MP 2020-21
Kholles de Mathématiques — programme n ◦ 20
Semaine du lundi 15 au vendredi 19 mars 2021
Attention désormais tous les énoncés sont démontrés.
Les résultats admis seront explicitement indiqués.
Chapitre 18 : équations différentielles linéaires
1. Équations différentielles linéaires d’ordre 1.
1.1 Notations
Définition d’une EDL1 :x0(t) =a(t)x(t) +b(t), oùIintervalle deR,F espace vectoriel normé surK(RouC), a:I→ L(F)continue,b:I→F continue,x:I→F dérivable.
Représentation matricielle d’une EDL1 :X0(t) =A(t)X(t) +B(t), oùIest un intervalle deR,A:I→ Mn(K) et B:I→Kn sont continues etX :I→Kn est dérivable.
1.2 Structure de l’ensemble des solutions
Définition : équation homogène ou sans second membre (ESSM)X0(t) =A(t)X(t).
Espace affine des solutions d’une EDL1, de direction l’espace vectoriel des solutions de l’ESSM associée.
1.3 Problème de Cauchy
Définition du problème de Cauchy : existence et unicité d’une solution à l’EDL1x0(t) =a(t)x(t) +b(t)vérifiant une condition initialex(t0) =x0.
Théorème de Cauchy-Lipschitz (linéaire), démo ADMISE.
Corollaire : dimension de l’espace des solutions d’une EDL1 homogène.
Remarque : nécessité de se placer sur un intervalle.
1.4 Système fondamental des solutions, wronskien
Définition d’un système fondamental des solutions (SFS) : base de l’espace des solutions d’une ESSM.
Définition du wronskien d’une famille de solutions : c’est le déterminant de la famille des solutions dans une base donnée.
Théorème : une famille de soutions est un système fondamental des solutions ssi son wronskien ne s’annule pas en un point, ssi son wronskien ne s’annule jamais.
1.5 Cas où la matrice A(t)est diagonalisable dans une base fixe Résolution théorique deX0(t) =A(t)X(t).
Exemple détaillé.
1.6 Méthode de variation des constantes
Lemme : toute fonctiony:I→F se décompose de façon unique comme combinaison linéaire à coefficients non constants de fonctions d’un système fondamental des solutions donné.
Théorème : méthode de variation des constantes pourX0(t) =A(t)X(t) +B(t), afin de déterminer une solution particulière dès qu’on a trouvé un système fondamental des solutions de l’équation homogèneX0(t) =A(t)X(t).
Exemple détaillé.
2. Équations différentielles linéaires à coefficients constants.
2.1 Étude de l’EDL sans second membre à coefficients constants x0(t) =ax(t)où a∈ L(F) Définition d’une EDL à coefficients constants.
Théorème : solutions et système fondamental des solutions des EDL à coefficients constants à l’aide de l’expo- nentielle de l’endomorphismea.
Exemple détaillé.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 1/2 23 janvier 2021
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2.2 Étude de l’EDL avec second membre à coefficients constants x0(t) =ax(t) +b(t)où a∈ L(F) Mise en oeuvre de la méthode de variation des constantes pour déterminer une solution particulière de l’EDL avec second membre, lorsqu’un système fondamental des solutions de l’EDL homogène est connu.
Exemple détaillé.
2.3 Cas d’un endomorphisme diagonalisable
Lorsque l’endomorphismeaest diagonalisable, détermination d’un système fondamental des solutions de l’EDL x0(t) =ax(t)homogène à coefficients constants à l’aide de l’exponentielle de a.
3. Équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 1 ou 2.
3.1 Équation scalaire du premier ordre a(t)x0(t) +b(t)x(t) =c(t) Icia,b,csont trois fonctions continues de IdansK.
Rappels de Première Année.
Recollement des solutions.
Exemple détaillé.
3.2 Équation scalaire du second ordre a(t)x00(t) +b(t)0x(t) +c(t)x(t) =d(t) Icia,b,c,dsont quatre fonctions continues deI dansK.
Attention : la méthode de l’équation caractéristique (vue en Première Année) ne fonctionne que sia, b, c etd sont constantes !
Méthode : transformer cette EDL2 dans Ken une EDL1 dans K2. Étude théorique détaillée.
Exemple détaillé.
3.3 Résolution de a(t)x00(t) +b(t)0x(t) +c(t)x(t) =d(t) lorsqu’on connaît une solution de l’équation homogène
Méthode « d’abaissement de l’ordre », permettant de se ramener à une EDL1.
Exemple détaillé.
Semaine suivante : calcul différentiel.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 2/2 23 janvier 2021
