Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 14 (25/01 – 29/01)
Chapitre 12 : Suites
1. Convergence
‚ Définition de la limite (dansR, dansC, dansR).
‚ Définition équivalente par voisinages
‚ Unicité de la limite
‚ Suites stationnaires. Suites convergentes à valeurs entières.
‚ Effet d’une translation sur les indices.
‚ Toute suite convergente est bornée.
‚ Suites de Cauchy (HP). Convergence des suites de Cauchy, complétude deR(démonstration non exigible)
‚ Cas des suites complexes et vectorielles (dansRnmuni de la distance euclidienne usuelle, ils n’en connaissent pas d’autre) : caractérisation de la convergence par la convergence coordonnée par coordonnée.
2. Propriétés liées à la convergence
‚ Préliminaire : caractérisation séquentielle des limites et de la continuité.
‚ Opérations sur les limites.
˚ Valeur absolue, combinaison linéaire, produit, quotient, dansC, dansR.
˚ Formes indéterminées multiplicatives et additives.
˚ Produit 0ˆborné.
˚ Passage à la limite sous une fonction continue.
˚ Règles de passage à la limite pour les puissances. Formes indéterminées 00,18,80.
˚ Utilisation du critère séquentiel pour transférer ces propriétés au cas des fonctions (développé sur l’exemple des CL, le transfert des autres propriétés est laissé en exercice)
‚ Limites et inégalités.
˚ Conservation des inégalités larges.
˚ Théorème d’encadrement. Théorème de divergence vers`8ou´8par minoration ou majoration.
˚ Transfert au cas des fonctions à l’aide du CS (démonstration non développée en cours, mais il faut savoir la faire)
˚ Comparaison à une suite géométrique lorsqueˇ ˇ ˇ
un`1
un
ˇ ˇ
ˇÑℓ‰1.
‚ Suites monotones
˚ Théorème de convergence monotone.
˚ Suites adjacentes. Théorème des suites adjacentes. Exemple d’utilisation : étude des séries alternées.
˚ Théorème des intervalles emboîtés.
3. Suites extraites, valeurs d’adhérence
‚ Définition
‚ Lemme des pics. « Démonstration » par le dessin exigible. C’est encore mieux si les élèves parviennent à formaliser cette idée, mais je préfère une idée bien comprise à une formalisation stérile cachant l’incompré- hension de l’idée lumineuse...
‚ Convergence des suites extraites d’une suite convergente.
‚ Convergence d’une suite punq telle quepu2nqet pu2n`1qconvergent vers une même limite. Généralisations simples, mais pas de théorème général.
‚ Valeur d’adhérence (définition donnée par les suites extraites). Caractérisation par une infinité de termes de la suite aussi proches que souhaité. Existence d’une v.a. dansR. Caractérisation de la convergence dans Rpar l’unicité de la v.a. dansR.
‚ Théorème de Bolzano-Weierstrass dansR(par le lemme des pics ou par dichotomie, les deux points de vue sont exigibles), puis dansC. Ce principe des extractions successives est à avoir bien compris. Attention à l’ordre des compositions sur les extractrices.
4. Caractérisation séquentielle de certaines propriétés
‚ Densité
‚ Borne supérieure
‚ Limite et continuité
‚ Sous-ensembles fermés 5. Suites d’un type particulier
‚ Suites arithmétiques, géométriques
‚ Structure affine de l’ensemble des suites arithmético-géométriquesun`1“aun`b, et plus généralement des suites solutions deun`1“aun`fpnq. Explicitation des suites arithmético-géométriques.
‚ Explicitation de un`1 “ aun`fpnq lorsque fpnq “ Ppnqbn, P étant un polynôme : il faut connaître la forme de la solution particulière. Le fait qu’on puisse toujours trouver une solution de cette forme n’a pas été démontré.
‚ Suites définies par une relation linéaire d’ordrek. Explicitation (au programme uniquement le cask“2, le cas général a été donné sans démonstration, mais n’est pas exigible ; il est recommandé de le connaître tout de même au moins dans le cas où le polynôme caractéristique n’a que des racines simples dansC).
‚ Explicitation avec second membre du type Ppnqbn,P polynôme (même remarque que dans le cask“1).
‚ Systèmes dynamiques discretsun`1“fpunq: notion d’intervalle stable, principe général d’étude lorsquef est monotone sur un intervalle stable.
‚ NB : Les notions de points fixes attractifs et répulsifs sont hors-programme, et n’ont pas été vues en cours
Chapitre 13 : Calcul asymptotique
ENCORE PEU D’EXERCICES SUR CE CHAPITRE, NOTAMMENT EN DÉBUT DE SEMAINE.
1. Domination, négligeabilité
‚ Domination pour les suites, parM, caractérisation par l’existence d’une suite bornéeµtelle queun“µnvn
‚ Négligeabilité pour les suites de même.
‚ Reformulation sur le quotient lorsque la suite à laquelle on compare ne s’annule pas.
‚ Notations de Bachmann (O) et Landau (o)
‚ Notations de KnuthΘetΩ, peu utilisées en mathématique mais beaucoup en informatique.
‚ Réexpression des crossances comparées avec notation de Landau.
‚ Interprétation deOp1q,op1q.
‚ Propriétés de trasitivité deo, O
‚ Sommes et produits deo,O
‚ (HP)oest une relation d’ordre stricte sur l’ensemble des suites non ultimement nulles.
‚ (HP)O est une relation d’ordre sur le quotient parΘ.
‚ Extension au cas des fonctions au voisinage d’un point aPR. Caractérisation séquentielle.
2. Équivalents
‚ Équivalence entre deux suites (définie parun“αnvn,αnÑ1)
‚ C’est une relation d’équivalence
‚ Caractérisationun “vn`opvnq
‚ Équivalent d’un polynôme.
‚ Propriété de conservation des limites, réciproque vraieseulement siℓ‰0,˘8.
‚ Propriété de conservation du signe
‚ Produit, quotient d’équivalents,uαn.
‚ Substitution dans unoouO d’un terme par un équivalent.
‚ Cas des fonctions, caractérisation séquentielle.
‚ Reformulation des limites remarquables : équivalents classiques pour les fonctions usuelles.
‚ Formule de Stirling (démonstration vue en DM,non exigible)
‚ Attention aux sommes et aux compositions d’équivalents.
‚ Passage d’un équivalent auln par mise en facteur du terme dominant.
‚ Obtention d’un équivalent d’une exponentielle en développant l’exposant à la précisionop1q.
