N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
E. J AGGI
Sur les équations différentielles linéaires
Nouvelles annales de mathématiques 3
esérie, tome 5
(1886), p. 86-88<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1886_3_5__86_0>
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SUR LES ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES;
PAR M. E. JAGGÏ,
Licencié è> sciences mathématiques de la Faculté de Besançon.
Dans son Mémoire sur les équations différentielles linéaires ( ' ) , M. Appell a donné une méthode générale pour former l'équation différentielle linéaire qui ad- met pour intégrale une fonction entière des intégrales d'une équation donnée. Cette Note a pour objet de donner une méthode pour former l'équation qui admet pour intégrale la fonction
„ =.
yn +-i j'n+2 • ' • yn >rpde/> H- n intégrales de l'équation différentielle
Posons
v =yiy-2" -y n-
w = y n M y'«-+-2 • • • j'/n-/>'
On sait former les équations qui admettent respecti- vement pour solutions les fonctions v et tv. Si l'on dé- signe par z{, ~2, . . ., zm un système fondamental de so- lutions de (i), on peut poser
y k ~ G A i -31 —T- C/-2 £$-*-•• • ~+~ t-*km"nu
et l'on voit que v contient un nombre de termes linéai-
< ' \ Annales de l'Ecole Xormale superieure, 1881 -
( « 7 ) renient indépendants égal à
_ ml m -+-1).. .(m -±- n — i) i . 2 . . . n
L'équation différentielle linéaire o ( f ) = o qui donne v est donc d'ordre N.
De même l'équation ó(cr) = o qui donne w est d'ordre
_ m(m -t- i ) . . .(m -+-p — i ) 1 . 2 . . . / ?
Cela posé, ayant formé les équations
la question revient à former l'équation qui donne
u = — •ç (P
Ou voit qu'il suffit pour cela d'éliminer iv entre les deux équations
(-2) ^ p ( ( r ) = o, OJS'CWÏP; = o.
Pour cela, différentions N— i fois la première et P — i fois la seconde ; nous formons ainsi un système de N -f- P équations linéaires et homogènes à ]\ -{- P inconnues
Le déterminant A de ces équations égalé à zéro sera la condition nécessaire et suffisante pour que les deux équations (2) aient une solution commune.
L'équation A = o est l'équation en u cherchée; c'est une équation non linéaire d'ordre
1 . 2 , . . n
m ( m -4- 1 ) . . . ( m -h p — 1 ) 1 . 2 . . . / ?
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Elle admet, bien entendu, connue intégrales non seule- ment les fonctions telles que
mais toutes celles obtenues en supposant dans a que
i, '1, 3, . . . , (n-hp)
fonctionsj sont les mûmes.
