Equations différentielles

Equations différentielles

I- Notion d’équation différentielle

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction dérivable sur ℝ ou sur un intervalle de ℝ . Cette équation fait intervenir la fonction, généralement notée y, ses dérivées y’ , y’’ …..

et/ou des fonctions connues.

Exemples : Les solutions de l'équation différentielle y '=f sont les primitives de f On distingue plusieurs types d’équations différentielles :

• Les équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants sans second membre : Exemple : y’ + 5y = 0

• Les équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants avec second membre : Exemple : y’ + 5y = e^x

• Les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants sans second membre : Exemple : y’’ + y’ +5y = 0 (elles sont hors programmes)

Et bien d’autres ………

II- Résolutions d'équations différentielles a) Equation différentielles y'=ay

Théorème : Soit a un réel. Les solutions de l’équation différentielle : y’ = a y sont les fonctions y définies par : y(x) = C e^ax où C est une constante réelle

Démonstration : 2 étapes pour cette démonstration :

1) on prouve que de telles fonctions sont solutions de (E) ce qui prouve l’existence de solutions

2) on prouve ensuite que ces fonctions sont les seules solutions de (E) sur ℝ.

On peut introduire pour cela la fonction z(x) = y(x) e^–ax où y est une solution quelconque de (E)

On démontre alors que z’(x) = 0 et on conclut.

Voir l’activité pour les détails de cette démonstration

b) Equations différentielles y'=ay+b

Théorème : Soit a et b deux réels non nuls. Soit (E) l'équation différentielle _{y '=ay+b}

• (E) admet une unique solution particulière constante qui est la fonction x → −b a

• Les solutions sur ℝ de (E) sont les fonctions x → C e^ax−b

a où C est une constante réelle

• Quels que soient les nombres réels x0 et y0 , l'équation (E) admet une unique solution g vérifiant g(x0)=y₀

Démonstration Rappel de la marche à suivre : 1) On montre que les fonctions x → C e^ax−b

a sont solutions de (E) 2) Réciproquement

a) On vérifie que g(x)=−b

a est solution de (E) b) Soit f une fonction solution de (E).

On démontre alors que la fonction (f −g)(x) est solution de l'équation différentielle y '=ay c) On en déduit alors une expression de f ₋g puis de f

c) Equations différentielles y '=ay₊f

Théorème : Soient a un réel et f une fonction définie sur un intervalle I.

Soient (E) l'équation différentielle y '=ay+f et g une solution particulière de (E) sur I Les solutions de (E) sur I sont les fonctions x → C e^ax+g(x) où C est une constante réelle