Equations différentielles

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*** Cours de mathématiques / Prof :Aloui Fahem / 4ième Sc.Exp 1 & 2 / Juin 2020 ***

$$$ Lycée Sidi Bouzid $$$

Cours de mathématiques :

Chapitre :

Equations différentielles

Bac 2k20

Bonne chance

$$$ Lycée Sidi Bouzid *** A.S : 2019 / 2020 *** $$$ Page 1/3

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Equations différentielles 1°. Définition

Activité Soit la fonction ^{f x}^: ^e⁻^x ; déterminer une relation entre ^f ^' et ^f . On a f x( )=e⁻^x donc f x'( )= −e⁻^x d’où ^{f x}^{'( )}^{= −}^{f x}^{( )} .

ainsi on a ^{f x}^{'( )}^{= −}^{f x}^{( )} , on dit dans ce cas que ^{f x}^{( )} est une solution d’une équation du type ^y^'⁼^{a y} , ⁽^a^{= −}¹⁾ ; appelée équation différentielle .

Théorème soit ^a un réel . L’ensemble des solutions de l’équation différentielle ^y^'⁼^{a y} est l’ensemble des fonctions définies sur IR par f x: k e^{a x} , où k est un réel quelconque .

Exemples a/ L’ensemble des solutions de l’équation différentielle y'=3y sont les fonctions f x( )=k e³^x, ^k^∈^IR . b/ * * L’ensemble des solutions de l’équation différentielle 5 'y + =y 0 1

( ' )

y −5 y

⇔ = sont toutes

les fonctions définies par g( )x =λe⁻¹⁵^x ,λ∈IR. * * Déterminons la solution vérifiant y(1)=2

on a g( )x =λe⁻¹⁵^x et g(1) = 2 ⇒ λ= 2e¹⁵ et par suite g( )x =2e⁻¹⁵⁽^x⁻¹⁾ Théorème soit ^a un réel non nul . L’équation ^y^'⁼^{a y} admet une unique solution qui prend la valeur y0 en x0 définie sur IR par f x:  y e₀ ^a⁽^x⁻^x⁰⁾

Exemple La solution sur IR de l’équation différentielle y^'=² y et tel que ( 1)y − = 2 est f x( )= 2e²⁽^x⁺^{1 )} Corrigé activité 6 page 168

0.5 0.5

0

0 0 0 0

0.5 0 0 0 0.5

0.5 0.5

2

'( ) ( ) ( ) ;

0 (0) ( )

( ) 0, 5 0, 5 0, 5 ln 2

57 ln 2 /

3 / 30

on a donc

Pour on

1 /

a donc

t

T T

N t N t N t k e k IR

t N N k e N k N N t N e

t T N t N N N e e T

T T

λ

λ λ

λ

−

− −

°

= − ∈

= = = ⇒ =

= = ⇒ =

= =

° ₌

, =

= =

or à on a donc d'où

d'où

a/ Ona or ⁴

0.5

0 0 0

0.5

ln 2 1, 2.10

( ) 0, 6 0, 6

ln 0, 6 ln 0, 6

0, 6 ; 4223

ln 2

donc ^t

t

T

N t N N e N

e t t T

λ

λ λ

λ

−

=

⇒ = − = −



=

d'où b/ Ona

d'où soit années

Exercice N°4 Bac 2012 Principale

(3)

2°. Equations DifférEntiEllEs Du typE ^y^'⁼^{a y b}⁺ ^;â^∈^{IR b}^*^, ^∈ÎR Activité a/ Soit la fonction ^{f x}^: ê⁻²^x⁺³.

Q : Déterminer une relation entre ^f ^' et ^f .

R : On a ^{f x}^{( )}⁼^e⁻²^x⁺³ donc ^{f x}^{'( )}^{= −}²^e⁻²^x d’où ^{f x}^{'( )}^{= −}^{2 ( ) 6}^{f x} ⁺ ; ainsi on a :

^{f x}^{'( )}^{= −}^{2 ( ) 6}^{f x} ⁺ , on dit que ^{f x}^{( )} est une solution de l’équation différentielle ^{( ) :}^E ^y^'^{= −}²^y⁺⁶ b/ Soit ^g une solution de ^y^'^{= −}² ^y⁺⁶ et la fonction ^{h x}^: ^^{g x}^{( ) 3}⁻ .

Q : Montrer que ^h est une solution de ^y^'^{= −}²^y puis en déduire ^{g x}^{( )}.

R : ^g solution de ^{( )}^E donc ^{g'( )}x = −^{2 ( ) 6}g x + ⇒ h x^{'( )}= −2 ( ( ) 3 ) 6h x + + ⇒ h x'( )= −2 ( )h x d’où ^h est une solution de l’équation différentielle ^y^'^{= −}²^y

donc h x( )=k e⁻²^x,k∈IR et par suite g x( )=k e⁻²^x+3 ,k∈IR Théorème

L’ensemble des solutions de l’équation différentielle ^y^'⁼^{a y b}⁺ ^; â^∈ÎR^*^, ^b^∈ÎR sont les fonctions ^f ^: ^{k e}^{a x} ^b ^, ^k ÎR

−a ∈



Si de plus f x( )0 = y0 , La fonction : ( 0 b ) ^{a x}⁽ ^x⁰⁾ b

f x y e

a a

+ − −

 est l’unique solution .

Exemple Donner l’unique solution ^f de l’équation différentielle ( ) : 2E y'−2 y=1 tel que f(0)= −1

2

0 0

2 1

2 ( 1

1

0) 1 , 0 1 ( ) (

( ) ( de la ' ; 2

1 )

2

)

' 2

x

E y y ay b a b

f x y f x e

y + = + = =

= − = = − = − +

=

soi

forme et

t et d'où

est équivalente à et on a

Corrigé activité 3 page 170

1

1 /

( ) 1

2 / U U U ( ) '( ) ( )

1 1 1

3 / '( ) ( ) '( ) ( )

( ) ( ) ( ) '( ) .

( )

; (de la ' ; ( ) , )

R C G

RCt

Ri t q t E Rq t q t E

C C

E E

Rq t q t E q

dq t

t q t y ay b y q

i t i t q t

dt

q t k e

t a b

C R R

C

C R

E

R C

−

°

° + = ⇒ + = ⇒ + =

° + = ⇒ = − + = + =

= =

= +

= − =

soit

donc où

forme et

k est une constan

Onsait que Ona

Ona

1

1 1

4 / 10 1

( ) '( )

( ) (0) 10 0 ( ) 10

RCt

t t

RC RC

et i t q t k e RC

i t k e et k

k RC

i RC i t e

RC

−

− −

° ⇒ − = ⇒ = −

= = −

= − = et par suit =

e

e t

Ona

Exercice N°4 Bac 2017 Contrôle

(4)

3°. Equations DifférEntiEllEs Du typE ^y^''⁺^{w y}² ⁼ ^{0 ;} ^w^∈^IR Activité Soit l’équation différentielle ^{( E ):} ^y^''⁺⁹^y⁼⁰

Montrons que la fonction ^{f x}^: ^â^{sin(3 )}^x ⁺^b^{cos(3 ) ;}^x â^∈^{IR b}^, ^∈ÎR est une solution de ( E ) . on a '( ) 3 cos(3 ) 3 sin(3 ) donc ''( ) 9 sin(3 ) 9 cos(3 )

d'où ''( ) 9( sin(3 ) cos(3 )) 9 ( ) ''( ) 9 ( ) 0

f x a x b x f x a x b x

f x a x b x f x

f x f x

= − = − −

= − + = −

⇒ + =

ainsi ^{f x}^{( )} est une solution de l’équation différentielle ( E ).

Si on suppose de plus que ⁽⁰⁾ ³

f = 2 et ^'(0) ³

f = 2 , on trouve ¹ ³

2 et 2

a= b= et par suite

^: ¹^{sin(3 )} ³^{cos(3 )}

2 2

f x x + x est l’unique solution de ( E ) vérifiant ⁽⁰⁾ ³

f = 2 et ^'(0) ³ f = 2 Théorème

Soit ^w un réel non nul . L’ensemble des solutions de l’équation différentielle ^y^''⁺^{w y}² ⁼⁰ sont les fonctions définies sur IR par ^{f x}^{( )}⁼â^sin(^{w x}⁾⁺^b^cos(^{w x}⁾ ; â^∈ÎR ^, ^b^∈ÎR Si f(0)=x0 et f '(0)= y0 , La fonction : y⁰ sin( ) 0cos( )

f x w x x w x

w +



est l’unique solution de y''+w y² =0

Application Donner la solution f sur IR de l’équation différentielle y^{'' 2}+ y=^{0 ;} y(0) 1 et y'(0)= = 2

2

0 0

0 (0) 1 '(

( de la '' 0 ; 2 )

0) 2 , 1 2 ( ) sin( 2 ) cos( 2 )

'' 2

f f x y x

w

x w

f y

x

y y

= = = = = +

+ = =

+ =

et soit et d'où

forme

On a et on a

Corrigé exercice N°15 page 177

2

2 2

( ) : '' 2 ' , ' 2

. '

(

1 / ( )

,

' , ;

2

2 / ) (

'

.

x

x x

E y y z y E z z

z ke k IR

y ke k IR y ke k IR IR

f f

z y

E

λ λ

°

= ∈

= ∈ = +

=

= ∈

°

=

∈

= dont l'ensemble des fonctions solutions s

Ona enposant alors est é

ont définies par

or do

quivalente à

solution d

nc d'où et

donc

e ²

2

) ;

2

1 3

'(0) 1 (0) 2 ( )

2 2

x

x ke k IR IR

f et f f x e

λ λ

= + ∈ ∈

= = = +

et on trou

et comme ve