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EQUATIONS DIFFERENTIELLES
1) Équation différentielle du premier ordre :
( )
E :y ' = ay , a ∈ℝ
Soit un réel donné, les solutions de l'équation différentielle du premier ordre ' sont les fonctions définies sur , par ( ) , étant une constante réelle.
Pour tout couple de réel
ax
Théorème
a y ay
f f x Ce C
= ℝ =
(
0 0) ( )
0 0
s , , l'équation , admet une unique solution qui vérifie la condition ( ) .
x y E f
f x = y
( )
la fonction est solution de l'équation si et seulement si on a : ' . Supposons que est une constante réelle
La fonction ( ) est dérivable sur et on a: '( ) ' donc
ax ax
Démonstration
f E f af
C
f x Ce f x Cae af
f
=
= ℝ = =
( )
est solution de l'équation différentielle .
Supposons que est une fonction, et notons la ( ), dans ce cas on a: ( ) ( )
'( ) '( ) ( )
est solution de E, ' '( ) ( ) ( )
ax
ax ax
ax ax a
E
C C x f x C x e
f x C x e aC x e
f f af C x e aC x e C x e
=
= +
= ⇔ + =
( )
( )
'( ) ( ) ( )
comme 0, on a: '( ) ( ) ( ) '( ) 0 ( ) est une constante.
( ) d'où les solutions de l'équation différentielle sont de la forme: ( ) , avec . :
So
x
ax ax
ax
ax
C x aC x e aC x e
e C x aC x aC x C x C x
C x C E f x Ce C
Réciproque
+ =
≠ + = ⇔ = ⇔
= = ∈ℝ
( )
it une fonction solution solutions de l'équation différentielle , est telle que : ' . Introduisons la fonction ( ) ( )
g est définie et dérivable sur et on a: '( ) '( ) ( )
ax
ax ax
a
f E f f af
g x f x e
g x f x e f x ae
e
=
=
= × − ×
ℝ
( ) ( )
( )
2 2
( ) d'où ( ) .
Conclusion les solution
0
est d
s de l' onc une consta
équation différentielle ' : sont d nte
e la forme:
réelle, soit
( ) ,
( )
avec .
Solut
( ) ( )
ax ax
ax
ax ax
x ax
f x C f x Ce
e
E y ay C
x
C g
f g
x e
af x e f x ae e
= =
= = ∈
= =
=
× − ×
ℝ
( )
0
0
0 0
0 0
0 0
0
0 0 0 0
0
0
0 0
ion avec une condition initiale:
si ( ) , alors on a ( )
En remplaçant par sa valeur, on obtient l'unique solution:
( ) 1 ( )
ax
ax
ax ax
ax ax
ax ax
ax x ax ax
f x y f x Ce y C y
e C
f x y e y e e e
e e
f x y e y e
− −
− + −
= = = ⇒ =
= = × =
= = .
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2) Équation différentielle du premier ordre de la forme :
( ) E
:y ' = + ay b , a ∈ ℝ
* etb ∈ ℝ
( )
(
0 0) ( )
Soit * et , les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions définies sur , par: ( ) . étant une constante réelle.
Pour tout couple de réels , , l'équation , admet
ax
a b E f
f x Ce b C a
x y E
∈ ∈
= −
ℝ ℝ ℝ
0 0
une unique solution qui vérifie la condition ( ) .
f f x = y
( )
( )
( )
: :
Soit une fonction solution de l'équation , on a donc:
'( ) ( ) '( ) ( )
Notons ( ) ( ) , on a alors '( ) '( ) est solution l'équation signifie alors que
'
Démonstration
f E
f x af x b f x a f x b a
u x f x b u x f x
a
f E
E y ay b
= + ⇔ = +
= + =
= +
' , la fonction est donc solution de l'équation différentielle '
donc s'écrit sous la forme ( ) ceci d'après la première partie.
( ) ( ) , on en déduit que ( ) ( ) soit
ax
ax
u au
u y ay
u u x Ce
b b
u x f x Ce f x u x f
a a
=
=
=
= + = = −
( )
0 0
0 0
0 0 0 0 0
( ) .
Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme ( )
: ( )
( ) , d'où l'expression de :
ax
ax
ax ax
x Ce b a
E f x Ce b
a Solution avec condition initiale y f x
b b
y f x Ce y Ce y C C y
a a
= −
= −
=
= ⇔ − = ⇔ = + = + 0
0
0
0
et finalement l'expression de l'unique solution ( ) en remplaçant par son expression soit en utilisant les propriétés de la fonction exponentielle:
( )
ax
ax ax
b e a
f x y b e e C
a
f x y b a
−
−
= + ×
= +
e
a x x(
− 0)
a∈ *,b∈ . ℝ ℝ
