Equations différentielles

(1)

Equations différentielles d’ordre 2 De type 𝑦’’ + 𝑎𝑦’ + 𝑏𝑦 = 0

Equations différentielles d’ordre 2

• Définition 1

• Soient 𝑎 et 𝑏 deux réels

• 𝐿’é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑦" + 𝑎𝑦′ + 𝑏𝑦 = 0 Ou l’inconnue est la fonction y ,y’

sa dérivée , y ’’ sa dérivée seconde est appelée l’équation différentielles

• D’ordre 2

• Toute fonction deux fois dérivables sur IR et vérifiant :

• ∀𝑥 ∈ 𝐼𝑅 𝑓^′′(𝑥) + 𝑎𝑓^′(𝑥) + 𝑏𝑓(𝑥) = 0

• Est appelée solution de l’équation 𝑦" + 𝑎𝑦′ + 𝑏𝑦 = 0

• Définition 2

• Soient a et b deux réels

• 𝐿’é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟²+ 𝑎𝑟 + 𝑏 = 0 𝑜𝑢 𝑟 Est l’inconnue est appelée

• Équation caractéristique de l’équation différentielle

• 𝑦^′′+ 𝑎𝑦^′+ 𝑏𝑦 = 0 Résolution

• Propriété

• 𝑂𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑è𝑟𝑒 𝑙’é 𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑓𝑓é𝑟𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑦^′′+ 𝑎𝑦^′ + 𝑏𝑦 = 0 (𝐸) 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑟é𝑒𝑙𝑠

• Son équation caractéristique est 𝑟²+ 𝑎𝑟 + 𝑏 = 0

• 1^er cas ∆> 0

• l’équation admet deux solutions différentes 𝑟₁ 𝑒𝑡 𝑟₂ alors les solutions de l’équation

• Différentielles 𝑦^′′+ 𝑎𝑦^′ + 𝑏𝑦 = 0 sont les fonctions définies sur IR par :

• ∀∈ 𝐼𝑅 𝑓(𝑥) = 𝛼𝑒^𝑟¹^𝑥 + 𝛽𝑒^𝑟²^𝑥 avec 𝛼 𝑒𝑡 𝛽 deux réels

2eme cas ∆= 0

• L’équation admet une solution double 𝑟₀ alors :

• Les solutions de l’équation (E) sont les fonctions définies par :

• ∀𝑥 ∈ 𝐼𝑅 𝑓(𝑥) = (𝛼𝑥 + 𝛽)𝑒^𝑟⁰^𝑥 3eme cas ∆< 0

• L’équation admet deux solutions complexes conjuguées :

(2)

• 𝑟₂ = 𝑝 + 𝑖𝑞 𝑒𝑡 𝑟₂ = 𝑝 − 𝑖𝑞

• Alors les solutions de (E) sont les fonctions définies sur IR par:

• 𝑓(𝑥) = 𝑒^𝑝𝑥(𝛼 cos 𝑞𝑥 + 𝛽 sin 𝑞𝑥) avec 𝛼 𝑒𝑡 𝛽 deux réels

(3)

Equations différentielles

III) Equation différentielle d’ordre 1 de type 𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏

Définition

Soient a et b deux réels

L’équation 𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏 dont l’inconnue est la fonction y ; y’ étant sa dérivée est appelée équation différentielle d’ordre 1.

𝑇𝑜𝑢𝑡𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼𝑅 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑎𝑛𝑡 𝑓’(𝑥) = 𝑎𝑓(𝑥) + 𝑏 ∀𝑥𝜖𝐼𝑅 est dite solution de l’équation différentielle

𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏

Propriété 1

Soient a et b deux réels non nuls

Les solutions de l’équation 𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏 sont les fonctions définies sur IR par :

𝑦(𝑥) = 𝑘𝑒^𝑎𝑥 −^𝑏

𝑎 Avec k ϵ IR

Propriété 2

∀ 𝑥₀𝑦₀ ϵ IR l’équation 𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏 admet une solution unique 𝑓 vérifiant la condition 𝑓(𝑥₀) = 𝑦₀ sous la forme

𝑓(𝑥) = (𝑦₀+^𝑏

𝑎) 𝑒^{𝑎(𝑥−𝑥}⁰⁾ −^𝑏

𝑎

Exemple

(4)

On considère l’équation 𝑦’ = −6𝑦 + 2 1) Résoudre dans IR l’équation différentielle

précédente

2) Déterminer la solution 𝑓 de cette équation vérifiant la condition 𝑓(1) = 0

solution

1) L’équation 𝑦’ = −6𝑦 + 2 est de la forme 𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏 avec a = -6 et b = 2 Ses solutions sont les fonctions définies sur IR par 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑒^𝑎𝑥 −^𝑏

𝑎 c’est-à- dire

𝑓(𝑥) = 𝑘𝑒^−6𝑥 − ²

−6

= 𝑘𝑒^−6𝑥 +¹

3 avec k ϵ IR

2) Pour déterminer la solution unique

vérifiant la condition 𝑓(1) = 0 il suffit de calculer k sous cette condition

On a 𝑓(1) = 0  𝑘𝑒⁻⁶ +¹

3= 0  k𝑒⁻⁶ = −¹

3  k=−¹

3𝑒⁶

D’où la solution est 𝑓(𝑥) = −¹

3𝑒⁶ 𝑒^−6𝑥+¹₃

𝑓(𝑥) = −¹

3

𝑒^−6𝑥+6+¹₃

𝑓(𝑥) = (0 −¹

3

)𝑒^{−6(𝑥−1)}+¹₃

Elle est de la forme

^{𝑓(𝑥) =}

𝑏 𝑎(𝑥−𝑥 ) 𝑏

(5)

Equations différentielles

III) Equation différentielle d’ordre 1 de type 𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏

Définition

Soient a et b deux réels

L’équation 𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏 dont l’inconnue est la fonction y ; y’ étant sa dérivée est appelée équation différentielle d’ordre 1.

𝑇𝑜𝑢𝑡𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐼𝑅 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑎𝑛𝑡 𝑓’(𝑥) = 𝑎𝑓(𝑥) + 𝑏 ∀𝑥𝜖𝐼𝑅 est dite solution de l’équation différentielle 𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏

Propriété 1

Les solutions de l’équation 𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏 sont les fonctions définies sur IR par :

𝑦(𝑥) = 𝑘𝑒^𝑎𝑥 −^𝑏

𝑎 Avec k ϵ IR

Propriété 2

∀ 𝑥₀𝑦₀ ϵ IR l’équation 𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏 admet une solution unique 𝑓 vérifiant la condition 𝑓(𝑥₀) = 𝑦₀ sous la forme

𝑓(𝑥) = (𝑦₀+𝑏

𝑎) 𝑒^{𝑎(𝑥−𝑥}⁰⁾ −𝑏 𝑎

Exemple

(6)

On considère l’équation 𝑦’ = −6𝑦 + 2

1) Résoudre dans IR l’équation différentielle précédente

2) Déterminer la solution 𝑓 de cette équation vérifiant la condition 𝑓(1) = 0

solution

1) L’équation 𝑦’ = −6𝑦 + 2 est de la forme 𝑦’ = 𝑎𝑦 + 𝑏 avec a = -6 et b = 2 Ses solutions sont les fonctions définies sur IR par 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑒^𝑎𝑥 −^𝑏

𝑎 c’est-à- dire

𝑓(𝑥) = 𝑘𝑒^−6𝑥 − ²

−6 = 𝑘𝑒^−6𝑥 +¹

3 avec k ϵ IR

2) Pour déterminer la solution unique

vérifiant la condition 𝑓(1) = 0 il suffit de calculer k sous cette condition

On a 𝑓(1) = 0  𝑘𝑒⁻⁶ +¹

3= 0  k𝑒⁻⁶ = −¹

3  k=−¹

3𝑒⁶

D’où la solution est 𝑓(𝑥) = −¹

3𝑒⁶ 𝑒^−6𝑥+¹

3

𝑓(𝑥) = −¹

3 𝑒^−6𝑥+6+¹

3

𝑓(𝑥) = (0 − ¹

3 )𝑒^{−6(𝑥−1)}+¹

3

Elle est de la forme

^{𝑓(𝑥) =}

(𝑦₀+^𝑏

𝑎) 𝑒^{𝑎(𝑥−𝑥}⁰⁾ −^𝑏

𝑎

(7)

• Exemple

• Résoudre l’équation différentielles 𝑦^′′− 7𝑦^′ + 12𝑦 = 0

• On a l’équation caractéristiques est 𝑟²− 7𝑟 + 12 = 0

• Son discriminent est :

• ∆= 1

• L’équation caractéristique admet deux solutions 𝑟₁ = 3 𝑒𝑡 𝑟₂ = 4

• Les solutions de l’équation différentielle 𝑦^′′− 7𝑦^′ + 12𝑦 = 0 sont alors les foncions définies sur IR par :

• ∀𝑥 ∈ 𝐼𝑅 𝑓(𝑥) = 𝛼𝑒^3𝑥 + 𝛽𝑒^4𝑥 Avec 𝛼 et 𝛽 deux réels

EXERCICES 1

RESOUDRE DANS IR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES SUIVANTES

:

1) 𝑦^′′+ 𝑦 = 0

2) 𝑦^′′− 3𝑦^′ + 2𝑦 = 0 3) 𝑦^′′+ 2𝑦^′ + 2𝑦 = 0

EXERCICE 2

• Déterminer la solution de l’équation différentielle vérifiant les deux conditions initiales

• Dans chacun des cas

1) 𝑦^′′− 2𝑦^′ − 8𝑦 = 0 𝑒𝑡 𝑦(0) = 𝑦^′ = 2

2) 𝑦^′′+ 6𝑦^′ + 9𝑦 = 0 𝑒𝑡 𝑦(0) = 1 𝑒𝑡 𝑦^′(0) = −1 3) 𝑦^′′+ 2𝑦^′ + 5𝑦 = 0 𝑒𝑡