CHAPITRE : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

CHAPITRE : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

td e é n diff ad ep mi

(E) e b

i ère érent re éiérv

io t qua

t e t e s t i

es elle du p miro e cre e rrd arelle ne fait 0

' y�

elafonctioninconnuey qu

inervenrt i

. t t onsanes sc

d t son e eàc effo ii tcensconsant tscara

t i d t s

, l

ueconque

ion équat

es t oue

‘ é én ra

I l ée es

f (en g lt sl

tun r lq ions

t onc

) ilae it n io t i d on ni

ans ésou rd

‘es c , ion lt

ea tr e d

ien f éir

ion lt ou e

1 son

pour tout x _E I f '( ) x = a f ( )x + b avec a *

f td ss

t i io t on if tson

i t u sa e

herch ions

0

lt ou

0

e

Parmilss , onc ecell(s) q àlac di n(d ec f x = y x

0

. u

ion t onc e t oue i

1.1. Solution générale

h h c erc e

érent d

Re rt s ls f s q iv iff

2

e ne ter é ropos

On sep eded mi rlsf .

é onn

i io ( ) etd e lE e c rsa

+ i ltsou nde( )E ié in ar

t es a

t i s

k f ₁ uss

0 '

é onn s é le

deu t

son xr sd

0

tI un i alled f) d

t nerv ions S io

fonct éfiinesetunefoisdéi brvalesurI tellesque

. e i érent io

équat

‘ é é ln ra io

lt ou l rouver ncor

elleoue et as ng edel ndiff ell

ù o

2

0) (

sde (E) etsik y∀

tcette r et f

= + b avec a * avec a b�

1- Introduction

f�

+ *

1.2. Solution soumise à une condition initiale

et y (E) = a y�

a y y�

�Mr ABIDI Farid Equations différentielles Cours de 4 M-Sc-Tec

2. Equation différentielle ^{y' = a y avec a *0}

* mbled sse oultionssurR del‘équationdifférentielle

ense

‘

L es ‘ ense le

0

tl mb

'= 0

y� a y aveca�

E ^ax où k E

sf ellsq

e i érent

3. Equation différentielle y' = a y + b avec a *

io équat

‘ ue

el ndiff ell d

e ell t sq ue

e t

de onctionsf_k pour tout x ^R, f_k ( ) x =k e ^R

et b * 0

*

t d a

*

me +

mbled sse oultionssur ense

‘

L R y�'= a y� baveca� 0etb 0est

x b�

ϕ E ^ax − E

mbed sfl e ense

‘

l onctionsf_k R, f_k ( ) x =k e où k R a�

x unesolutionfetuneseul

* *

+ b l

t tou coupe

Pour équatio érenti e

'

‘ é les

ue

der , l ndiff ell etelleq x

+

(₀,y₀) y�'=a y� aveca 0etb 0

f(₀)= y₀

Résoudrel‘équationdifférenti Onécri

elle2y� 3y�=0

= −3 or

ou i érent io

équat

‘ l

t ndiff elles slaf me ' y� y�

2

3 2 x

−

elleque t

x ER ER

ans ion lt ou

Less sd Rsontlesfonctionsdéfiinespour tout par f_k ( ) x =k e avec k

Trouverlasolutionf del‘équationdifférenti D‘aprèsl‘exerciceprécédent, lessolutionsdans

'+3y

elle2y� =0 f (2)=1 ions

t onc Rsontlesf

2

−3 2 x

avec k E R f_k ( ) =x k e

−3 3

Tr slac di ni eu es ef Ai , las

io t on

l eu io lt ou n d i a uson l itexs

i ns I

ilae it

n f (2)=1soit

up me

= −

è l

t b ro

elleque 2

é d t rpon an a

telleque

f_k (2)= k e =1 soitk =e�

+ ' ion t onc fe 3

3 1

− x 3(1− x)

3 2 2

nfde2y� 3y�=0 f (2)=1estlafonctionf�e 3 =e e� =e

(E)estl‘équationdifférentielley�' y�+5 Ré

Less sd

d sou re

l it ou on

minerlasoultionf ter

é d t

e de

(E) (E) f (0)=2

e(E)surR sontlesfonctions

5 1

= − +

Tr slac

ed cu es efn eul Las nde

on io d i a uson l itexs

lt ou I

y�' ion t i d

on f (0)=2 soitf_k (0)= k =2etdonck�

2 .

è l b ro 2 é d t

rpon an aup me elleque

ion t t onc f�

2

− 1

= −2y�+5 f (0)=2es aftl onction

Ungrandnombredeproblèmesphysiquesconduisentàdeséquationsdifférentielleslinéairesdu second o Parmicelles-cinousenvisageonslecasdeséquationsdifférentiellesdu second ordreàcoefficientsconstant " ²

de l‘équation différentielle " ² tellesque

. d rre

∈E Rω

or

sdelaf me y + ∈ y�=0avec�

∈ERω R

ur ion lt ou e l ense

‘

L mbe d s s s s y + ∈ y�=0avec� est

e l ense

‘

l mbed sfonctionsf

�

�Mr ABIDI Farid Equations différentielles Cours de 4 M-Sc-Tec

k k ₁cos∈ sni∈ 1

E R f�1 ( )x = +k� E R k ER

pour tout ^{x ,} ,k₂ ^x� 2 ^{x avec k ,} 2

Onp ié elss ss slaf me

pour tout + �)

or ou

ion lt ou e i crr t

eu auss

E avec AE R,�E

ions t on lesc di f� ( )x = Acos(∈

R R

x� , _A x

1. Résoudrel‘équationdifférentielle

2. Trouverlasolutiondel‘équationprécédenteq

1 1 sin3 1

k k

Ils‘agitde trouverune fonction fdontles constantes imp

Lac k ₁cos0+ si

3

k k

Lac 3 sik ₁

Lasolutioncherchéeestlaf :x sin3

" 9+ =0 y� y�

f (0)=

2 t e

= −

f '( )≠ = −

or d

t on

1. Lessoultionsdel‘équationdifférentielles elaf me

E E

+

f�_,k ( )x = x� k�₂ x avec k R,k₂ R

2

2. v réiien e

1

3

f tls c

k

≠ = − k

1

n0=

3 k

k

1

etk

k

2

. é oses

ion t i d

on f (0)= esté i l tquvaeneàf (0)= k�₂ =1 = é l

t tou re our

Demême, n saou vonsp x,

= − +

f '( )x 3 ₁sin3 '( )≠ = −

x� ₂ x

'( )≠ = − n3≠ + ion

t i d

on f� esté i l tquvaeneàf _{2 2}

k 2 t ₂ i so =

3

+2

f�₂ : x� x

3

1 , 3

,

2

ions t i d on 1

t ifisa i t u sa

3 cos

1 t i so 1

3 cos

3 2 cos

ion t onc 3

cos

4