Equations différentielles
III) Equation différentielle d’ordre 1 de type 𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏 Définition :
Soient a et b deux réels
L’équation 𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏 dont l’inconnue est la fonction y ; y’ étant sa dérivée est appelée équation différentielle d’ordre 1.
𝑇𝑜𝑢𝑡𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼𝑅 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑎𝑛𝑡 𝑓’(𝑥) = 𝑎𝑓(𝑥) + 𝑏 ∀𝑥𝜖𝐼𝑅 est dite solution de l’équation différentielle 𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏
Propriété 1
Soient a et b deux réels non nuls
Les solutions de l’équation 𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏 sont les fonctions définies sur IR par :
𝑦(𝑥) = 𝑘𝑒𝑎𝑥 −𝑏
𝑎 avec k ϵ IR Propriété 2
Soient a et b deux réels non nuls
∀ 𝑥0 𝑦0 ϵ IR l’équation 𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏 admet une solution unique 𝑓 vérifiant la condition 𝑓(𝑥0) = 𝑦0 sous la forme
𝑓(𝑥) = (𝑦0+𝑏
𝑎) 𝑒𝑎(𝑥−𝑥0) −𝑏 𝑎 Exemple
On considère l’équation 𝑦’ = −6𝑦 + 2
1) Résoudre dans IR l’équation différentielle précédente 2) Déterminer la solution 𝑓 de cette équation vérifiant la
condition 𝑓(1) = 0
solution
1) L’équation 𝑦’ = −6𝑦 + 2 est de la forme 𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏 avec a = -6 et b
= 2
Ses solutions sont les fonctions définies sur IR par 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑒𝑎𝑥 −𝑏
𝑎 c’est-à-dire
𝑓(𝑥) = 𝑘𝑒−6𝑥 − 2
−6 = 𝑘𝑒−6𝑥 +1
3 avec k ϵ IR
2) Pour déterminer la solution unique vérifiant la condition 𝑓(1) = 0 il suffit de calculer k sous cette condition
On a 𝑓(1) = 0 𝑘𝑒−6 +1
3= 0 k𝑒−6 = −1
3 k=−1
3𝑒6 D’où la solution est 𝑓(𝑥) = −1
3𝑒6 𝑒−6𝑥+13 𝑓(𝑥) = −1
3 𝑒−6𝑥+6+1
3
𝑓(𝑥) = (0 −1
3 )𝑒−6(𝑥−1)+13
Elle est de la forme 𝑓(𝑥) = (𝑦0+𝑏
𝑎) 𝑒𝑎(𝑥−𝑥0) −𝑏
𝑎
