DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES - corrigé des exercices

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DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES - corrigé des exercices

A. EXERCICES DE BASE I. Fonction de deux variables

1.

• La fonction est définie pour : xy > 0 et y ≥ 0 ; cʼest-à-dire : x > 0 et y > 0.

2.

• En considérant y constant, on obtient :

!

"f x,y

( )

"x =

!

1 x^.

• En considérant x constant, on obtient :

!

"f x,y

( )

"y ⁼

!

1 y+3

2 y.

• Pour x = 1 et y = 2, on obtient en particulier : f(x, y) =

!

ln 2

( )

^{+2 2"1} ≈ 2,52 ;

!

"f x,y

( )

"x = 1 ;

!

"f x,y

( )

"y ⁼

!

1 2+ 3

2 ≈ 2,62.

II. Dérivées partielles et dérivée totale

• Les dérivées partielles sont respectivement :

!

"f x,y

( )

"x = 2x sin(y) et

!

"f x,y

( )

"y ^{= x}

2 cos(y) - 1.

• On peut écrire : df(x, y) =

!

"f x,y

( )

"x dx +

!

"f x,y

( )

"y dy puis :

!

df t

( )

dt =

!

df x t

( ( )

^{,y t}

( ) )

dt ⁼

!

"f x,y

( )

"x

!

dx t

( )

dt +

!

"f x,y

( )

"y

!

dy t

( )

dt .

• Compte tenu des dérivées partielles calculées précédemment, la dérivée “totale” a donc effective- ment lʼexpression indiquée.

B. EXERCICE D'APPROFONDISSEMENT III. Dérivées partielles et dérivée totale

1.

• La fonction est définie pour xy (y² - x) ≥ 0.

• La relation (y² - x) ≥ 0 correspond à x ≤ y² (zone hachurée) :

◊ remarque : il est plus rapide dʼétudier x = x(y)...

• La relation xy ≥ 0 correspond aux quarts de plan : (x ≥ 0 et y ≥ 0) ou (x ≤ 0 et y ≤ 0).

2

• Le domaine de définition cherché correspond à : (xy ≥ 0 et x ≤ y²) ou (xy ≤ 0 et x ≥ y²) ; donc par combinaison des deux conditions (zone hachurée) :

◊ remarque : les limites sont acceptées.

2.

• On obtient :

!

"f x,y

( )

"x =

!

y. y

(

²"2x

)

2 xy. y

(

²"x

)

^;

!

"f x,y

( )

"y ⁼

!

x. 3y

(

²"x

)

2 xy. y

(

²"x

)

^.

• Pour : x = 1 et y = 2 : f(x, y) =

!

6 ≈ 2,45 ;

!

"f x,y

( )

"x =

!

2

6 ≈ 0,816 ;

!

"f x,y

( )

"y ⁼

!

11

2 6 ≈ 2,25.

3.

• En substituant y = y(x) = 2x+1, on obtient (il y a dʼautres formulations possibles) : f(x) = f(x, y(x)) =

!

x. 2x

(

+1

) ( (

^2x+1

)

^2"x

)

⁼

!

x. 2x

(

+1

) (

^4x2+3x+1

)

!

"f x,y

( )

"x =

!

2x+1

( ) (

^4x2+2x+1

)

2 x. 2x

(

+1

) (

^4x2+3x+1

)

!

"f x,y

( )

"y ⁼

!

x. 12x

(

²+11x+3

)

2 x. 2x

(

+1

) (

^4x2+3x+1

)

◊ remarque : lʼéquation correspond à une courbe dont une partie au moins est dans le domaine de définition de la fonction.

• La dérivée totale peut sʼécrire, après simplification :

!

df x

( )

dx =

!

32x³+30x²+10x+1 2 x. 2x

(

+1

) (

^4x2+3x+1

)

^.

• Par comparaison, après regroupement au même dénominateur et simplifications, on peut vérifier quʼon obtient le même résultat pour :

!

"f x,y

( )

"x +

!

"f x,y

( )

"y

!

dy x

( )

dx =

!

2x+1

( ) (

^4x2+2x+1

)

^{+2x. 12x}

(

^2+11x+3

)

2 x. 2x

(

+1

) (

^4x2+3x+1

)

^.

IV. Dérivées partielles et dérivée totale

1.

• La fonction est définie pour xy (y² - x) ≥ 0.