Différentielle et dérivées partielles

PCSI2 Différentielle et dérivées partielles

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DIFFERENTIELLE ET DERIVEES PARTIELLES

I Fonctions d’une variable : dérivée et différentielle

On considère une fonction f d’une seule variable x notée f(x).

Si l’on passe d’un point M à un point M’ (figure 1), alors

€

Δf

Δx représente le coefficient directeur du segment MM’.

En effet : f(M) = a x + b (fonction affine de coefficient directeur a et d’ordonnée à l’origine b) et f(M’) = a x’ + b donnent par soustraction f(M’) – f(M) = a ( x’ – x ) d’où a =

€

f(M' )−f(M) x'−x ^. Si M’ tend vers M, c’est-à-dire si Δx tend vers 0 :

€

Δx→0lim Δf Δx= df

dx = f' (x) valeur de la dérivée de la fonction f(x) en M, égale au coefficient directeur de la tangente en M (figure 2).

Figure 1 Figure 2

Principe en mécanique de la définition de la vitesse moyenne puis de la vitesse instantanée pour un déplacement sur un axe Ox :

€

v_moy =Δx Δt ^puis

€

v= dx dt^.

On appelle différentielle de la fonction f en M la quantité : df = f’(x) dx =

€ df

dx ^dx

Intérêt en physique : si x varie d’une petite quantité dx, alors f varie d’une petite quantité df (

€

dx << x et

€

df << f ).

Cela permet d’obtenir la valeur approchée de Δf pour des petites variations en confondant la courbe et sa tangente en un point (conduit en particulier au principe de la méthode d’intégration d’Euler).

I Fonctions de plusieurs variables : différentielle et dérivées partielles

1) Définitions

On généralise les définitions précédentes à une fonction de plusieurs variables f(x, y, z).

f

x 0 dx

M df

f

x 0 Δx

Δf M

M’

PCSI2 Différentielle et dérivées partielles

2/2 On définit alors sa différentielle :

€ df =∂f

∂xdx+∂f

∂ydy+∂f

∂zdz. Où par exemple

€

∂f

∂x= ∂f

∂x

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

y,z

est la dérivée partielle de f par rapport à x, soit la dérivée de f par rapport à x à y et z constants.

Se lit : d « rond » f sur d « rond » x. Même principe pour les deux autres dérivées partielles par rapport à y et z.

Physiquement, si f est une grandeur physique qui dépend d'autres grandeurs physiques x, y, et z, alors df est la petite quantité dont f varie quand x varie de dx (petit), y varie de dy (petit) et z varie de dz (petit). Soit

€

dx << x,

€

dy << y,

€

dz << z et

€

df << f .

2) Calcul des différentielles a) Méthode directe

On calcule les dérivées partielles de la fonction et on en déduit la différentielle de cette même fonction.

Exemple : f(x, y) = x2 sin y – y

€

∂f

∂x=2xsiny

€

∂f

∂y=x²cosy−1

€

df =(2xsiny)dx+

(

)

b) Méthode indirecte

* Prenons par exemple : f(x, y) = xy

€

∂f

∂x=y

€

∂f

∂y=x

€

d(xy)=ydx+xdy

Ceci rappelle la formule (uv)’ = u’v + uv’ portant sur la dérivée d’un produit de fonctions.

On en déduit que les différentielles se manipulent comme les dérivées. Cela évite de passer par l’étape des dérivées partielles. Par exemple, la différentielle d’une somme sera égale à la somme des différentielles : d(x + y) = dx + dy.

* Différentielle logarithmique Prenons toujours f(x, y) = xy

€

df =ydx+xdy d’après ce qui précède, et donc

€ df

f =dx x +dy

y

On peut obtenir le même résultat plus facilement en prenant le logarithme népérien des deux membres avant de différencier : Ln f = Ln x + Ln y dLn f = dLn x + dLn y

Et

€ d(Lnx)

dx =1

x

€ dLnx= dx

x (de même avec y et f) Donc

€ df

f =dx x +dy

y

Cette dernière méthode est particulièrement performante sur des fonctions contenant beaucoup de produits et de divisions.

Par exemple

€

f x,

(

)

2

z donne directement

€ df

f =dx x +2dy

y −dz z ^.