TaTb)

Den , Tb(−p(1+Ta)+1−Ta)

Den ]

M4 [ ^p−Tb

Den , ^(p−Tb)Ta

Den ]

Cela permet le calcul des coordonnées de M3

M3 [X3 , Y3] =

[

𝐷𝑒𝑛

,

𝐷𝑒𝑛

]

^[11]

Isolons p :

p = ^Den

1−Tb−TaTbX3 + ^TaTb

1−Tb−TaTb

et

𝑇𝑎+𝑇𝑎𝑇𝑏+𝑇𝑏

Ce qui permet de trouver la relation entre X3 et Y3 quand M1 se déplace sur la droite AB.

Den

1−Tb−TaTbX3 + _{𝑇𝑎+𝑇𝑎𝑇𝑏+𝑇𝑏}^Den Y3 = ^−TaTb

1−Tb−TaTb + ^Tb

𝑇𝑎+𝑇𝑎𝑇𝑏+𝑇𝑏

(D3) [12]

La pente de cette droite est égale à

1−Tb−TaTb ; on note donc qu’elle ne prend pas une valeur générale

particulière.

De manière identique on calculera l’équation des droites (D4), (D5) et (D6).

Cela permet de tirer des conclusions générales :

Pour un quadrilatère dont les droites (1), (2) (3) et (4) sont définies, nous pouvons construire les droites (D1) à (D6) fonction des paramètres géométriques de (1), (2) et (4). L’intersection de (3) avec les droites (D1) à (D6) donne les 6 points M3 cherchés pour définir les 6 carrés possibles.

Nous pouvons évoquer quelques cas particuliers :

1. Si la droite (3) est confondue avec l’une des 6 droites, le nombre de solutions est infini.

2. Si la droite (3) est simplement parallèle à l’une des 6 droites, le nombre de solutions passe à

5 car un point d’intersection aura disparu.

3. Si deux angles internes consécutifs d’un côté du quadrilatère sont égaux (a=b), les droites (D1) et (D2) sont parallèles à ce côté (i) (a=b).

Cela résulte de l’équation de (D1) et (D2) qui commence par sin(a-b) X3 +….

et si de plus la droite (j), définie par le côté opposé du quadrilatère, est parallèle à (i), il n’y a plus que 4 intersections car 2 points d’intersection sont rejetés à l’infini.

Remarque complémentaire : Pour les cas particuliers qui suivent nous rappelons que nous avons positionné le quadrilatère de façon que AB = 1. Mais par rotation, symétrie ou homothétie toutes les autres positions peuvent s’en déduire, les conclusions restent donc générales.

Application à quelques quadrilatères particuliers

Application au cas particulier du rectangle

Dans ce cas a=b=π/2 , donc Sa=Sb=1 et Ca=Cb=0 La conclusion 3 indique qu’il n’y a que 4 intersections.

Il y a 4 solutions

Les droites (D1) et (D2) ont pour équation y=1 et y=-1 ; on retrouve ici le nombre infini de solutions quand le quadrilatère est un carré.

Application au cas particulier du parallélogramme Dans ce cas b=π-a

Mais cela n’implique pas de conséquence particulière.

Il y a 6 solutions

Application au cas particulier du losange

Il s’agit d’un cas particulier de parallélogramme.

Mais sans conséquence sur le nombre de solutions Il y a 6 solutions

Application au cas particulier du trapèze isocèle

Comme pour le rectangle, la conclusion 3 s’applique.

Il n’y a que 4 solutions.