CIP LaurentPoinsot Dualitéetsériesformelles

(1)

Dualité et séries formelles

Laurent Poinsot

LIPN UMR 7030 - Université Paris 13 - Institut Galilée

CIP

(2)

Sommaire de la présentation

1 Objectif

2 Rappels : Anneaux, corps, modules et espaces vectoriels topologiques

3 Rappels : Dualité

4 Dual topologique deK^X Preuve du théorème Conséquences

(3)

Sommaire de la présentation

1 Objectif

(4)

Sommaire de la présentation

1 Objectif

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Sommaire de la présentation

1 Objectif

(6)

Le but de cet exposé est de démontrer le résultat suivant : Théorème

SoientKun corps topologique séparé, etXun ensemble.SiK^X est équipé de la topologie produit, alors son dual topologique est (isomorphe à) l’ensembleK^(X)des applications à support fini deX dansK.

(Une applicationf:X→Kest à support fini si, et seulement si, l’ensemble desx∈Xtels quef(x)6=0 est fini.)

(7)

SoientKun corps topologique séparé, etXun ensemble. SiK^X est équipé de la topologie produit,alors son dual topologique est (isomorphe à) l’ensembleK^(X)des applications à support fini deX dansK.

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SoientKun corps topologique séparé, etXun ensemble.SiK^X est équipé de la topologie produit, alors son dual topologique est (isomorphe à) l’ensembleK^(X)des applications à support fini deX dansK.

(9)

SoientKun corps topologique séparé, etXun ensemble. SiK^X est équipé de la topologie produit,alors son dual topologique est (isomorphe à) l’ensembleK^(X)des applications à support fini deX dansK.

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SoientKun corps topologique séparé, etXun ensemble. SiK^X est équipé de la topologie produit, alors son dual topologique est (isomorphe à) l’ensembleK^(X)des applications à support fini deX dansK.

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SoientKun corps topologique séparé, etXun ensemble. SiK^X est équipé de la topologie produit, alors son dual topologique est (isomorphe à) l’ensembleK^(X)des applications à support fini deX dansK.

(12)

Comme corollaire du résultat précédent, sous les mêmes conditions, l’espaceL(K^X)des endomorphismes continus deK^X est isomorphe à l’espace vectorielK^X×(X)des “ matrices ” dont chaque “ ligne ” est à support fini ,i.e.,M:X×X→Ktel que quel que soitx∈X, {y∈X|M(x,y)6=0}est fini.

(13)

Comme corollaire du résultat précédent, sous les mêmes conditions, l’espaceL(K^X)des endomorphismes continus deK^X est isomorphe à l’espace vectorielK^X×(X)des “ matrices ” dont chaque “ ligne ” est à support fini,i.e.,M:X×X→Ktel que quel que soitx∈X, {y∈X|M(x,y)6=0}est fini.

(14)

Comme corollaire du résultat précédent, sous les mêmes conditions, l’espaceL(K^X)des endomorphismes continus deK^X est isomorphe à l’espace vectorielK^X×(X)des “ matrices ” dont chaque “ ligne ” est à support fini ,i.e.,M:X×X→Ktel que quel que soitx∈X, {y∈X|M(x,y)6=0}est fini.

(15)

Convention

Dans cet exposé, on suppose que tous les anneaux considérés sont unitairesetcommutatifs(et, évidemment, associatifs).Les modules sont également supposésunitaires(1R·x=x).

(16)

Convention

Dans cet exposé, on suppose que tous les anneaux considérés sont unitairesetcommutatifs(et, évidemment, associatifs). Les modules sont également supposésunitaires(1R·x=x).

(17)

Topologie produit

Soit(Ei, τi)i∈I une famille (quelconque) d’espaces topologiques.On appelletopologie produitsurY

i∈I

E_ila topologie la moins fine (celle qui possède le moins d’ouverts) pour laquelle chaque projection πi: Y

i∈I

Ei →Eiest continue. Les ouverts pour cette topologie sont les unions quelconques d’ensembles de la forme

\

j∈J

π_j⁻¹(Uj) ={(xi)i∈I | ∀j∈J, x_j∈U_j}

oùJest un sous-ensemblefinideI, et pour chaquej∈J,Uj ∈τj

(c’est le produit dans la catégorie des espaces topologiques, et c’est

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Topologie produit

Soit(Ei, τi)i∈I une famille (quelconque) d’espaces topologiques. On appelletopologie produitsurY

i∈I

Ei →Eiest continue.Les ouverts pour cette topologie sont les unions quelconques d’ensembles de la forme

\

j∈J

π_j⁻¹(Uj) ={(xi)i∈I | ∀j∈J, x_j∈U_j}

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Topologie produit

i∈I

\

j∈J

π_j⁻¹(Uj) ={(xi)i∈I | ∀j∈J, x_j∈U_j}

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Topologie produit

i∈I

\

j∈J

π_j⁻¹(Uj) ={(xi)i∈I | ∀j∈J, x_j∈U_j}

(21)

Topologie produit

i∈I

\

j∈J

π_j⁻¹(Uj) ={(xi)i∈I | ∀j∈J, x_j∈U_j}

(22)

Exemples (topologie produit)

1 ConsidéronsRⁿ(n∈N^∗). La topologie produit (pourRmuni de sa topologie usuel) surRⁿcoïncide avec la topologie euclidienne usuelle.De même la topologie produit surCⁿcorrespond à la topologie d’espace hermitien habituelle.

2 Soit(E, τ)un espace topologique etXun ensemble quelconque.

Considérons l’ensembleE^X de toutes les applications définies surXet à valeurs dansE. Cet ensemble est visiblement en bijection avec le produit cartésienY

x∈X

E_x, oùE_x=Equel que soitx∈X. On peut donc le munir de la topologie produit. La projection sur le facteurExcorrespond donc à l’évaluation f 7→f(x)enxd’une application. Dans cette topologie produit, une suite d’applications(f ) converge versf si, et seulement

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Exemples (topologie produit)

1 ConsidéronsRⁿ(n∈N^∗).La topologie produit (pourRmuni de sa topologie usuel) surRⁿcoïncide avec la topologie euclidienne usuelle. De même la topologie produit surCⁿcorrespond à la topologie d’espace hermitien habituelle.

x∈X

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Exemples (topologie produit)

1 ConsidéronsRⁿ(n∈N^∗). La topologie produit (pourRmuni de sa topologie usuel) surRⁿcoïncide avec la topologie euclidienne usuelle.De même la topologie produit surCⁿcorrespond à la topologie d’espace hermitien habituelle.

x∈X

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Exemples (topologie produit)

1 ConsidéronsRⁿ(n∈N^∗). La topologie produit (pourRmuni de sa topologie usuel) surRⁿcoïncide avec la topologie euclidienne usuelle. De même la topologie produit surCⁿcorrespond à la topologie d’espace hermitien habituelle.

Considérons l’ensembleE^X de toutes les applications définies surXet à valeurs dansE.Cet ensemble est visiblement en bijection avec le produit cartésienY

x∈X

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Exemples (topologie produit)

x∈X

E_x, oùE_x=Equel que soitx∈X.On peut donc le munir de la topologie produit. La projection sur le facteurExcorrespond donc à l’évaluation f 7→f(x)enxd’une application. Dans cette topologie produit, une suite d’applications(f ) converge versf si, et seulement

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Exemples (topologie produit)

Considérons l’ensembleE^X de toutes les applications définies surXet à valeurs dansE.Cet ensemble est visiblement en bijection avec le produit cartésienY

x∈X

E_x, oùE_x=Equel que soitx∈X. On peut donc le munir de la topologie produit.La projection sur le facteurExcorrespond donc à l’évaluation f 7→f(x)enxd’une application. Dans cette topologie produit, une suite d’applications(f ) converge versf si, et seulement

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Exemples (topologie produit)

x∈X

E_x, oùE_x=Equel que soitx∈X.On peut donc le munir de la topologie produit. La projection sur le facteurExcorrespond donc à l’évaluation f 7→f(x)enxd’une application.Dans cette topologie produit, une suite d’applications(f ) converge versf si, et seulement

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Exemples (topologie produit)

x∈X

E_x, oùE_x=Equel que soitx∈X. On peut donc le munir de la topologie produit.La projection sur le facteurExcorrespond donc à l’évaluation f 7→f(x)enxd’une application. Dans cette topologie produit, une suite d’applications(f ) converge versf si, et seulement

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Exemples (topologie produit)

x∈X

E_x, oùE_x=Equel que soitx∈X. On peut donc le munir de la topologie produit. La projection sur le facteurExcorrespond donc à l’évaluation f 7→f(x)enxd’une application.Dans cette topologie produit, une suite d’applications(f ) converge versf si, et seulement

(31)

Exemples (topologie produit)

x∈X

(32)

Exemples (topologie produit)

x∈X

(33)

Anneaux topologiques

SoitRun anneau etτ une topologie surR.On dit que(R, τ)est un anneau topologiquesi, et seulement si,

1 L’addition(x,y)∈R×R7→x+yest continue (R×Rreçoit la topologie produit) ;

2 L’applicationx7→ −xest continue ;

3 L’application(x,y)∈R×R7→xyest continue.

Les deux premiers axiomes indiquent que(R,+,0)est ungroupe (abélien) topologique.

(34)

Anneaux topologiques

SoitRun anneau etτ une topologie surR. On dit que(R, τ)est un anneau topologiquesi, et seulement si,

(35)

Anneaux topologiques

(36)

Anneaux topologiques

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Anneaux topologiques

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Anneaux topologiques

(39)

Exemples

1 SoitRun anneau quelconque. Alors(R, τ)est un anneau topologique pourτ la topologie triviale ou la topologie discrète.

Dans le premier cas,(R, τ)n’est pas séparée, alors qu’il l’est dans le second cas.

2 Soit(Ri, τi)i∈Iune famille quelconque d’anneaux topologiques.

Alors le produit directY

i∈I

Ride ces anneaux, avec la topologie produit, est un anneau topologique. (Produit dans la catégorie des anneaux topologiques.)

3 Soient(R, τ)un anneau topologique etXun ensemble. L’anneau des applicationsR^X est un anneau topologique pour la topologie

(40)

Exemples

1 SoitRun anneau quelconque.Alors(R, τ)est un anneau topologique pourτ la topologie triviale ou la topologie discrète.

i∈I

(41)

Exemples

i∈I

(42)

Exemples

i∈I

Ride ces anneaux, avec la topologie produit, est un anneau topologique.(Produit dans la catégorie des anneaux topologiques.)

(43)

Exemples

i∈I

(44)

Exemples

i∈I

Ride ces anneaux, avec la topologie produit, est un anneau topologique.(Produit dans la catégorie des anneaux topologiques.)

3 Soient(R, τ)un anneau topologique etXun ensemble.L’anneau des applicationsR^X est un anneau topologique pour la topologie

(45)

Exemples

i∈I

(46)

Exemples

i∈I

3 Soient(R, τ)un anneau topologique etXun ensemble.L’anneau des applicationsR^X est un anneau topologique pour la topologie

(47)

Exemples

i∈I

(48)

Corps topologiques

SoitKun corps etτ une topologie surK.On dit que(K, τ)est un corps topologiquesi, et seulement si,

1 (K, τ)est un anneau topologique ;

2 (K^∗,×,1)est un groupe topologique. (Il est suffisant de vérifier que l’inversion dansK^∗est continue.)

(49)

Corps topologiques

SoitKun corps etτ une topologie surK. On dit que(K, τ)est un corps topologiquesi, et seulement si,

2 (K^∗,×,1)est un groupe topologique.(Il est suffisant de vérifier que l’inversion dansK^∗est continue.)

(50)

Corps topologiques

(51)

Corps topologiques

2 (K^∗,×,1)est un groupe topologique.(Il est suffisant de vérifier que l’inversion dansK^∗est continue.)

(52)

Corps topologiques

(53)

Exemples

1 Q,R,Cavec les topologies usuelles ;

2 Un corps avec la topologie triviale est un corps topologique non séparé.On peut montrer que c’est la seule topologie de corps non Hausdorff ;

3 (Wie¸sław, Topological fields) Soitφun automorphisme non continu (pour la topologie usuelle !) du corps des complexes,i.e., φn’est ni l’identité ni la conjugaison complexe. L’application (z,z⁰)7→ |φ(z)−φ(z⁰)|définie une métrique, laquelle induit une topologie de corps distincte de la topologie usuelle ;

(54)

Exemples

2 Un corps avec la topologie triviale est un corps topologique non séparé. On peut montrer que c’est la seule topologie de corps non Hausdorff ;

(55)

Exemples

2 Un corps avec la topologie triviale est un corps topologique non séparé.On peut montrer que c’est la seule topologie de corps non Hausdorff ;

(56)

Exemples

3 (Wie¸sław, Topological fields) Soitφun automorphisme non continu (pour la topologie usuelle !) du corps des complexes,i.e., φn’est ni l’identité ni la conjugaison complexe.L’application (z,z⁰)7→ |φ(z)−φ(z⁰)|définie une métrique, laquelle induit une topologie de corps distincte de la topologie usuelle ;

(57)

Exemples

(58)

Exemples

3 (Wie¸sław, Topological fields) Soitφun automorphisme non continu (pour la topologie usuelle !) du corps des complexes,i.e., φn’est ni l’identité ni la conjugaison complexe.L’application (z,z⁰)7→ |φ(z)−φ(z⁰)|définie une métrique, laquelle induit une topologie de corps distincte de la topologie usuelle ;

(59)

Exemples

(60)

Exemples (suite)

1 Soitpun nombre premier. Pour chaque entier naturel non nuln, on définitv_p(n)comme l’exposant depdans la décomposition en produt de facteurs premiers den.Cette fonction est étendue aux nombres rationnels :vp(^m_n) =vp(m)−vp(n). Lanormep-adique est alors définie parv_p(r) =p^−v^p^(r), pourr∈Q,r 6=0, et vp(0) =0. Cette norme définit latopologiep-adiquesurQ, qui est distincte de la topologie usuelle ;

2 Soit(pn)n∈Nune suite de nombres premiers, et(ai,j)j≤i une suite de nombres naturels. La collection des ensembles

Un = {

∞

X

i=n

ki

`i

pi | ki ∈Z, `i ∈N^∗, km=0, massez grand,

|^kⁱ| ≤a , |`| ≤2³ⁱ⁻ⁿ}

(61)

Exemples (suite)

1 Soitpun nombre premier.Pour chaque entier naturel non nuln, on définitv_p(n)comme l’exposant depdans la décomposition en produt de facteurs premiers den. Cette fonction est étendue aux nombres rationnels :vp(^m_n) =vp(m)−vp(n). Lanormep-adique est alors définie parv_p(r) =p^−v^p^(r), pourr∈Q,r 6=0, et vp(0) =0. Cette norme définit latopologiep-adiquesurQ, qui est distincte de la topologie usuelle ;

Un = {

∞

X

i=n

ki

`i

|^kⁱ| ≤a , |`| ≤2³ⁱ⁻ⁿ}

(62)

Exemples (suite)

1 Soitpun nombre premier. Pour chaque entier naturel non nuln, on définitv_p(n)comme l’exposant depdans la décomposition en produt de facteurs premiers den.Cette fonction est étendue aux nombres rationnels :vp(^m_n) =vp(m)−vp(n).Lanormep-adique est alors définie parv_p(r) =p^−v^p^(r), pourr∈Q,r 6=0, et vp(0) =0. Cette norme définit latopologiep-adiquesurQ, qui est distincte de la topologie usuelle ;

Un = {

∞

X

i=n

ki

`i

|^kⁱ| ≤a , |`| ≤2³ⁱ⁻ⁿ}

(63)

Exemples (suite)

1 Soitpun nombre premier. Pour chaque entier naturel non nuln, on définitv_p(n)comme l’exposant depdans la décomposition en produt de facteurs premiers den. Cette fonction est étendue aux nombres rationnels :vp(^m_n) =vp(m)−vp(n). Lanormep-adique est alors définie parv_p(r) =p^−v^p^(r), pourr∈Q,r 6=0, et vp(0) =0.Cette norme définit latopologiep-adiquesurQ, qui est distincte de la topologie usuelle ;

Un = {

∞

X

i=n

ki

`i

|^kⁱ| ≤a , |`| ≤2³ⁱ⁻ⁿ}

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Exemples (suite)

1 Soitpun nombre premier. Pour chaque entier naturel non nuln, on définitv_p(n)comme l’exposant depdans la décomposition en produt de facteurs premiers den. Cette fonction est étendue aux nombres rationnels :vp(^m_n) =vp(m)−vp(n).Lanormep-adique est alors définie parv_p(r) =p^−v^p^(r), pourr∈Q,r 6=0, et vp(0) =0. Cette norme définit latopologiep-adiquesurQ, qui est distincte de la topologie usuelle ;

Un = {

∞

X

i=n

ki

`i

|^kⁱ| ≤a , |`| ≤2³ⁱ⁻ⁿ}

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Exemples (suite)

1 Soitpun nombre premier. Pour chaque entier naturel non nuln, on définitv_p(n)comme l’exposant depdans la décomposition en produt de facteurs premiers den. Cette fonction est étendue aux nombres rationnels :vp(^m_n) =vp(m)−vp(n). Lanormep-adique est alors définie parv_p(r) =p^−v^p^(r), pourr∈Q,r 6=0, et vp(0) =0.Cette norme définit latopologiep-adiquesurQ, qui est distincte de la topologie usuelle ;

2 Soit(pn)n∈Nune suite de nombres premiers, et(ai,j)j≤i une suite de nombres naturels.La collection des ensembles

Un = {

∞

X

i=n

ki

`i

|^kⁱ| ≤a , |`| ≤2³ⁱ⁻ⁿ}

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Exemples (suite)

1 Soitpun nombre premier. Pour chaque entier naturel non nuln, on définitv_p(n)comme l’exposant depdans la décomposition en produt de facteurs premiers den. Cette fonction est étendue aux nombres rationnels :vp(^m_n) =vp(m)−vp(n). Lanormep-adique est alors définie parv_p(r) =p^−v^p^(r), pourr∈Q,r 6=0, et vp(0) =0. Cette norme définit latopologiep-adiquesurQ, qui est distincte de la topologie usuelle ;

Un = {

∞

X

i=n

ki

`i

|^kⁱ| ≤a , |`| ≤2³ⁱ⁻ⁿ}

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Exemples (suite)

2 Soit(pn)n∈Nune suite de nombres premiers, et(ai,j)j≤i une suite de nombres naturels.La collection des ensembles

Un = {

∞

X

i=n

ki

`i

|^kⁱ| ≤a , |`| ≤2³ⁱ⁻ⁿ}

(68)

Exemples (suite)

Un = {

∞

X

i=n

ki

`i

|^kⁱ| ≤a , |`| ≤2³ⁱ⁻ⁿ}

(69)

Exemples (suite)

Un = {

∞

X

i=n

ki

`i

|^kⁱ| ≤a , |`| ≤2³ⁱ⁻ⁿ}

(70)

Théorème (Podweski 1973, Kiltinen 1973)

Tout corps infiniKadmet 2²^|^K^| topologies de corps distinctes.

(71)

Modules, espaces vectoriels

SoitRun anneau.UnR-moduleMest

1 un groupe abélien(M,+,0)

2 avec une application(λ,x)∈R×M7→λx∈Msatisfaisant les axiomes suivants :

1 λ(x+y) =λx+λy;

2 (λ+µ)x=λx+µx;

3 λ(µx) = (λµ)x;

4 1x=x

quels que soientλ, µ∈R,x,y∈M.

Dans le cas oùRest un corpsK, on parle alors deK-espace vectoriel.

(72)

Modules, espaces vectoriels

SoitRun anneau. UnR-moduleMest

1 λ(x+y) =λx+λy;

2 (λ+µ)x=λx+µx;

3 λ(µx) = (λµ)x;

4 1x=x

(73)

Modules, espaces vectoriels

1 λ(x+y) =λx+λy;

2 (λ+µ)x=λx+µx;

3 λ(µx) = (λµ)x;

4 1x=x

(74)

Modules, espaces vectoriels

1 λ(x+y) =λx+λy;

2 (λ+µ)x=λx+µx;

3 λ(µx) = (λµ)x;

4 1x=x

(75)

Modules, espaces vectoriels

1 λ(x+y) =λx+λy;

2 (λ+µ)x=λx+µx;

3 λ(µx) = (λµ)x;

4 1x=x

(76)

Modules, espaces vectoriels

1 λ(x+y) =λx+λy;

2 (λ+µ)x=λx+µx;

3 λ(µx) = (λµ)x;

4 1x=x

(77)

Modules, espaces vectoriels

1 λ(x+y) =λx+λy;

2 (λ+µ)x=λx+µx;

3 λ(µx) = (λµ)x;

4 1x=x

(78)

Modules, espaces vectoriels

1 λ(x+y) =λx+λy;

2 (λ+µ)x=λx+µx;

3 λ(µx) = (λµ)x;

4 1x=x

(79)

Modules, espaces vectoriels

1 λ(x+y) =λx+λy;

2 (λ+µ)x=λx+µx;

3 λ(µx) = (λµ)x;

4 1x=x

(80)

Modules, espaces vectoriels

1 λ(x+y) =λx+λy;

2 (λ+µ)x=λx+µx;

3 λ(µx) = (λµ)x;

4 1x=x

(81)

Homomorphismes de modules et module des homomorphismes

SoientRun anneau,M,NdeuxR-modules.Une application φ:M→Nest diteR-linéaire, si et seulement si,

1 φ(x+y) =φ(x) +φ(y);

2 φ(λx) =λφ(x)

quels que soientx,y∈M,λ∈R. L’ensembleHomR(M,N)des applicationsR-linéaires deMdansNest naturellement muni d’une structure deR-module :

1 (φ+ψ)(x) =φ(x) +ψ(x);

2 (λφ)(x) =λ(φ(x))

quels que soientφ, ψ∈Hom (M,N),λ∈R. LorsqueM=N, on

(82)

Homomorphismes de modules et module des homomorphismes

SoientRun anneau,M,NdeuxR-modules. Une application φ:M→Nest diteR-linéaire, si et seulement si,

1 φ(x+y) =φ(x) +φ(y);

2 φ(λx) =λφ(x)

1 (φ+ψ)(x) =φ(x) +ψ(x);

2 (λφ)(x) =λ(φ(x))

(83)

Homomorphismes de modules et module des homomorphismes

1 φ(x+y) =φ(x) +φ(y);

2 φ(λx) =λφ(x)

quels que soientx,y∈M,λ∈R.L’ensembleHomR(M,N)des applicationsR-linéaires deMdansNest naturellement muni d’une structure deR-module :

1 (φ+ψ)(x) =φ(x) +ψ(x);

2 (λφ)(x) =λ(φ(x))

(84)

Homomorphismes de modules et module des homomorphismes

1 φ(x+y) =φ(x) +φ(y);

2 φ(λx) =λφ(x)

1 (φ+ψ)(x) =φ(x) +ψ(x);

2 (λφ)(x) =λ(φ(x))

(85)

Homomorphismes de modules et module des homomorphismes

1 φ(x+y) =φ(x) +φ(y);

2 φ(λx) =λφ(x)

quels que soientx,y∈M,λ∈R.L’ensembleHomR(M,N)des applicationsR-linéaires deMdansNest naturellement muni d’une structure deR-module :

1 (φ+ψ)(x) =φ(x) +ψ(x);

2 (λφ)(x) =λ(φ(x))

(86)

Homomorphismes de modules et module des homomorphismes

1 φ(x+y) =φ(x) +φ(y);

2 φ(λx) =λφ(x)

1 (φ+ψ)(x) =φ(x) +ψ(x);

2 (λφ)(x) =λ(φ(x))

(87)

Homomorphismes de modules et module des homomorphismes

1 φ(x+y) =φ(x) +φ(y);

2 φ(λx) =λφ(x)

1 (φ+ψ)(x) =φ(x) +ψ(x);

2 (λφ)(x) =λ(φ(x))

quels que soientφ, ψ∈Hom (M,N),λ∈R.LorsqueM=N, on

(88)

Homomorphismes de modules et module des homomorphismes

1 φ(x+y) =φ(x) +φ(y);

2 φ(λx) =λφ(x)

1 (φ+ψ)(x) =φ(x) +ψ(x);

2 (λφ)(x) =λ(φ(x))

(89)

Homomorphismes de modules et module des homomorphismes

1 φ(x+y) =φ(x) +φ(y);

2 φ(λx) =λφ(x)

1 (φ+ψ)(x) =φ(x) +ψ(x);

2 (λφ)(x) =λ(φ(x))

quels que soientφ, ψ∈Hom (M,N),λ∈R.LorsqueM=N, on

(90)

Homomorphismes de modules et module des homomorphismes

1 φ(x+y) =φ(x) +φ(y);

2 φ(λx) =λφ(x)

1 (φ+ψ)(x) =φ(x) +ψ(x);

2 (λφ)(x) =λ(φ(x))

(91)

Modules et espaces vectoriels topologiques

SoientRun anneau topologique,MunR-module, etτ une topologie surM.On dit que(M, τ)est unR-module topologiquesi, et

seulement si,

1 (M,+,0)est un groupe topologique ;

2 (λ,x)7→λxest continue deR×MdansM.

SiRest un corps topologiqueK, alors on parle deK-espace vectoriel topologique.

(92)

Modules et espaces vectoriels topologiques

SoientRun anneau topologique,MunR-module, etτ une topologie surM. On dit que(M, τ)est unR-module topologiquesi, et

seulement si,

(93)

Modules et espaces vectoriels topologiques

seulement si,

(94)

Modules et espaces vectoriels topologiques

seulement si,

(95)

Modules et espaces vectoriels topologiques

seulement si,

(96)

Exemples

1 SoientRun anneau topologique etXun ensemble.L’ensemble R^X de toutes les applications deXdansRest unR-module topologique (avec la topologie de la convergence simple) ;

2 SoitRun anneau topologique etXun ensemble.La structure “ linéaire ” de l’algèbreRhhXiides séries non commutatives surX à coefficients dansRest unR-module topologique, toujours avec la topologie produit. (Ce module est isomorphe au moduleR^X^∗, oùX^∗ désigne le monoïde libre surX: à toute série formelle

X

w∈W^∗

αww, on associe l’applicationf:w∈X^∗ 7→αw∈R.)

3 En particulier,R[[x]]est unR-module topologique. En tant que R-module topologique, il est isomorphe et homéomorphe àR^N:

∞