Chapitre 29 Equations différentielles linéaires

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Chap 29 : Equations différentielles linéaires

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Chap 29 : Equations différentielles linéaires

I. EDL scalaire

, , ( , ) ( ) : ( ) '( ) ( ) ( ) ( )

intervalle de , A x y x B x y

J A BCC J  x C x

0 ( )0 0

Un point x J tel que A x  est une singularité de l'équation différentielle

0

( ) 0

( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 0

On se place sur intervalle non trivial tel que ,

devient : L'ED homogène associée est :

I J x I A x

y a x y x b x y x a x y x

   

   

' est une forme ordinaire/résolue yayb

0 0 0 0

( , ) ( ) ( )

Problème de Cauchy : étant donné x y  I , existence et unicité de solution y de tq y x y

1 0 {Solutions de ( 0)} C'est un sev de C ( , )I

( 0

. ( ) { )/ }

primitive de sur L'ensemble des solutions de a I est x Ce ^ ^x C

 ^ 

" '/ ln ( ) "

En pratique : y y a d'où y  x c etc ( ) 0

sol. particulière de

p p

y  S y 

0

( ) 1 ) ( )

)

0 (

(

)

( ) ,

(

( , ) ( ) ( ) ( )

( )

sous la Variation des constantes : on cherche une solution particulière de

est une primitive de : Solution gé

forme

nérale

:

x x x t

x x

I C x e b x C

y x e b t dt

e e

x

x K

y

C C ^



 



    





C



0



( (

0

) )

( )

x t t

x e^ b t dt C e^^



Le problème de Cauchy est résolu : il y a existence et unicité

1( , ),f f' l f l (l 0, via ED : (x) f( )x f x'( ), sol, comparaison) f C ^ ^    ^ ^    

( , )a b C(, ), a Tpériodique y'ayb possède une unique sol Tpériodique ssi ( )T 0 Si singularité : on regarde à la limite pour tenter de prolonger

( ) // //

, ([ , ], ) [ , ] ( ) [ , ], ( ) exp

Gronwall : . Supp , ^x ^x

I HP

a a

u v^C a b ^  K ^  x a b u x  K



uv x a b u x K



v

1 '

0 ^x 0, , ' ln ( ) ln ( ) ^x 0 limite 0

a a

K w K uv w uv w v w x w a v K K

  



 ^C   w   



 

II. Systèmes différentiels linéaires

intervalle de , ou , de dim 1

I  E ev n

11 1

1 1 1

1

'( ( ) ( )

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

) ( ) ( )

'

) '

( , ( ))

( ) ( , )

( ' ⁾

(

(càd :

ou matrices)

n

n n n n n n

t a t a t

x x

x t a t

t b t

a t x t b t

A I E B I

X AX B X X

E

A

 

      

     

 

     

 

      

      

 





C L C

1 1

0 {sol de ( 0)} est un sev de C ( , ).I E Si {sol de ( )} , c'est un sea deC (I E, ) dirigé pa r 0

1 1

' 1, '

Si _k est sol de _k, , _k est sol de

m m

k k

k k k

X X AX B k m  X X AX  B

 

  



 



(2)

0 0

( , ( )) ( , )

( ) ' ( )

Cauchy linéaire : , , ,

Il existe une unique solution de X AX définie sur , telle que

A I E B I E t I X

B I X t Y

   E

  

C L C

0

0 0 0

/ / /

1 /

1

0

( ) 1( ) ( ( ) ( ) ( )) ( )

( )

sup ( ) sup ( ) ( ) ( ) ( )

( 1)!

On prend , , , on étudie , majorations, récurrences,

, CVN sur segments CVU

HP t

n t

n

n n n

t J t

n

J n n

t X t Y X t Y A s X s B s ds X X

t t

A t B t X t X t Y X

   n  



  

     

        



 

0 0

0) 0 '( ) ( )

( ( ) , ' 0

sol, sol/

sol

Unicité : p.abs, et ^t ^t + Gronwall

t t

X X YXX Y t  Y t  A t Y t w



Y w



A w

( , _n( )), ( , ⁿ), sol sur ⁿ de ' , (0) 0 0, ( ) 0(meth. itérative) AC ^ M ^ BC ^ _ X X AXB X    t X t 



0



0 0

exp ^t ' exp ^t Vrai si commute avec ^t

t A A t A A t A

  

0

0 0

dim dim

( ) est une bijection affine, E( ) est un isomph de

E ev E

X X t X X t

  

   

 

 

1 1 0 1 0 0

(X...X_p) fam. de sol. de X'AX (X ,...,X_p) est libre  t I, (X t( )...X_p( ))t est libre  t I,...

1 0

( ... ) ( )

Une base X X_n est un système fondamental de solutions de

1 0 0 1 0

( ( )... ( )) ( ... ) '( ) ( ) ( )

Si on a X t X_n t I_n, R X X_n est la résolvante d'indice et vérifie : t  t I R t, At R t

) ( 0)

Variation des constantesTrouver une sol part. de( connaissant un système fondamental de

1

1 1

1

( ) ( )

det( ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( )) det(

(

( ). ))

)

.. ( On cherche la solution sous la forme , Cramer : est primitive de

n

k

k k

n i

i i

n

X t t X

X t X t B t X t X

X X

t t t

t t





 





1,...,X_n famille de solutions de( 0) X' AX A, ( ,I _n( ))

X  C M

( 1...

1

( ... ) )

det( ( )... ( ))

Le Wronskien de est l'application , noté

n n

n

X X

X X I w w

t X t X t

 

 



1 1

1

( ), 1... , det( ... ( )... ) tr( )det( ... ) (app. n-lin alt det, eval sur( ))

n

i

n n

n i n n

u x x x u x x u x x  can



^L  



 



0



1

0 0

'( ) tr( ( )) ( ) ( ) ( )exp tr ( )

est de classe et , , ^t

w ^C  t I w t  A t w t   t I w t w t



t A s ds On a : soit w0, soit ne s'annule pas sur w I

III. EDL scalaires d’ordre n supérieur à 2

(

1 0

(

)

) ( 1

1 ( )

)

0

0 )

) ...

)

,..., , ( , ) ( ... '

( ( intervalle de ,

On se place sur où ne s'annule pas (= hors des singularités) ED ordinaire :

le On attache à ys s

n

n n

n n I

n n

A

y a

J A A B J y A y A y B

I J A

a y

y ^ b



    

 



  

C

0 1 1 2

1 0 0 1 1

' , ' .

( ...

' . )

) ( ..

tème différentiel

n n n

y y y

y a y a y b

y

  

 

   

 S 

(3)

0 0

1 1

0( ) 1

0 1 0

( ) ( )

,

( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ) ( )

n n

n

y y

a x a x b x

A x B x x A x x B x

 



   

   

       

       

    

 

  S  

1

1 1 1

1

( , ) (

... ( , ) ( , ,..., )

)

( ) est de classe , sol de

et il existe tels que soit sol.

est de clas se de

k

t

n n

y I y

y y I y y

y y _



 C

C C

C S

( 1)

1 1

0 ( ...0 ) ( ) ( 0) 0,..., ( 0)

Cauchy : , n , il existe une unique solution de tq ⁿ n

x I z z _ n y x z y ^ x z _

     

0 (

0

0 0 0

0 0

0 { ( 1) dim

( ( ),..., ( ) )}

Si , sol. de , , ) est un isomph de

n

x n

b I S ev n

y y x y x

x  ^{ }^ _

       



1

1 1,

0

0 1 1 1

0 0

, 1

... 0 ... ...

... 0 ( )

Pour constantes et , on note les racines de multiplicité , de l'équation caractéristique

i i

n r r

n n

n i n

k k

a a b

X a X a Vect x e^



   





 

 



     

IV. EDL scalaires d’ordre 2

0

( )

: " '

( ) " ' 0

, 0 1 0

( )

) " ' (

Sur Sur où ne s'annule pas :

EDO :

Système assoc

EDH :

ié :

I

J Ay By y

Cy D I A

y ay by

y y

z b

ay

a z c

by c

   

  

      

 

       

      

   S

1

2 1

( , ) est , sol de ( ) est , et ( , ) tq ( , ) sol de ( )

yC I y C y C zC I y z S

2

0 ( 0, 0') ! tq ( 0) 0 '( 0) 0'

Cauchy : x  I, y y  ,  y y x x te y x y

0

0 2

( ( 0), '( )) est un isomph de

x ev

y y x y x

 ^{ }^ 



0 0 0

, ( , ) , ( )

' '

est une base de   est un sys. fond. de sol de

   

 

   

     

   

  S

( ) ( )

/ , 0

'( ) '( )

x x

x I

x x

 

     ^{ }^x ^{I w x}^, ^{( )}^^{w x}⁽ ⁰^)exp

 

^

^

^x^x^_0^a

0

( )^I On a : soit w0, soit,  x I w x, ( )0 Si ( ) est de la forme y"qy0, est constantw

1 ( ) ( )

, ( , ) ( ) ( ) ( )

'( ) '( )

Variation des constantes : on l'applique sur le système associé.

On cherche tq y x x soit sol.

I x x x

z x x

 

   

 

     

       

     

C

( )

( ) ( ) '( ) 0 '( )

'( ) '( ) '( ) ( ) '( )

wronskienne

, On résout en , on intègre

I

W x

x x x x

x I

x x x c x x

   

   

      

         

      

Chercher directement la forme   ne mène à rien

2( , ) tq " 0 , ( ) ( ) 0(passer par f" 0, VDC, expression intégrale...) fC f    f x f x f x    f 

(4)

" '

Si on connait une solution particulière de l'EDL on cherche une solution affinement indépendante de sous la forme EDL du premier ordre en , quadrature

z Ay By Cy D

z y uz u

  

 

 

0

( )^I On peut utiliser le wronskien : si ' ' , ( ) exp ^x EDL d'ordre en 1 w yzy z w x C 



x a  y

2 *

" ' 0 , ( ) ( )

Equation d'Euler : x y axy by , a b ctes, sur _, on pose xe z t^t,  y e^t EDL à coeffs csts

Compléments : méthodes usuelles

0

()...

Variation des constantes : choix de constantes d'intégration solutions bornées... (en général, )

x







( , ) " , 0 ( ) ...

bornée possède une unique sol bornée sur (base : , 2 )

x t

x x x e

e e y Ae f t d

f y y f t

  

 

^C   



0 0 0 0

" ' 0 , ( , ), ,

( ) 0 0 0 [ , ] ( ( ) 0)

[ , ] { [ , ] / ( ) 0} ||

' 0 , solutions à valeurs réelles.

et tq , (Cauchy :

, est fini.

) (sinon, suite inj CV de zéros)

y ay by a b I

x x x x I x x x

a b I x a b x

 

      

 

   

             

   

C

0

1 0 0 1 0 1

2

( ) 0 ( , )

, ( ) ( ) 0 [ , ] / ( ) 0 (abs, / , ' /

est l strictement monot

iée one...) x

x x x x x x x x f   f w 

 

  

 

       

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

2 1

, ( , ), , ( " 0) ( " 0) ( ) / ( ) ( ) 0 ( )

[ , ] ' ', ' ( )

, , sol 0 de , sol d

(wronskien mixte

e

s'annule sur : monotonie, signe)

q

w

q q q y q y y q y a b

b w q q

a    

   



    

C  E   E    E   E

( , ) ( ) " 0

( ) , ( ) ?

Existence et unicité de tq ( problème de Cauc

Problème de Sturm-Liouville :

hy ,

)

y qy a b

a q

y    b 

  

   

C



¹ ² ⁰ ¹2^{( )}^{( )} ²2^{( ) 0}^{( ) 0} ⁰



2 / ( )

0 ( , ) ! ( ) , base, , unique de0

Si q ,   ,   a  et  b    ^^^_ ^a_b^_^_ ^a_b^_

       S   S

Développement en série entière Franchissement des singularités

Analyse : Supp sol DSE, valeur des ?a_k Synthèse : on prend cette sol, on vérifie la CV





Etude asymptotique : VDC, solution intégrale...

Série de Fourier : regarder les coeff 1 à 1 pour l'analyse (ne pas développer tout de suite)

V. SDL à coefficients constants

( ) X t'( )AX( )t B( )t , AM_n( ),BC(I, ) ( 0) X' AX

0 ( ) 0 ( ) exp( ) 0

( , ( ))

(0)

' (0) ( ) exp( )

Pour tout , la solution de est : ,

La solution de telle que est : ,

n tq

n n

x X t X t tA x

M I M AM M

X

I t M t tA

 x   

     

 C M

( )

, _n( ) [ , ] 0 ^A ^B ^{A B} (( ) ' ( ) , ^{t A} ^B est la sol, ^{tA t}^B aussi avec (0) _n ) A BM A B  e ^ e e M  A B M e ^ e e M I 

2 ( )

( , )

Au programme

, ^{s t A} ^{sA tA}

s t e ^ e e

  

2 '(0)

( , ( )) tq: ( , ) , ( ) ( ) ( ) et (0) ( ) (Intégrer, DL pour inversibilité, dériver, SDL)

n n

s t s t s t I t et^

 C M          

0

1 1

1 0

) (

(

( ) ,( ... )

( ,

...

) Si est diag dans l )

Structure : Si est vecteur propre de pour la vp , est sol de , alors

a base , ave Un

c ⁱ ⁿ

n i i i i i

n

t

i

n n

A t

V A t e V

V

V V A V

B

V e



  





 

  

 







C e solution particulière de ( ) est t e^ta



0^te^^sAB s ds( )

", " ', ' 1

En général, trois possibilités : DL, diagonalisation ou calcul direct de On pose pour se ramener à l'ordre

etA

x y  ux v y