Feuilles d'exercices n7 : Convergence de suites

Feuilles d'exercices n7 : Convergence de suites

Exercice

Donner un équivalent, le plus simple possible, de chacune des suites suivantes : 1. u _n = 5n − n ² + 2n ⁷

n ⁸ − 3n + 12 2. u _n = √

n + 3 − √ n 3. u _n = n ²

√ n ² + n + 1 4. u _n = e ⁻ⁿ + e ⁻²ⁿ 5. u _n = 2 √

n + e ³ⁿ − 5 ln n n ² − 3 ln(2n ⁴ ) 6. u _n = 1

n ² + e ⁻³ⁿ 7. u _n = ln

1 − 2

n ² + 1 n

8. u n = ln(1 + n ³ ) 9. u _n =

1 + 1

n ² n

Exercice

On considère la suite (S n ) dénie pour n > 1 par S n =

k=n

X

k=1

√ 1 k . 1. Montrer que ∀n > 1 , 1

√ n + 1 6 2( √

n + 1 − √

n) 6 1

√ n .

2. À l'aide de la question précédente, déterminer la limite de la suite (S _n ) . 3. On pose désormais u _n = S _n − 2 √

n . Démontrer à l'aide du théorème de convergence monotone que (u n ) converge.

4. En déduire un équivalent simpple de S n .

Exercice

On considère la suite (u n ) dénie par u 0 = 1 et ∀n ∈ N, u n+1 = 2 ⁿ u n . On dénit également la suite auxiliaire v _n = u _n

2

^n(n−1)2

. Étudier la convergence de la suite (v _n ) , puis en déduire une équivalent de la suite (u n ).

1

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Exercice

Soit f la fonction dénie sur R ^∗ par f(x) = x + ln x . 1. Montrer que f est bijective.

2. En déduire que l'équation f (x) = n a une unique solution, notée x _n , pour tout entier n (ne cherchez pas à la calculer, vous n'y arriverez pas).

3. Expliquer pourquoi la suite (x n ) est croissante, et quelle est sa limite.

4. Déterminer un équivalent simple de x n .

Exercice (d'après EML)

On considère la fonction f : x 7→ x ² + 4x + 2 et une suite (u n ) vériant la relation de récurrence u _n+1 = f(u _n ) ( u ₀ étant un réel quelconque).

1. Étudier les variations de la fonction f , et déterminer le nombre d'antécédents par f d'un réel m en fonction des valeurs de m . Résoudre en particulier f (x) = −1 .

2. Montrer qu'il existe trois valeurs de u ₀ pour lesquelles la suite (u _n ) est stationnaire (c'est-à-dire qu'elle est constante à partir d'un certain rang).

3. Montrer que, ∀n ∈ N, u _n+1 + 2 = (u _n + 2) ² . En déduire la nature de la suite (u _n ) selon la valeur de u 0 .

Exercice (d'après EDHEC)

On considère, pour tout entier naturel n , la fonction f n dénie par f n (x) = x ⁵ + nx − 1 . 1. Étudier les variations de f n .

2. Montrer que, ∀n > 1, il existe un unique réel u n tel que f n (u n ) = 0.

3. Montrer que u _n 6 1

n et en déduire la convergence de la suite (u _n ) . 4. Montrer que u _n ∼ 1

n .

5. Déterminer un équivalent simple de 1 n − u _n .

Exercice

Soit (u _n ) une suite bornée. On introduit alors deux suites auxiliaires dénies par a _n = max(u ₀ , u ₁ , . . . , u _n ) et b n = min(u 0 , u 1 , . . . , u n ) .

1. Montrer que les suites (a n ) et (b n ) sont convergentes.

2. Que peut-on dire de la suite (u n ) si elles ont la même limite ?

3. On pose désormais c _n = max(u _n , u _n+1 , u _n+2 , . . . , u _2n ) . Cette suite est-elle nécessairement convergente ?

Exercice

Soit (u n ) une suite convergeant vers une limite nie l . Montrer que la suite (v n ) dénie par v n = 1

n

k=n

X

k=1

u _k (autrement dit, v n est la moyenne des n premiers termes de la suite (u n ) ) converge également vers l (commencez par le cas plus facile où l = 0 , et revenez à la dénition de la limite).

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Et pour nir en beauté, deux (extraits de) sujets de concours, à peine retouchés (une ou deux questions que vous ne pouvez pas faire ont été supprimées).

EMLyon 1991, Exercice 2

Soit f : R → R

x 7→ f (x) = x + 1

√

x ² + 1 − 1

I. Etude de f.

1. Former le tableau de variation de f

2. (a) Résoudre l'équation f (x) = x , d'inconnue x ∈ R (b) Résoudre l'équation f (x) 6 x , d'inconnue x ∈ R

3. Tracer la courbe représentative (C) de f dans un repère orthonormé d'unité 5cm, et préciser la position relative de (C) et de la première bissectrice (on ne cherchera pas d'éventuels points d'inexion)

II. Etude d'une suite récurrente.

On considère la suite (u _n ) n∈ N dénie par : u ₀ ∈ R et pour tout entier n, u _n+1 = f (u _n ) 1. Que dire de (u n ) n∈ N si u 0 = −1 ou u 0 = 0 ?

2. On suppose ici u 0 < −1 .

(a) Montrer que ∀n ∈ N , u _n < −1 (b) En déduire que (u _n ) _n∈

N est croissante.

(c) Montrer que (u _n ) n∈ N converge vers un réel que l'on déterminera.

3. On suppose ici −1 < u ₀ < 0 . Montrer que (u _n ) _n∈

N converge et déterminer sa limite.

4. On suppose ici u ₀ > 0 .

Sans en donner de démonstration, quel résultat obtiendrait-on concernant la convergence de (u n ) n∈ N dans ce cas ?

Maths III HEC/ESCP 2002, Parties A et B du problème

Pour toutes suites numériques u = (u n ) n∈ N et v = (v n ) n∈ N , on dénit la suite u × v = w par :

∀n ∈ N , w n =

n

X

k=0

u _k v n−k

Partie A : Exemples 1. Premiers exemples

Pour tout entier naturel n , calculer w n en fonction de n dans chacun des cas suivants : (a) pour tout entier naturel n , u _n = 2 et v _n = 3 .

(b) pour tout entier naturel n , u _n = 2 ⁿ et v _n = 3 ⁿ .

3

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2. Programmation

Dans cette question, les suites u et v sont dénies par : ∀n ∈ N, u n = ln(n + 1) et v n = 1 n + 1 . Écrire un programme en Turbo-Pascal qui demande à l'utilisateur une valeur de l'entier naturel n , qui calcule et ache les valeurs w ₀ , w ₁ , . . . , w _n .

3. Un résultat de convergence

Dans cette question, la suite u est dénie par : ∀n ∈ N, u n = 1

2 n

et v est une suite de réels positifs, décroissante à partir du rang 1 et de limite nulle.

(a) Établir, pour tout couple d'entiers naturels (n, m) vériant n < m , l'inégalité :

m

X

k=n+1

u _k 6 u _n

(b) Soit n un entier strictement supérieur à 1 . Prouver les inégalités :

w 2n 6 v 0 u 2n + 2v n + v 1 u n et w 2n+1 6 v 0 u 2n+1 + 2v n+1 + v 1 u n

(c) En déduire que les deux suites (w _2n ) n∈ N et (w _2n+1 ) n∈ N convergent vers 0 ainsi que la suite (w n ) n∈ N .

(d) Soit u ⁰ la suite dénie par : ∀n ∈ N , u ⁰ _n =

− 1 2

n

. À l'aide de la question précédente, montrer que la suite u ⁰ × v est convergente et de limite nulle.

Partie B : Application à l'étude d'un ensemble de suites

Dans cette partie, A désigne l'ensemble des suites a = (a _n ) n∈ N de réels positifs vériant :

∀n ∈ N ^× , a n+1 6 1

2 (a n + a n−1 )

1. Montrer que toute suite décroissante de réels positifs est élément de A et qu'une suite stricte- ment croissante ne peut appartenir à A .

2. Soit z = (z _n ) n∈ N une suite réelle vériant : ∀n ∈ N ^× , z _n+1 = 1

2 (z _n + z n−1 ) . (a) Montrer qu'il existe deux constantes réelles α et β telles que l'on a :

∀n ∈ N , z n = α + β

− 1 2

n

(b) En déduire qu'il existe des suites appartenant à A et non monotones.

3. Soit a = (a _n ) n∈ N un élément de A et b la suite dénie par : ∀n ∈ N , b _n =

− 1 2

n

. On dénit alors la suite c par : c ₀ = a ₀ et ∀n ∈ N ^× , c _n = a _n + 1

2 a n−1 .

(a) Montrer que la suite c est décroissante à partir du rang 1 et qu'elle converge vers un nombre ` que l'on ne cherchera pas à calculer.

(b) Pour tout entier naturel n , établir l'égalité : P ⁿ

k=0

− 1 2

k

c n−k = a n . Que peut-on en déduire pour les suites b × c et a ?

(c) Soit ε la suite dénie par : ∀n ∈ N , ε _n = c _n − ` et d la suite b × ε .

En utilisant le résultat de la question 3. de la Partie 1, montrer que la suite d converge vers 0 .

(d) Pour tout entier naturel n , établir l'égalité : d _n = a _n − 2 3 ` 1 −

− 1 2

n+1 ! . En déduire que la suite a converge et préciser sa limite.

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Feuilles d'exeries n7 : orrigé

Exerie 1 (*)

1.

5n − n ² + 2n ⁷

n ⁸ − 3n + 12 ∼ 2n ⁷ n ⁸ ∼ 2

n

2.

√ n + 3 − √ n = n + 3 − n

√ n + 3 + √

n = 3

√ n(

q

1 + _n ³ + 1) ∼ 3 2 √

n

3.

n ²

√ n ² + n + 1 ∼ n ² n ∼ n

4.

e ^{− n} + e ^{−2 n} ∼ e ^{− n}

5.

2 √

n + e ^{3 n} − 5 ln n n ² − 3 ln(2n ⁴ ) ∼ e ^{3 n}

n ²

6.

1

n ² + e ^{−3 n} ∼ 1 n ²

7.

ln

1 − 2 n ² + 1

n

∼ − 2 n ² + 1

n ∼ 1 n

8.

ln(1 + n ³ ) ∼ n ³

9.

1 + 1

n ^{2 n}

= e ^{n ln(1+}

ⁿ²¹

⁾

^.Or

n ln

1 + 1 n ²

∼ n × 1 n ² ∼ 1

n

^{.Onnepeutpaspasseretéquivalent}

à l'exponentielle, mais on peut en déduire que la suite

(u ⁿ )

^{tend vers}

1

^{(e qui est dans}

l'exponentielle tendvers

0

^{), don}

u ⁿ ∼ 1

^.

Exerie 2 (**)

1. En eet,

2( √

n + 1 − √ n) = 2(n + 1 − n)

√ n + 1 + √

n = 2

√ n + 1 + √ n

. Or, omme

√ n + √ n 6 √ n +

√ n + 1 6 √

n + 1 + √

n + 1

^{, on a}

1 2 √

n + 1 6 1

√ n + 1 + √

n 6 1

2 √

n

^{, d'où} l'enadrement souhaitéen multipliant toutpar

2

^.

2. Enutilisantl'inégalitédedroitedelaquestionpréédente,onobtient

2

k = n

X

k =1

( √

k + 1 − √

k) 6 S ⁿ

^.

Or, la somme de gauhe est une somme télesopique égale à

2( √

n + 1 − 1) = 2 √

n + 1 − 2

^.

Cetteexpressionapourlimite

+ ∞

^quand

n

^tendvers

+ ∞

^{,donparthéorèmede}omparaison,

n →+∞ lim S n = + ∞

^{(inutile d'utiliser} l'inégalité de gauhe de la question

1

^{ii, elle de droite}

sut...).

3. Commençonspardéterminerlamonotoniedelasuite

(u ⁿ )

^:

u ⁿ ₊₁ − u ⁿ = S ⁿ ₊₁ − S ⁿ − 2 √

n + 1+

2 √

n = 1

√ n + 1 − 2( √

n + 1 − √

n)

^{,expressionnégatived'aprèslaquestion}

1

^.Lasuite

(u n )

^est

don déroissante.On avu par ailleursque

S n > 2 √

n + 1 − 2

^{,don a fortiori}

S n > 2 √ n − 2

^,

don

u n > − 2

^{.La suite}

(u n )

^étant déroissante etminorée, elle estonvergente.

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5

4. Puisque

lim

n → + ∞ S ⁿ − 2 √

n = l ∈ R

, on en déduit

lim

n → + ∞

S ⁿ − 2 √ n

2 √ n = 0

^{, soit}

lim

n → + ∞

S ⁿ 2 √ n = 1

^.

Autrement dit, ona prouvé que

S ⁿ ∼ 2 √ n

^.

Exerie 3 (**)

Cherhons don à exprimer

v ⁿ ₊₁

^{en fontion de}

v ⁿ

^:

v ⁿ ₊₁ = u ⁿ +1

2

n(n + 1) 2

= 2 ⁿ u ⁿ 2

ⁿ²²

⁺

ⁿ²

= u ⁿ 2

ⁿ²²

⁻

ⁿ²

=

u ⁿ 2

^n(n2−1)

= v ⁿ

^{. La suite}

(v ⁿ )

^{est don tout simplement onstante, égale à}

v ₀ = u ₀ = 1

^{, don}

u ⁿ = v ⁿ × 2

n(n−1)

2

= 2

n(n−1)

2 .

Exerie 4 (**)

1. Lafontion

f

^{estsommededeuxfontionsstritement}roissantes, donelle-mêmestritement roissante don injetive.Deplus,un alultrès simpledonne

lim

x →0 f (x) = −∞

^et

lim

x →+∞ f (x) = + ∞

^,don

f

^{estsurjetive, donbijetive de}

R ^∗

sur

R

.

2. L'entier

n

^{étantun réelommeunautre, ilaununique antéédent par lafontionbijetive}

f

^,

equi signiebien quel'équation

f (x) = n

^{admet une unique solution.}

3. Par dénition,

f (x n ) = n

^et

f (x n +1 ) = n + 1

^{.Or, lafontion}

f

^{estroissanteetona biensûr}

n < n + 1

^{.Il s'ensuitque}

x ⁿ < x ⁿ +1

^{,etdon quelasuite}

(x ⁿ )

^{eststritement roissante. Pour}

prouverquelasuite tendvers

+ ∞

^(equiestintuitivement assezlair), onpeutonstaterque

f n 2

= n 2 + ln n

2 < n 2 + n

2 = n = f (x n )

^,don

n

2 < x n

^{,etle théorèmedeomparaison donne}

lalimitede lasuite.

4. Comme la suite tend vers

+ ∞

^{, on peut dire que}

ln(x n ) = o(x n )

^{. Or, on sait que}

f (x n ) = x ⁿ + ln(x ⁿ ) = n

^,don

x ⁿ + o(x ⁿ ) = n

^{.Celasignieque}

x ⁿ ∼ n

^.

Exerie 5 (d'après EML) (**)

1. Étudier une fontion de seond degré ne devrait pasposer tropde problème :

f ^′ (x) = 2x + 4

s'annule en

− 2

^{, la fontion est don stritement} déroissante sur

] − ∞ ; − 2]

^{et stritement}

roissante sur

[ − 2; + ∞ [

^{. Comme}

f ( − 2) = − 2

^{, on en déduit que tous les réels stritement}

supérieurs à

− 2

^{ont deux antéédents par}

f

^{, tous eux stritement inférieurs à}

− 2

^{n'ont pas}

d'antéédent,et

− 2

^{aununiqueantéédent,à savoir}

− 2

^.Enpartiulier,

f (x) = − 1

^{équivaut à}

x ² + 4x + 3 = 0

^{,équation dont le}disriminantvaut

∆ = 16 − 12 = 4

^{,etqui admetdon deux}

solutions

x 1 = − 4 − 2

2 = − 3

^et

x 2 = − 4 + 2 2 = − 1

^.

2. Si la suite est stationnaire, 'est qu'il existe une valeur de

n

^{à partir de laquelle les termes}

sont onstants, et en partiulier pour laquell

u ⁿ = u ⁿ +1

^{, don}

u ⁿ = f (u ⁿ )

^.Or,

f (x) = x ⇒ x ² + 3x + 2 = 0

^{,équationquiapour}disriminant

∆ = 9 − 8 = 1

^{,etpoursolutions}

x ₁ = − 2

^et

x ₂ = − 1

^{(on savait déjà que es deux valeursétaient solutions de l'équation après les aluls}

dela première question).Conlusion, on a néessairement

u ⁿ = − 2

^ou

u ⁿ = − 1

^{.Mais omme}

u ⁿ = f (u ⁿ ₋₁ )

^,

u ⁿ ₋₁

^{doitêtreunantéédent de}

− 2

^{ou de}

− 1

^,'est-à-direêtreégalà

− 2

^,

− 3

^ou

− 1

^{(toujoursd'aprèslaquestion}préédente).Maisalors

u n −2

^{doitlui-mêmeêtreunantéédent}

de

− 1

^{ou de}

− 2

^(pour

− 3

^{il n'y a pas}d'antéédent) don égal à

− 1

^,

− 2

^ou

− 3

^{et; jusqu'à}

être remonté à

u ₀

^{.Pour rédiger e} raisonnement de façon rigoureuse, deux solutions :soit on faitune réurrene desendente (on part de

u n

^{pour revenir à}

u ₀

^{, un peu} inhabituel), soit on fait une réurrene lassique visant à montrer que, si

u 0 ∈ {− / 3; − 2; − 1 }

^{, alors on a}

∀ n ∈ N

,

u ⁿ ∈ {− / 3; − 2; − 1 }

^{,e quiprouveque, si}

u ₀

^{n'estpasune destroisvaleursenquestion,lasuite}

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6

n'est pas stationnaire. Autrement dit, on prouve la ontraposée de e qui est demandé dans

ette question.La réurrene ne pose pasde problème partiulier, et les trois valeursinitiales

pourlesquelleslasuitestationnesontdon

− 1

^{(suiteonstanteégaleà}

− 1

^),

− 2

^{(suiteonstante}

égaleà

− 2

^{) et}

− 3

^(suitestationnaire à

− 1

^{àpartir du rang}

1

^).

3. C'est un alul tout bête :

u n +1 + 2 = f (u n ) + 2 = u ² n + 4u n + 2 + 2 = (u n + 2) ²

^{. Posons}

v ⁿ = u ⁿ + 2

^{pour plus de larté, on a don}

v ⁿ +1 = v n ²

^{. La suite}

(v ⁿ )

^{prend don des valeurs}

positivesàpartir de

v ₁

^{,etuneréurrenesimplemontreque,si}

v ₁ > 1

^,alors

(v ⁿ )

^neprendque

desvaleurssupérieurs à

1

^{etsera stritement roissante;au ontraire, si}

v ₁ < 1

^,alors

v n

^sera

toujours inférieurà

1

^{etlasuite sera stritement} déroissante. Danse deuxième as,

(v ⁿ )

^est

déroissante minorée,don onverge versun réel

l

^vériant

l = l ²

^{,don égalà}

0

^ou

1

^.Comme

v n 6 v ₁ < 1

^{,on endéduit que}

(v n )

^onvergevers

0

^{.Par ontre, si}

v ₁ > 1

^{,lasuite ne peutpas}

onverger vers

0

^ou

1

^{;étant roissante elle divergedon vers}

+ ∞

^{.On aura}

v 1 < 1

^si

v ₀ ² < 1

^,

'est-à-diresi

v ₀ ∈ ] − 1; 1[

Ne reste plus qu'à revenir à

u ⁿ = v ⁿ − 2

^{. Si}

u ₀ ∈ ] − 3; − 1[

^,

v ₀ ∈ ] − 1; 1[

^{, don la suite}

(v ⁿ )

onvergevers

0

^,et

(u n )

^onvergevers

− 2

^.Si

u ₀ = − 3

^ou

u ₀ = − 1

^{,onadéjàvuquelasuiteétait}

stationnaire. Enn, si

u 0 < − 3

^ou

u 0 > − 1

^,onaura

v 1 > 1

^,don

lim

n →+∞ u ⁿ = lim

n →+∞ v ⁿ = + ∞

^.

Exerie 6 (d'après EDHEC) (***)

1. Calulonsdonladérivée

f n ^′ (x) = 5x ⁴ + n

^{.Cettedérivée esttoujoursstritement positive(sauf}

en

0

^pour

n = 0

^{),lafontion est don stritement roissante,quel que soitl'entier}

n

^.

2. Commede plus

lim

x →−∞ f (x) = −∞

^et

lim

x →+∞ f (x) = + ∞

^{,haquefontion}

f n

^{estbijetive de}

R

dans

R

.Chaqueréeladon ununiqueantéédent par

f ⁿ

^{eten partiulierl'équation}

f ⁿ (n) = 0

admetune unique solution.

3. Constatons que

f n

1 n

= 1

n ⁵ + 1 − 1 = 1

n ⁵ > 0

^{. Comme la fontion}

f n

^{est stritement}

roissante, et

f n (u n ) = 0

^{,onen déduitque}

u n < 1

n

^{.Notonspar ailleursque}

f n (0) = − 1

^,don

par unraisonnement similaireon a toujours

0 < u ⁿ

^{. Lethéorème desgendarmes permetdon}

d'armer que

lim

n → + ∞ u n = 0

^.

4. On sait que

u ⁵ n + nu ⁿ − 1 = 0

^{, don}

u ⁿ = 1 n − u ⁵ n

n

^{. Comme}

(u ⁿ )

^tendvers

0

^,

u ⁵ n

n = o 1

n

,

don

u ⁿ ∼ 1 n

^.

5. Commeon vient delevoir,

1

n − u ⁿ = u ⁵ n

n ∼

1 n

5

n ∼ 1 n ⁶

^.

Exerie 7 (***)

1. La suite

(a n )

^{est roissante (en eet, le plus grand des}

n + 1

^{premiers termes de la suite}

est néessairement plus grand que le plus grand des

n

^{premiers) et majorée par n'importe}

quel majorant de

(u n )

^{, don elle onverge. Demême,}

(b n )

^estdéroissante etminorée par les minorantsde

(u n )

^{don onvergeégalement.}

2. Ona assez lairement

∀ n ∈ N

,

a n > b n

^{.Sijamaisil existe unentier}

n ₀

^{pour lequel}

a n

₀

> b n

₀^,

alorson aura

lim

n →+∞ a ⁿ > a ⁿ

₀ ^{(puisquelasuite est}roissante),et

lim

n →+∞ b ⁿ 6 b ⁿ

₀^{,don lesdeux}

suites auront des limites distintes. Autrement dit, pour que les suites aient la même limite,

on doit avoir

a ⁿ = b ⁿ

^{pour tout entier}

n

^, 'est-à-dire que le maximum et le minimum des

n

premierstermesdelasuite

(u ⁿ )

^{sonttoujours égaux.Cein'est possiblequesitousestermes}

sont égauxentreeux, 'est-à-direquand

(u n )

^{est une suite onstante.}

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3. Lasuite

(c n )

^{n'estpastoujours}onvergente,mêmelorsque

(u n )

^{estbornée.Prenonsparexemple}

la suite

(u ⁿ )

^{qui vaut}

1

^lorsque

n

^{est une puissane de}

10

^et

0

^{sinon (autrement dit}

u 10 = u ₁₀₀ = u _{1 000} = · · · = 1

^{ettouslesautrestermessontnuls).Sil'onregardelasuite}

(c ⁿ )

^,elleest

onstituéedetermes valanttous

0

^et

1

^{,maisn'est pas}stationnaire (onapar exemple

c ₁₀

^k

= 1

mais

c ₁₀

^k

₊₁ = 0

^{aril n'ya pasde puissanede}

10

^entre

10 ^k + 1

^et

2(10 ^k + 1)

^{),don ne peut}

pasonverger.

Exerie 8 (****)

Supposons don que

lim

n → + ∞ u ⁿ = 0

^{, et hoisissons un}

ε > 0

^{. Par dénition de la limite, il existe}

un entier

n 0

^{à partirduquel onaura}

| u ⁿ | < ε

^{.Déouponsalors}

v ⁿ

^{endeux parties :e qui sepasse}

avant

n ₀

^{et après}

n ₀

^{: si}

n > n ₀

^,

v ⁿ = 1 n

k = n

X

k =1

u ^k = 1 n

k = n

₀

X

k =1

u ^k + 1 n

k = n

X

k = n

₀

u ^k

^{. La première somme est}

uneonstante(on peutmodier

n

^,mais

n ₀

^{,lui,estxé),don,quandonladivise par}

n

^{,ça va nir}

par se rapproher de

0

^{. Autrement dit,}

∃ n ₁ ∈ N

,

∀ n > n ₁

^,

1 n

k = n

₀

X

k =1

u k

< ε

^{.Quand à la deuxième}

somme,elle estonstituée de

n − n ₀

^{termes quisont tousinférieurs(envaleurabsolue) à}

ε

^{,don sa}

valeur absolue est inférieure à

(n − n 0 )ε

^,d'où

1 n

k = n

X

k = n

₀

+1

u ^k

6 n − n 0

n ε 6 ε

^(puisque

n − n 0

n 6 1

^).

Conlusion, lorsque

n > max(n ₀ ; n ₁ )

^{, ona}

| v ⁿ | 6 ε + ε = 2ε

^{. Ceisut à prouver quela suite}

(v ⁿ )

tendvers

0

^{,eta don bienlamême limiteque}

(u n )

^.

Passonsdésormaisauasgénéral(quivaêtrefaileenfait),'estàdirelorsque

lim

n →+∞ u n = l 6 = 0

^.

Posons

w n = u n − l

^{, ette suite auxilaire a pour limite}

0

^{, don on peut lui appliquer e qu'on}

vient de démontrer :

lim

n → + ∞

1 n

k = n

X

k =1

w k = 0

^{. Or,}

1 n

k = n

X

k =1

w k = 1 n

k = n

X

k =1

(u k − l) = 1 n (

k = n

X

k =1

u k ) − nl

!

= 1

n

k = n

X

k =1

u ^k

!

− l

^{. On en déduit que}

lim

n →+∞

1 n

k = n

X

k =1

u ^k = l

^{, e qu'on voulait prouver. Note nale : e}

résultat est onnu sous le nom de théorème de Cesaro, il stipule que la moyenne des

n

^premiers

termesd'unesuite onvergentea lamême limitequelasuite elle-même.

EMLyon 1991, Exerie 2 (**)

I. Etude de f.

1. Lafontion

f

^{estdénieetdérivablesur}

R

,dedérivée

f ^′ (x) =

√ x ² + 1 − ² ₂ ^{x √ (} x ^x

2

⁺¹⁾ +1

x ² + 1 = x ² + 1 − x(x + 1) (x ² + 1)

³²

= 1 − x

(x ² + 1)

³²

.Lafontion

f

^{estdonstritementroissantesur}

] −∞ ; 1]

^etstritementdéroissante sur

[1; + ∞ [

^{.Elleadmetunminimumglobal pour}

x = 1

^,devaleur

f (1) = 2

√ 2 − 1 = √

2 − 1

^.De

plus, ona

f(x) = x(1 + _x ¹ )

| x | q 1 + _x ¹

2

− 1

^{, don}

lim

x → + ∞ f (x) = 1 − 1 = 0

^,et

lim

x →−∞ f (x) = − 1 − 1 = − 2

(rappelons au as où que

x

| x |

^{est égal à}

1

^si

x

^{est positif, et à}

− 1

^si

x

^{est négatif). D'où le}

tableausuivant :

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x −∞ 1 + ∞

f (x)

− 2

√ 2 − 1 _HH H j 0

2. (a) Si

f (x) = x

^{, on peut érire}

x + 1

√ x ² + 1 = x + 1

^{, ou enore}

(x + 1)( √

x ² + 1 − 1) = 0

^{. on}

a don soit

x + 1 = 0

^, 'est-à-dire

x = − 1

^{, soit}

√

x ² + 1 = 1

^{, e qu'on peut élever au}

arré pour obtenir

x ² + 1 = 1

^{, d'où}

x ² = 0

^{. Ona nalement deuxsolutions à l'équation}

f (x) = x

^:

S = {− 1; 0 }

^.

(b) En reprenant le alul préédent, il faut déterminer le signe de

(x + 1)( √

x ² + 1 − 1)

^.

Comme

x ² + 1 > 1

^{pour tout réel,}

√

x ² + 1 − 1 > 0

^{,don seul lesigne de}

x + 1

^importe.

Onobtient que

f(x) 6 x

^surl'intervalle

[ − 1; + ∞ [

^.

3. Voii une allurede laourbe, ainsique lapremière bissetrie :

0 1 2 3

−1

−2

−3

0 1 2

−1

−2

II. Etude d'une suite réurrente.

1. Cesdeuxvaleursvériant

f (x) = x

^{,lasuiteseraonstanteégaleà}

− 1

^ou

0

respetivement(on peutfaire uneréurrene très failesion tient à faire unepreuve trèsrigoureuse).

2. (a) Prouvons par réurrene la propriété

P n

^:

u n < − 1

^{. Par hypothèse,}

P ₀

^{est vraie, et si}

on suppose

P ⁿ

^{vériée, on a don}

u ⁿ < − 1

^{, et d'après le tableau de variations de la}

fontion

f

^,

f (u n ) < f ( − 1) = − 1

^,don

u n +1 = f(u n ) < − 1

^.Ceiprouve

P n +1

^etahève

laréurrene.

(b) Onavuplushaut que

∀ x < − 1

^,

f (x) > x

^,don

u ⁿ +1 − u ⁿ = f (u ⁿ ) − u ⁿ > 0

^si

u ⁿ < − 1

ommeonvient de leprouver. Conlusion:lasuite

(u ⁿ )

^{est stritement roissante.}

() Lasuiteestroissante etmajoréepar

− 1

^{,elleonvergedon.Commenousavonsaaireà}

suite réurrente etque

f

^{est ontinue,salimite}

l

^vérie

f (l) = l

^{,don nepeutêtreégale}

qu'à

− 1

^ou

0

^{. Comme}

∀ n ∈ N

,

u ⁿ < − 1

^{, on aura} néessairement

l 6 − 1

^{, don la suite}

(u ⁿ )

^onvergevers

− 1

^.

3. Leraisonnement esttrès similaireàelui de laquestionpréédente.Commençons par prouver

parréurreneque

∀ n ∈ N

,

− 1 < u n < 0

^{.C'estvraiaurang}

0

^{parhypothèse,etsionlesuppose}

vériépour

u ⁿ

^{,alors(toujoursenutilisantletableaudevariationsde}

f

^),

f ( − 1) < f (u ⁿ ) < f (0)

^,

'est-à-direque

− 1 < u ⁿ ₊₁ < 0

^{,e quiahève laréurrene.}

On onstate ensuite que, omme

f (x) − x < 0

^sur l'intervalle

] − 1; 0[

^{, la suite}

(u ⁿ )

^sera

stritement déroissante. Étant minoréepar

− 1

^{,elle onverge don versune limite}

l ^′

^{. Comme}

lasuite est deroissante, on a

∀ n ∈ N

,

u n 6 u ₀

^{, don par passage à la limite}

l 6 u ₀ < 0

^.La

suite

(u ⁿ )

^{onverge don vers}

1

^.

4. C'esttoujours le même prinipe :lasuite ne prendra quedesvaleursstritement positives, et

seradéroissante, don onverge, etlalimitenepeutêtreque

0

^.

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