Équations différentielles linéaires Feuille 14
Exercice14.1
Résoudre l’équation différentielle(E) : y0+ 2y= 4e2t,avec la condition de Cauchyy(0) = 0.
Exercice14.2
Résoudre l’équation différentielle(E):y00−10y0+ 41y= 170 sint.
Exercice14.3
Soitf :R−→Rune application deux fois dérivable telle que
∀x∈R, f00(x)−2f0(x) +f(x) = 2 ex
1. Montrer que sif0 ≥0, alorsf ≥0.
2. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice14.4
On considère l’équation différentielle suivante
(E) :x(x2−1)y0+ 2y=x2,
oùyest une fonction dex.
1. Résoudre cette équation différentielle Iorsquey est définie sur un intervalleI ne contenant aucun des réels
−1,0et 1.
2. Montrer queyest une solution de(E)si et seulement six7−→y(−x)est une solution de(E). 3. Déterminer les solutions de(E)surR∗+et surR∗−.
4. Déterminer les solutions de(E)sur]−1 ; 1[.
Exercice14.5
Résoudre l’équation(E):y0 = y 2t+ 1
2yt. Indication : On pourra poserz=y2.
Exercice14.6
Déterminer les applicationsf :R−→R, continues et telles que :
∀x∈R, f(x) + Z x
0
(x−t)f(t) dt= 1.
Exercice14.7
Soitq ∈R∗+. Résoudre l’équation différentielle
(E):(t2+ 1)y00+ty0−q2y= 0à l’aide du changement de variablet=sh(x).
Exercice14.8
Soientbetcdeux applications continues deRdansR.
On considère l’equation différentielle(E):y0+b(x)y=c(x). 1. Résoudre(E)à l’aide d’intégrales.
Quentin De Muynck Sous licencecbea
FEUILLE XIV - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
2. SoitT ∈R∗+. On suppose quebetcsontT-périodiques.
(a) Montrer qu’une solutionyde(E)estT-périodique si et seulement siy(0) =y(T) (b) Montrer que(E)possède une unique solutionT-périodique si et seulement si
Z T
0
b(t) dt6= 0.
Exercice14.9
Résoudre(E) :f00(x) +f(−x) =x+ cosx
Exercice14.10
Soitλ∈R.
Déterminer les applicationsf de classeC1 deRdansR, telles que pour toutx∈R, f0(x) =f(λ−x).
Exercice14.11
Résoudre l’équation différentielle(E):x2y00+xy0−4y+ 4x2 = 0.
On pourra utiliser le changement de variable suivant :
t= ln|x|
On précisera quelles sont les solutions définies surRen entier.
Exercice14.12
Déterminer les applicationsf :R−→R, continues, telles que, pour toutx∈R, f(x) =x2+ Z x
0
tf(x−t) dt.
Exercice14.13
On souhaite résoudre le problème de Cauchy suivant :
y00+|y|= 0avecy(0) =aety0(0) = 0 On admettra qu’il possède une unique solution définie surRque l’on noteray.
1. Montrer que pour toutx∈R, y(x)≤a.
2. Déterminerylorsquea≤0.
Pour la suite, on suppose quea >0.
3. Montrer queys’annule en exactement deux pointsb−<0etb+>0.
4. Achever la résolution de l’exercice.
Exercice14.14
Le but de l’exercice est de déterminer les applicationsf :R−→ Rcontinues, non identiquement nulles, s’an- nulant en au moins un point et telles que
∀(x, y)∈R2, f(x+y) +f(x−y) = 2f(x)f(y)
1. Soitfune solution. Montrer quef est paire, puis qu’elle admet une primitiveF impaire.
2. Montrer qu’il existex0 ∈Rtel que
∀y ∈R, f(y) = F(x0+y) +F(x0−y) 2F(x0) .
En déduire quefest de classeC∞
3. Montrer qu’il existeµtel que∀x∈R, F00(x) =µF(x). 4. Achever la résolution de l’exercice.
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