Chapitre 4 Equations différentielles linéaires

Mathématiques – cours : Chap 4 : Equations différentielles linéaires

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Chap 4 : Equations différentielles linéaires

I. Quelques caractérisations de l’exponentielle

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1

( , )

{ ( , ), ' }

{ ( , ), ( ) ( ) ( )} 0 , '(0)

t

F t

f f f f a

t ae

f f x y f x f y f f

t e^β

β

  → 

 

∈ = =  ∈ 

  

 

  → 

 

∈ + = × =  = 

  

 

D

D _{ }

 

  



 

  

Preuves : 1 : vérifier puis unicité avec produit des deux  dérivée 2 : Vérifier pour 0, dériver f(x+y) p/r y, utiliser le truc précédent

II. Equations différentielles linéaires d’ordre 1

0 0

( ) '( ) ( ) ( ) ( )

( ) '( ) ( ) ( ) 0

Espace des solutions : Espace des solutions : E y x a x y x b x

E y x a x y x

+ = →

+ = →

S S

0

espace des solutions est un − espace vectoriel

S 

Preuve : S₀ ≠ ∅ car 0F I_{( , )} ∈S₀ (

α

f +

β

g) '( ) (x +

α

f +

β

g x)( )=0

1

( ) (

1

)

0 1 0

( , ) solution de

est un sous espace affine de

y E y y y y

I

∈ ⇔

S

− ∈

S S

= +

S

S F 

Preuve : égaliser (E) pour y et y1, et se ramener à E0

0 I _{A x}( ) où est une primitive de sur

y A a I

x e

λ

λ

⁻

  → 

 

=  ∈ 

  

 

S 

 

Preuve : Vérifier e^{−A x( )} solution. S0 sous-esp vect 

λ

e^{−A x( )} solution. Vérifier

e

^{A x( )}

y x ( )

constant.

Méthode de variation de la constante :

Chercher

y x :



µ ( ) x e

^{−A x( )}

⇒ µ '( ) x = e

^{A x( )}

b x ( )

0 0

1

( ) ( )

( ) ( )

1( ) ( )

x x

x a t dt x x a t dt

A x A x

x

I I

x e e b s ds

x x e e

λ

µ

⁻

λ

^{− −}

λ

⁻

 → 

 →   

 =   ∈

 +   ∫  + ∫  

   

   

∫

 

S =

 

 



1 2

1 1 2 2 1 2

1 2

( ) ' {1, 2},( ) ' ( ) (

( ) ( ) ( )

) )

) (

( solution de , solution de solution de

j j j j

E y ay b b j E y ay b E E

y E y E y y

E E

+ = + → + =

⇒ +

+

∀ ∈ =

Théorème de Cauchy-Lipschitz :

0 0

'( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y x a x y x b x y x z

+ =

  =



admet une unique solution ^{0 1 0} _{0 1}

0 0

( (

) )

z x

y y y

y x

 y 

= +

 

 

−

Preuve : y₀:xe^{−A x( )},y₁ solution particulière, S={

λ

y₀+y₁} Remplacer et trouver un unique

λ

₁

Mathématiques – cours : Chap 4 : Equations différentielles linéaires

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III. Equations différentielles linéaires d’ordre 2 (à coefficients constants)

0

( ) "( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) "( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 0

E y x a x y x b x y x c x E y x a x y x b x y x

+ + =

+ + =

0

1

( ) (

1

)

0 1 0

( , ) est un espace vectoriel

solution de

est un sous espace affine de

y E y y y y

F I

∈ ⇔ − ∈ = +

S

S S S S

S 

2 0

2

2 0

2 0

( ) " ' 0 ( , )

( ) 0

* 0 ( ) :

( , )

* 0 ( ) :

( , )

( )

solutions de

solution de

r

x

x r

r x

E y ay by a b

E x ax b

E

x e e

E

x x e

α β

α

α β λ µ λ µ

α λ µ λ µ

+ + = ∈

+ + =

∆ ≠ ≠

  → 

 

=  ∈ 

  + 

 

∆ =

  → 

 

=  ∈ 

  + 

 

S

S



 

 

 

 

Preuve : Chercher une solution de la forme

y x :



e

^rx y∈S0 ⇔r² +ar+ =b 0

0 0

0

( ) 0 ( )

0 0

* 0 { }

: ( ) ( ) ( )

' ' (2 ) 0 ' ( ) 0 ( )

'( ) ( ) ...

* 0 2 0 ''( ) 0 ( ) ...

(S sous esp vect)

solution de tq

x x

x x

x x

e e

g x e y x y y x e g x

g z a z z z a

g x e g x e

idem a g x g x x

α β

α α

α β β α

λ µ

α α β α β

λ λ λ µ

β α

α λ µ

−

− −

∆ ≠ ⇒ + ⊂

∈ ⇔ =

⇒ + + = ⇔ + − = = − +

∃ ∈ = ⇒ = + ⇒

−

∆ = + = ⇒ = ⇒ = + ⇒

S

 S



1 2

0

2 0

2

1 2

2 0

0

2 0

1 2

0

( ) " ' 0 ( , )

( ) 0

* 0 :

( , )

* 0 :

( , )

( )

* 0 :

solutions réelles

solution

solutionscomplexes

r

r x r x

r x

E y ay by a b

E x ax b

r r

x e e

r

x x e

r r i

x e^α

λ µ λ µ

λ µ λ µ

α β

+ + = ∈

+ + =

∆ > ≠

 → 

 

= ∈ 

 + 

 

∆ =

 → 

 

= + ∈ 

∆ < = = +

= → S

S

S



 

 

 

 

 



( , ) 2

( cos( ) sin( )) sin( )

x x

x x Ae^α x

λ µ

λ β µ β β ϕ

 

 ∈ 

 

+ = +

 

  

Preuve : ∆ <0 Partir du résultat complexe, passer aux conjugués, puis vérifier la "réciproque"

0 0 0

0 0

0 2

0

( ) ( )

( ) ( , )

'(

,

)

Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire : , , il existe une unique solution de telle que

P

x I E

y x P

y I

y x Q

∀ Q ∈ × ×

 =

∈

D

  =

 

