Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 13 (18/01 – 22/01)
Chapitre 11 : Équations différentielles linéaires
Conformément au programme, ne sont traitées ici que les EDL du premier ordre à coefficients variables et les EDL du second ordre à coefficients constants.
Révision du chapitre
Chapitre 12 : Suites
1. Convergence
‚ Définition de la limite (dansR, dansC, dansR).
‚ Définition équivalente par voisinages
‚ Unicité de la limite
‚ Suites stationnaires. Suites convergentes à valeurs entières.
‚ Effet d’une translation sur les indices.
‚ Toute suite convergente est bornée.
‚ Suites de Cauchy (HP). Convergence des suites de Cauchy, complétude deR(démonstration non exigible)
‚ Cas des suites complexes et vectorielles (dansRnmuni de la distance euclidienne usuelle, ils n’en connaissent pas d’autre) : caractérisation de la convergence par la convergence coordonnée par coordonnée.
2. Propriétés liées à la convergence
‚ Préliminaire : caractérisation séquentielle des limites et de la continuité.
‚ Opérations sur les limites.
˚ Valeur absolue, combinaison linéaire, produit, quotient, dansC, dansR.
˚ Formes indéterminées multiplicatives et additives.
˚ Produit 0ˆborné.
˚ Passage à la limite sous une fonction continue.
˚ Règles de passage à la limite pour les puissances. Formes indéterminées 00,18,80.
˚ Utilisation du critère séquentiel pour transférer ces propriétés au cas des fonctions (développé sur l’exemple des CL, le transfert des autres propriétés est laissé en exercice)
‚ Limites et inégalités.
˚ Conservation des inégalités larges.
˚ Théorème d’encadrement. Théorème de divergence vers`8ou´8par minoration ou majoration.
˚ Transfert au cas des fonctions à l’aide du CS (démonstration non développée en cours, mais il faut savoir la faire)
˚ Comparaison à une suite géométrique lorsqueˇ ˇ ˇ
un`1
un
ˇ ˇ
ˇÑℓ‰1.
‚ Suites monotones
˚ Théorème de convergence monotone.
˚ Suites adjacentes. Théorème des suites adjacentes. Exemple d’utilisation : étude des séries alternées.
˚ Théorème des intervalles emboîtés.
PEU D’EXERCICES TRAITÉS POUR LE MOMENT SUR LE PARAGRAPHE SUIVANT : 3. Suites extraites, valeurs d’adhérence
‚ Définition
‚ Lemme des pics. « Démonstration » par le dessin exigible. C’est encore mieux si les élèves parviennent à formaliser cette idée, mais je préfère une idée bien comprise à une formalisation stérile cachant l’incompré- hension de l’idée lumineuse...
‚ Convergence des suites extraites d’une suite convergente.
‚ Convergence d’une suite punq telle quepu2nqet pu2n`1qconvergent vers une même limite. Généralisations simples, mais pas de théorème général.
‚ Valeur d’adhérence (définition donnée par les suites extraites). Caractérisation par une infinité de termes de la suite aussi proches que souhaité. Existence d’une v.a. dansR. Caractérisation de la convergence dans Rpar l’unicité de la v.a. dansR.
‚ Théorème de Bolzano-Weierstrass dansR(par le lemme des pics ou par dichotomie, les deux points de vue sont exigibles), puis dansC. Ce principe des extractions successives est à avoir bien compris. Attention à l’ordre des compositions sur les extractrices.
PAS D’EXERCICES CETTE SEMAINE SUR CE QUI SUIT, UNIQUEMENT LE COURS : 4. Caractérisation séquentielle de certaines propriétés
‚ Densité
‚ Borne supérieure
‚ Limite et continuité
‚ Sous-ensembles fermés 5. Suites d’un type particulier
‚ Suites arithmétiques, géométriques
‚ Structure affine de l’ensemble des suites arithmético-géométriquesun`1“aun`b, et plus généralement des suites solutions deun`1“aun`fpnq. Explicitation des suites arithmético-géométriques.
‚ Explicitation de un`1 “ aun`fpnq lorsque fpnq “ Ppnqbn, P étant un polynôme : il faut connaître la forme de la solution particulière. Le fait qu’on puisse toujours trouver une solution de cette forme n’a pas été démontré.
‚ Suites définies par une relation linéaire d’ordrek. Explicitation (au programme uniquement le cask“2, le cas général a été donné sans démonstration, mais n’est pas exigible ; il est recommandé de le connaître tout de même au moins dans le cas où le polynôme caractéristique n’a que des racines simples dansC).
‚ Explicitation avec second membre du type Ppnqbn,P polynôme (même remarque que dans le cask“1).
‚ Systèmes dynamiques discretsun`1“fpunq: notion d’intervalle stable, principe général d’étude lorsquef est monotone sur un intervalle stable. Les notions de points fixes attractifs et répulsifs sont hors-programmes.
NB : Les comparaisons asymptotiques (o, O et équivalents) ne sont pas encore au programme de colle. Les notations sont cependant connues, et peuvent être employées si elles ne nécessitent pas de manipulation technique.
