Calcul différentiel
1 Applications différentiables
On considère ici que EetF sont deux espaces-vectoriels dedimension finie, queU⊂Eest ouvert de E, que a∈Uet que f :U⊂E−→F est une application.
Définition
Ð Ð Ð Ð Ð
f est ditedifférentiableen as’il existe une application linéaire La :E −→ F telle que, pour tout v vérifianta+v∈U, on ait :
f(a+v) =f(a) +La(v) +o kvk
La, lorsqu’elle existe estunique. On l’appelledifférentielle de f en a— ou l’application linéairetangenteà f ena— et on la noteLa=D f(a). On noteD f(a)·vl’image dev∈Upar cette aplication.
1.1 Dérivées partielles
Propriété
Si f estdifférentiableenaet sivest un vecteur deU, alors : D f(a)·v=lim
t→0
f(a+t v)−f(a) t
oùtest une variable réelle.
Si E = Rn muni de la base canonique
e1, . . . ,en , la différentiabilité de f implique l’existence des dérivées partielles :
∀i∈J1,nK,∂xif(a) = ∂f
∂xi(a) =D f(a)·ei=lim
t→0
f(a1, . . . ,ai+t, . . . ,an)−f(a)
t ∈F
Attention :l’existence des dérivées partielles de f enan’implique pas focément la différentiabilité.
Dans le casparticulieroùE=RnetF =Rpet si f estdifférentiablealors l’application linéaireD f(a)est définie par lamatrice jacobienne:
∂f1
∂x1(a) · · · ∂∂xf1
n(a)
... ...
∂fp
∂x1(a) · · · ∂∂xfp
n(a)
Propriété
Voici quelques propriétés élémentaires :
Ê Linéarité :Soitf etgdes applications deU⊂EdansF etλun réel. Si f etgsontdifférentiables enaalors f +getλf sontdifférentiables enaet on a :
D(λf +g)(a) =λD f(a) +D g(a)
Ë Composition :Soit f :U ⊂ E−→ F et g :V ⊂ F −→Get a∈U tel que f(a)∈V. Si f est différentiable enaetgen f(a), alorsg◦f est différentiable enaet :
D(g◦f)(a) =D g(f(a))◦D f(a)
Définition
Ð Ð Ð
On dira que f estde classeC1enasi elle est différentiable sur un vosinageV deaet si l’application D f :V −→ L(E,F)estcontinue en a.
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2 Théorème de Accroissements finis
Théorème :
Soit f : U ⊂ E −→ F différentiable sur l’ouvert U et a,b deux points de U tels que le segment [a,b] ={t a+ (1−t)b,t∈[0, 1]}estincludansU. Alors :
f(b)−f(a) F¶
sup
x∈[a,b]
D f(x)
kb−akE
Du théorème desaccroissements finis, découlent plusieurs propriétés.
Propriété
Si f :U⊂E−→F est de classeC1, alors f estlipschitziennesur touteboule ferméecontenue dans U.
Propriété
Soit f :U⊂Rn−→F eta∈U. Les deux propriétés suivantes sont équivalentes : Ê f estmanusC1ena∈U
Ë lesdérivées partiellesde f existentet sontcontinuesena.
3 Dérivées d’ordre supérieurs
Si f :E−→F estdifférentiablessurUalors on peut définir l’application : D f : U⊂E −→ L(E,F)
x 7−→ D f(x)
Définition
Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð
f estdeux fois différentiableena∈Esi :
Ê f est différentiable sur un voisinageUdea Ë D f est différentiable ena
On noteD2f(a) =D(D f)(a)ladifférentielle secondede f ena.
Théorème : (Théorème de Schwarz)
Si f est deux fois différentiable en a∈U, alors D2f(a)est une application bilinéaire symétrique, c’est-à-dire que, pour tout(h1,h2)∈E2,
D2f(a)·(h1,h2) =D2f(a)·(h2,h1)
Ceci se généralise à l’ordrek. De plus si la différentiellek-ième de f est continue, on dit que f est de classeCk.
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Théorème : (Formules de Taylor)
Ê Supposons que f :U⊂E−→F soit une applicationnfois différentiable ena∈U. Alors : f(a+h) =f(a) +D f(a)·h+· · ·+Dnf(a)·(h)n+o
khkn où(h)n= (h,· · ·,h).
Ë Supposons queU⊂Esoit un ouvert connexe,que f :U −→F soit une applicationn+1 fois différentiable surUet qu’il existeM¾0 tel que :
sup
x∈U
Dn+1f(x) ¶M
Alors, pour tout(a,b)∈U2:
f(b)−f(a)−D f(a)·(b−a)− · · · − 1
n!Dnf(a)·(b−a)n
¶Mkb−akn+1 (n+1)! Ì Supposons queU⊂Esoit un ouvertconvexeet quef :U−→F soit de classeCk+1. Alors
f(b)−f(a)−D f(a)·(b−a)− · · · − 1
n!Dnf(a)·(b−a)n= Z1
0
(1−t)n
n! Dn+1f(a+t(b−a))·(b−a)n+1dt
4 Inversion locale et fonctions implicites
4.1 Inversion locale
Théorème : Inversion locale
Soitf :E−→F une application de classeCk(k¾1) sur unvoisinagedea∈E. SiD f(a)∈ L(E,F) estinversible, alors ilexisteun ouvertV ⊂Econtenantaet un ouvertW ⊂F contenant f(a), tels quef soit unebijectiondeV dansW= f(V)dont l’inverse f−1:W−→V est de classeCk.
Attention :voici quelques remarques au sujet de l’inversion :
Ê f−1n’est pas la réciproque de f mais la réciproque de larestrictionde f àV Ë pour queD f(a)soit inversible, il est nécessaire que dimE=dimF
Ì quandE=F=Rn, l’hypothèse à vérifier pour l’inversion est que detD f(a)6=0
4.2 Difféomorphismes
Définition
Ð Ð Ð
Nous dirons qu’un homéomorphisme f :U −→ V entre deux ouverts U ⊂ E et V ⊂ F est unCk- difféomrophismesi f :U−→V etf−1:V −→Usont de classeCk.
Le théorème d’inversion locale peut alors se reformuler de la façon suivante :sif :E−→Fest une application Ck sur un voisinage dea∈Etelle que D f(a)soit inversible, alors f est unCk-difféomorphisme local d’un voisinage deasur un voisinage de f(a).
4.3 Fonctions implicites
On cherche ici à résoudreen yune équation de la formef(x,y) =0.
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On considère donc f :U⊂E×F−→G(trois espaces de dimension finie).
On note : Dxf(a,b)[resp. Dyf(a,b)] la différentielle au point a[resp. b]de l’application partielle x 7−→
f(x,b)[resp y7−→f(a,y)]. C’est la dérivée partielle de f par rapport àx[resp. y].
Théorème : fonctions implicites
Soitf de classeCktelle que f(a,b) =0 etDyf(a,b)∈ L(F,G)inversible.
Alors, il existeV ⊂E(voisinega ouvert dea),W ⊂F (voisinage ouvert de b), avecV×W ⊂U, et une applicationϕ:V −→W de classeCk,unique, telle que
(x∈V, y∈Wetf(x,y) =0)⇔(x∈V ety=ϕ(x))
5 Dimension infinie
Définition
Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð
Un espace de BANACH est un espace vectoriel normé E,k.k) complet pour la distance d(v,w) = ku−wkE, c’est-à-dire que toute suite de CAUCHYundeEvérifiant par définition :
∀ε >0,∃N∈N,∀n,m¾N,
un−um E< ε
Exemple :
Ê Tout espace de dimension finie est un espace de BANACH.
Ë SiE etF sont deux BANACH, l’ensembleLc(E,F)des applications linéaires continues de E dansF est un espace de BANACHsi on le muni de la nomre d’opérateurs.
Dans un espace de dimension infinie, on a besoin d’une nouvelle définition de la différentiabilité (du à l’in- troduction de la notion de continuité).
Définition
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SoitEetF des espaces de BANACHetU⊂Eun ouvert. f :U−→F estdifférentiableen as’il existe une application linéaire continue La:E−→F telle que, pour toutvvérifianta+v∈U, on ait :
f(a+v) =f(a) +La(v) +o kvk Avec cette définition, la plupart des énoncés précedents restent valables.
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