BTS2 - Equations différentielles

Exercices : Equations différentielles Page 1

Exercices équations différentielles

Equations différentielles du 1^er ordre Exercice 1 : Résoudre les équations différentielles suivantes.

1. y’ + y = 0 2. 6 y’ + y = 0 3. y’ = 5 y 4. (1 + x) y’ + y = 0 5. y’ + (0,4 x) y = 0 6. y’ - 1

x ^{y = 0} 7. y’ - e^x y = 0

Exercice 2 : Résoudre en précisant l’intervalle les équations différentielles suivantes. On cherchera une solution particulière de la forme A cos(x) + B sin(x).

1. 2 y’ + y = cos x 2. y’ + 3 y = 4 sinx + cosx

Exercice 3 : Résoudre sur IR l’équation différentielle (1 + t ²) x’ = t x et déterminer la solution particulière f telle que f (0) = 1.

Exercice 4 (type BTS) : Soit l’équation différentielle (E) : t y’ - 2 y = ln t .

1. Déterminer sur I = ]0; +[ la solution générale de l’équation homogène associée.

2. Vérifier que la fonction g définie sur I par : g t( ) 1lnt 2

1

4 est solution de (E).

3. Déterminer la solution générale de (E) et la solution f de (E), vérifiant f (1) = 0.

Equations différentielles du 2^nd ordre à coefficients constants Exercice 5 : Résoudre dans :

1. 4y + y = 0 2. y - 2y’ + y = 0 3. y - 3y’ = 0 4. 2x - 6x’ + 5x = 0 5. 2y - 5y’ + 2y = 0 6. 2x - 2x’ + x = 0

Exercices issus de sujets d'examens Exercice 6 : On considère l’équation différentielle (E) : y' ' – 2 y ' + y = 2 e^x.

Son inconnue y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur , y ' est sa fonction dérivée et

y ' ' est sa fonction dérivée.

1. Déterminer les solutions sur de l’équation différentielle (E⁰) : y' ' – 2 y ' + y = 0.

2. Montrer que la fonction g définie pour tout réel x par : g(x) = x² e^x est une solution particulière de l’équation différentielle (E).

3. En déduire la solution générale de l’équation différentielle (E).

4. Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales : f(0)

= 1 et f ' (0) = 3.

Exercice 7 : On considère l’équation différentielle : (E) : y ’ ’ – y ’ – 2y = ( - 6 x – 4 ) e ^{- x}.

où y est une fonction de la variable réelle x , définie et deux fois dérivable sur , y ’ sa fonction dérivée première et y ’ ’ sa fonction dérivée seconde.

Exercices : Equations différentielles Page 2

1° Résoudre sur l’équation différentielle (E0) : y ’ ’ – y ’ – 2y = 0.

2° Soit h la fonction définie sur par : h (x) = ( x² + 2x ) e ^{- x}.

Démontrer que h est une solution particulière de l’équation différentielle (E).

3° En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).

4° Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales : f (0) = 1 et f ’ (0) = 1 .

Exercice 8 : ( 2006 )

On considère l’équation différentielle : (E) : y ’ ’ – 3 y ’ – 4 y = - 5 e ^{- x}.

où y est une fonction de la variable réelle x , définie et deux fois dérivable sur , y ’ sa fonction dérivée première et y ’ ’ sa fonction dérivée seconde.

1° Résoudre sur l’équation différentielle (E⁰) : y ’ ’ – 3 y ’ – 4 y = 0.

2° Soit h la fonction définie sur par : h (x) = x e ^{- x}.

Démontrer que h est une solution particulière de l’équation différentielle (E).

3° En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).

4° Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales : f (0) = 2 et f ’ (0) = -1 .

Exercice 9 : Partie A de l’exercice 2 du sujet expert auto 2004 On considère l’équation différentielle (E) : y’ – y = (x² + 4x + 3) e^2x.

Son inconnue y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur , et y’ est sa fonction dérivée.

1. Déterminer les solutions sur de l’équation différentielle (E⁰) : y’ – y = 0.

2. Soit h la fonction définie pour tout réel x par : h(x) = (ax² + bx + c) e^2x, où a, b et c sont des réels.

a. Calculer, pour tout réel x, le nombre h’(x) en fonction de a, b et c.

b. Déterminer les réels a, b et c tels que h soit solution de l’équation différentielle (E).

3. En déduire l’ensemble des solutions sur de l’équation différentielle (E).

4. Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) dont la représentation graphique dans un repère passe par le point de coordonnées (0 ; 1).

Exercice 10 : On considère l’équation différentielle : (E) : y’ + y = 2 e^-x.

où y est une fonction de la variable réelle x , définie et dérivable sur , y’ sa fonction dérivée.

1° Résoudre sur l’équation différentielle (E⁰) : y’+ y = 0.

2° Soit h la fonction définie sur par : h(x) = 2x e^-x.

Démontrer que h est une solution particulière de l’équation différentielle (E).

3° En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).

4° Déterminer la solution f de l’équation différentielle (E) dont la courbe représentative, dans un repère orthonormal, passe par le point de coordonnées ( 3 ; 0 ).

5° Soit la fonction f définie sur par f x( )(2x3)e^x. On admet que f est solution de (E).

En déduire une primitive F de f sur .

Exercice 11 : On considère l'équation différentielle (E) : y ' + (0,4 x) y = 0,4 x où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur [0, +[ , et y' sa fonction dérivée.

1 ° Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E^o) : y ' + (0,4 x) y = 0.

2° Montrer que la fonction constante h, définie sur [0, + [ par h(x) = 1, est une solution particulière de l'équation différentielle (E).

3° En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E ).

4° Vérifier que la fonction F définie sur [0, +  [ par F ( x ) = 1 – e^0,2x2est la solution particulière de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale F(0) = 0.

Exercices : Equations différentielles Page 3

Correction exercice 6 :

1. (E⁰) est une équation différentielle du second ordre car elle contient y’’

C’est une équation sans second membre (ou équation homogène).

L’équation caractéristique associée est

Dont le discriminant est ( ) L’équation caractéristique a donc 1 racine double

( ) D’après le formulaire

:

( ) ( )

( )

Dans cet exercice la variable est x et non pas t.

Donc les solutions de l’équation différentielle E⁰

sont :

( ) ( )

2. On va injecter la solution particulière proposée ( ) dans l’équation différentielle (E).

Calcul de g’ et g’’ :

est de la forme donc sa dérivée est

( ) ( ) ( ) ( ) est de la forme donc sa dérivée est

( ) (( ) ) ( ) ( )

On injecte g, g’ et g’’ dans le membre de gauche de l’équation différentielle (E) :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) CQFD

La fonction ( ) est une solution particulière de l’équation différentielle (E)

3. La solution générale de l’équation différentielle (E) est la somme de la solution générale de l’équation différentielle homogène (E

0

) et d’une solution particulière de l’équation différentielle (E) donc ( ) ( )

( ) ( )

4. On cherche les valeurs de λ et µ qui font que la solution f vérifie 2 conditions ( ) et ( )



La première condition ( ) conduit à

( )



Pour utiliser la deuxième condition ( ) il faut trouver l’expression de ( ) ( ) est de la forme donc sa dérivée est

( ) (( ) )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Exercices : Equations différentielles Page 4 La deuxième condition s’écrit donc ( )

Soit ( ) et comme alors

La solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales est : ( ) ( )

Correction exercice 7 :

1. (E⁰) est une équation différentielle du second ordre car elle contient y’’

C’est une équation sans second membre (ou équation homogène).

L’équation caractéristique associée est

Dont le discriminant est ( ) ( ) L’équation caractéristique a donc 2 racines réelles

√

( ) √ √

( ) √ D’après le formulaire

:

( )

Dans cet exercice la variable est x et non pas t.

Donc les solutions de l’équation différentielle E⁰

sont :

( )

2. On va injecter la solution particulière proposée ( ) ( )

dans l’équation différentielle (E).

Calcul de h’ et h’’ :

( )

est de la forme donc sa dérivée est ( ) (( )

) ( )

( ) (

) ( ) ( )

( )

( )

est de la forme donc sa dérivée est

( ) (( )

) ( )

( ) (

)

( ) ( )

On injecte h, h’ et h’’ dans le membre de gauche de l’équation différentielle (E) :

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

CQFD

La fonction ( ) ( )

est une solution particulière de l’équation différentielle (E)

3. La solution générale de l’équation différentielle (E) est la somme de la solution générale de l’équation différentielle homogène (E

⁰

) et d’une solution particulière de l’équation différentielle (E) donc ( )

( )

( )

( )

Exercices : Equations différentielles Page 5 4. On cherche les valeurs de λ et µ qui font que la solution f vérifie 2 conditions ( )

et ( )



La première condition ( ) conduit à

( )



Pour utiliser la deuxième condition ( ) il faut trouver l’expression de ( ) ( ) (

( )

)

( )

( )

( ) (

) ( )

( )

( )

( )

La deuxième condition s’écrit donc

( )

Soit

Les deux conditions conduisent donc à un système de deux équations avec 2 inconnues

{

{ {

{

{

La solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales est : ( )

( )

Correction exercice 8 :

1. (E⁰) est une équation différentielle du second ordre car elle contient y’’

C’est une équation sans second membre (ou équation homogène).

L’équation caractéristique associée est

Dont le discriminant est ( ) ( ) L’équation caractéristique a donc 2 racines réelles

√

( ) √ √

( ) √ D’après le formulaire

:

( )

Dans cet exercice la variable est x et non pas t.

Donc les solutions de l’équation différentielle E⁰

sont :

( )

2. On va injecter la solution particulière proposée ( )

dans l’équation différentielle (E).

Calcul de h’ et h’’ :

est de la forme donc sa dérivée est

( ) (

)

( ) (

)

( ) ( )

Exercices : Equations différentielles Page 6 ( )

est de la forme donc sa dérivée est

( ) (( )

) ( )

( ) (

)

( ) ( )

( ) ( )

On injecte h, h’ et h’’ dans le membre de gauche de l’équation différentielle (E) :

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

CQFD

La fonction ( )

est une solution particulière de l’équation différentielle (E)

3. La solution générale de l’équation différentielle (E) est la somme de la solution générale de l’équation différentielle homogène (E

0

) et d’une solution particulière de l’équation différentielle (E) donc ( )

( )

( )

4. On cherche les valeurs de λ et µ qui font que la solution f vérifie 2 conditions ( ) et ( )



La première condition ( ) conduit à

( )



Pour utiliser la deuxième condition

^{( )}

il faut trouver l’expression de ( )

( ) (

( )

)

( )

( )

( ) (

) ( )

( )

( )

( )

La deuxième condition s’écrit donc

( )

Les deux conditions conduisent donc à un système de deux équations avec 2 inconnues {

{

{

{

{

La solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales est : ( ) ( )

Correction exercice 9 :

1. (E⁰) est une équation différentielle du premier ordre car elle contient y’ et pas y’’

C’est une équation sans second membre (ou équation homogène) dont les coefficients sont ( ) et ( )

( ) ( )

Exercices : Equations différentielles Page 7

Une primitive de -1 est ( )

D’après le formulaire

:

( )

^{( )} Dans cet exercice la variable est x et non pas t.

( )

^{( )}

^{( )}

Donc les solutions de l’équation différentielle (E⁰)

sont :

( ) 2. a.

( )

est de la forme donc sa dérivée est ( ) (( )

)

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

b. On injecte h et h’ dans le membre de gauche de l’équation différentielle (E) : ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ( ) )

h est solution de l’équation différentielle si ( ( ) )

est égal au second membre de l’équation différentielle ( )

( ( ) )

( )

{

(Par identification) Ce qui conduit aux valeurs de a, b et c

{

La fonction ( ) ( )

est une solution particulière de l’équation différentielle (E)

3. La solution générale de l’équation différentielle (E) est la somme de la solution générale de l’équation différentielle homogène (E

0

) et d’une solution particulière de l’équation différentielle (E) donc

( ) ( )

4. On cherche la valeur de k qui fait que la solution f vérifie la condition ( ) . ( ) conduit à

( )

La solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale est : ( ) ( )

Correction exercice 10 :

1. (E⁰) est une équation différentielle du premier ordre car elle contient y’ et pas y’’

C’est une équation sans second membre (ou équation homogène) dont les coefficients sont ( ) et ( )

Exercices : Equations différentielles Page 8

( )

( ) Une primitive de 1 est ( )

D’après le formulaire

:

( )

^{( )} Dans cet exercice la variable est x et non pas t.

( )

^{( )}

^{( )}

Donc les solutions de l’équation différentielle (E⁰)

sont :

( )

2. On va injecter la solution particulière proposée ( )

dans l’équation différentielle (E).

Calcul de h’ :

est de la forme donc sa dérivée est

( ) (

)

( ) ( )

On injecte h et h’ dans le membre de gauche de l’équation différentielle (E) :

( ) ( )

( )

( ) ( )

CQFD

La fonction ( )

est une solution particulière de l’équation différentielle (E)

3. La solution générale de l’équation différentielle (E) est la somme de la solution générale de l’équation différentielle homogène (E

0

) et d’une solution particulière de l’équation différentielle (E) donc ( )

( ) ( )

4. On cherche la valeur de k qui fait que la solution f vérifie la condition ( ) . ( ) conduit à

( )

La solution f de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale est : ( ) ( )

5. La fonction proposée est solution de l’équation différentielle (E) donc ( ) ( )

Une primitive de ( ) ( ) est ( ) ( ) Une primitive de

est

donc

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

Correction exercice 11 :

1. (E⁰) est une équation différentielle du premier ordre car elle contient y’ et pas y’’

Exercices : Equations différentielles Page 9

C’est une équation sans second membre (ou équation homogène) dont les coefficients sont

( ) et ( )

( ) ( )

Une primitive de est ( )

D’après le formulaire

:

( )

^{( )} Dans cet exercice la variable est x et non pas t.

( )

^{( )}

^{( )}

Donc les solutions de l’équation différentielle (E⁰)

sont :

( )

2. On va injecter la solution particulière proposée ( ) dans l’équation différentielle (E).

Calcul de h’ : ( )

On injecte h et h’ dans le membre de gauche de l’équation différentielle (E) : ( ) ( ) ( )

( ) ( ) CQFD

La fonction ( ) est une solution particulière de l’équation différentielle (E)

3. La solution générale de l’équation différentielle (E) est la somme de la solution générale de l’équation différentielle homogène (E

0

) et d’une solution particulière de l’équation différentielle (E) donc

( )

4. La fonction proposée est solution de l’équation différentielle car il correspond à la solution générale en prenant k = -1

Calcul de ( ) : ( )

Donc la solution proposée vérifie la condition ( )