1.8 Représentation des systèmes échantillonnés linéaires invariants 3 moyens de les décrire :
par équation (différentielle et aux différences obtenue par la discrétisation de l’équation différentielle)
par transformation (Laplace, Z)
par équation d’état (description moderne) 1.8.1 Équation aux différences
a) Définition : (Définition au cours sur tableau)
b) Le diagramme block : Un outil visuel pour représenter une équation aux différences.
c) Résolution des équations aux différences :
i. Méthode classique : Solution particulière
ii. Méthode séquentielle utilisant un calculateur numérique y(k) = x(k) – x(k-1) – y(k-1) k ≥ 0
x(k) = 1 pour k pair et x(k)= 0 pour k impair y(0)= 1 - 0 - 0= 1
y(1)=0 - 1 - 1 = -2 y(2)=1 - 0 - (-2) = 3
1.8.2 Transformations
Transformation de Laplace (Voir vos notes de cours)
Transformation en Z
Théorème du retard en notation complexe
Théorème : à un retard Te correspond une multiplication par e-jωTe que l’on note z-1
Soit : z = e-jωTe ou, en notation de Laplace, eTe p Équation
différentielle Équation aux
différences
Fonction de transfert TC
Fonction de transfert TD Numérisation
T. Laplace
T. Z
• Transformée en z d'un signal échantillonné T. de Fourier d'un Dirac retardé :
T. F. d'un signal échantillonné
Définition de la transformée en z :
Application :
Connaissant la fonction de transfert en z d'un système numérique, on peut déterminer sa réponse à un signal d'entrée échantillonné quelconque par : xe(t) → X(z) → Y(z) → ye(t)
Propriétés (notation simplifiée : y(kTe) = yk ) - Linéarité :
- Théorème du retard : - Dérivation arrière :
- Intégration simple :
- Intégration, méthode des trapèzes :
- Théorème de la valeur initiale : - Théorème de la valeur finale :
- Convolution
• Passage : H(jω) ou H(p) → H(z) - Méthodes de calcul :
- lecture directe d'une table Transformées de Laplace → Transformées en z - méthode simplifiée : effectuer dans H(p) les changements de variable suivants :
• dérivée (multiplication par p) :
• intégrale (division par p) :
• retard pur :
- méthode des trapèzes (plus précise) :
- Cas d'un procédé réel
Dans la pratique, non seulement le signal est échantillonné, mais il est aussi bloqué. Dans la fonction de transfert globale, il faut tenir compte de l’existence du " bloqueur d’ordre zéro "
(BOZ). On sait que la transmittance de celui-ci est (on en reparlera dans la description de la chaîne d’acquisition) :
d’où l’on tire la règle suivante, en notant HB la transformée d’un système échantillonné ET bloqué, et Z[ ] la transformée en z lue dans la table ou calculée par changement de variable :
• Passage : H(z) → H(jω) ou H(p) Par changement de variable :
• Passage : H(z) ↔ équation de récurrence fct. transfert en z :
↔ équation aux différences :
↔ équation de récurrence :
• Passage : équation de récurrence → yk
Immédiat, en calculant pas à pas la suite {yk} à partir de la connaissance : - de l'équation de récurrence
- de la suite {xk} des échantillons d'entrée - de la ou des conditions initiales y0, y1, ...
• Passage : H(z) → hk (réponse impulsionnelle discrète du système) - Par division de polynôme :
- Par transformée en z inverse (lire dans une table) - Par convolution
• Passage : hk→ H(z) : par transformée de Fourier discrète.
Transformées en Z de quelques signaux usuels
Exemple :
Obtenir la transformée en Z du signal discret x(n) = anu(n-n0), ou a est une constante réelle et n0
un entier et déterminer sa région de convergence RDC.
1.9 Approche moderne des systèmes : Variables d’état 1.9.1 Introduction aux variables d’état
Le calculateur numérique utilisé dans la boucle de régulation nous amène à voir le processus analogique échantillonné comme un système discret.
L'identification, la simulation, la commande sont donc entièrement prises en charge sous forme numérique.
Les variables d'état permettent une description interne des systèmes dans le domaine temporel.
Il convient de bien connaître le comportement du système à piloter et d'en établir un modèle. Les signaux aléatoires ont des propriétés spectrales qui permettent d'atteindre les informations sans avoir à interrompre nécessairement le fonctionnement du système.
Nous allons décrire les systèmes (linéaires) à l'aide d'un nouveau concept, celui d'état. La théorie de l'espace d'état a été inspirée par celle des équations différentielles.
Quelques points liés à la méthode :
- le traitement a lieu dans le domaine temporel et fait appel à l'algèbre matricielle, - la représentation des systèmes monovariables s'étend aux systèmes multivariables qu'on peut alors appréhender globalement,
- les notions nouvelles de commandabilité et d'observabilité apparaissent et jouent un rôle très important,
- l'outil est très puissant pour résoudre les problèmes touchant à l'optimisation,
- certains systèmes présentant des non-linéarités ou des paramètres variant dans le temps pourront être traités par la méthode des variables d'état,
- le calculateur sera un outil efficace en termes d'analyse comme en termes de commande.
1.9.2 )otion d’état
Exemple dans le domaine continu
Considérons le circuit électrique ci-dessous.
Le problème posé peut s'énoncer : fermons l'interrupteur au temps t = to, cherchons l'évolution temporelle du courant I(t) dans le circuit considéré.
Utilisons la notation couramment admise
u (t) excitation, ici tension appliquée à l'entrée du circuit, e (t) x (t) état, ici tension aux bornes du condensateur, vc(t) y (t) sortie, ici courant circulant dans le circuit, I(t).
On peut établir (je vous renvoie à vos notes de cours) que :
Soit u (t) une entrée en échelon d'amplitude e0.
La valeur initiale x(to) est imposée et définit «l’état initial » du circuit les expressions de x (t) et y (t) s'écrivent:
Représentons graphiquement ce résultat en choisissant trois valeurs différentes de x (to) : -1, 0, 1.
Prenons e0= 1 volt.
On remarque que :
•pour déterminer x (t) (et y (t)) dans l'intervalle [to, t], on n'a pas besoin de connaître ce qui s'est passé dans l'intervalle (- ∞ , to), mais seulement « l'état » à l'instant to, le chemin pris pour atteindre cet état n’étant pas important.
•à chaque instant t, l'état du système est caractérisé par une (dans notre exemple) valeur de la variable d'état x.
Ceci permet de prévoir l'évolution du système. Si au temps t1 > to on applique une nouvelle entrée ul(t), la sortie du système va évoluer, pour t ∈ [t1, t] en fonction :
- du nouveau signal d'excitation, ul(t) - de l'état du système en t1, soit x(t1).
Remarque : L'état d'un système à un instant donné représente la mémoire minimale du passé nécessaire à la détermination du futur.
1.9.3 Exemple dans le domaine discret
(D’après cours d’automatique, tome 1, Maurice Rivoire et Jean-Louis Ferrier, Eyrolles) Une société, que nous appelons RIFE, fabrique du matériel de télécommunication ; elle a deux secteurs d'activité
- le téléphone - la fibre optique.
Son montage financier (simplifié) est décrit ci-dessous :
Chaque année « k », la RIFE investit un capital désigné par u (k) dans ses deux activités : 0,75 u(k) pour le téléphone et 0,25 u(k) pour les fibres optiques.
La RIFE fait des pertes dans la fibre optique : chaque dollar investi perd 0,10$
La RIFE fait des bénéfices dans le téléphone : chaque dollar investi rapporte 0,30$ ; à la fin de chaque année, ces bénéfices sont réinvestis dans le secteur fibre optique pour le renflouer.
Soient x1(k) et x2(k) les capitaux cumulés la k-ième année, respectivement dans le téléphone et la fibre optique.
? Problème
Trouver les équations - correspondant à une représentation d'état - sachant que l'entrée u (k) est le capital injecté l'année k et que la sortie y (k) est le total cumulé des capitaux l'année k.
Nous pouvons écrire - pour le téléphone
x1 (k + 1) = x1(k) + 0,75 u(k)
capital nouveau capital ancien investissement début d'année fin d'année téléphone
précédente - pour la fibre optique :
x2 (k + 1) = 0,30 x1 (k) + 0,9 x2 (k) + 0,25 u(k) capital nouveau bénéfices venant capital ancien investissement
début d'année du téléphone fin d'année fibre
précédente
Ces équations décrivent complètement le comportement de la RIFE. L'histoire est résumée par les deux variables x1 (k) et x2(k) qui sont réactualisées chaque année, ce sont les variables d'état.
Ce qui conduit à (représentation d'état)
avec
Si nous supposons une loi d'apport en capital dégressif de la forme u(k)=1/2k, il est alors facile, connaissant x1(0) et x2(0) d'en déduire y(k) pour k quelconque ; par exemple, pour k = 2, le capital total des deux secteurs réunis est : y (2) = 1,7.
1.9.4 La notion d'état et les automatismes séquentiels
Considérons le problème séquentiel défini par le cahier des charges ci-dessous : Un système possède deux entrés binaires m et a et une seule sortie L.
La condition (m, a) = (1, 0) en entrée, entraîne L à prendre la valeur 1 et à s'y maintenir jusqu'à ce qu'apparaisse la condition (m, a) = (0,I) qui ramène L à 0. On admet que : (m, a) = (1, 1) n'intervient jamais en fonctionnement normal et que m et a ne changent jamais d'état simultanément.
Le système considéré est par exemple une bascule avec poussoir m de mise à 1 et poussoir a de mise à 0 ou un dispositif marche/arrêt de moteur.
Établissons un diagramme des états dans le but de visualiser le comportement de l'automatisme.
On peut remarquer par exemple qu'une même entrée (m, a) = (0, 0) nous conduira soit vers l'étape 3, soit vers l'étape 1 selon l'état dans lequel se trouvait le système. L'évolution dépend donc bien de l'état actuel et de l'entrée appliquée.
L'évolution du système est décrite par ses états « internes » 1, 2,... 4, (on dit aussi « étapes »). La sortie L, variable externe est fonction des étapes.
1.9.5 Variables et équations d’état
Les variables d'état doivent apporter une description interne complète de l'évolution du système.
Les paramètres de description des réservoirs d'énergie : tension aux bornes d'un condensateur, vitesse d'un volant d'inertie..., sont commodes pour fournir un jeu possible de variables d'état dont le nombre, qui qualifie l'ordre du système, n'est pas toujours facile à déterminer. L'état initial est décrit par les valeurs initiales des variables d'état.
Exemple 1, mono-entrée, mono-sortie, temps continu
La réponse du circuit RC du § 1.9.2 nous a montré qu'il est nécessaire de connaître la tension aux bornes du condensateur x(to) = xo au temps to, le condensateur étant un réservoir d'énergie. Les équations (du 1.9.2) sont la représentation d'état du système considéré ; elles s'écrivent sous la forme standard.
équation d'état différentielle
équation de sortie
On en déduit un schéma-bloc analogique, appelé aussi diagramme structurel.
Note : Ce schéma-bloc, dans lequel figurent des opérateurs analogiques élémentaires tels que sommateurs, intégrateur, multiplieur par une constante, peut être aisément réalisé sur calculateur analogique (en introduisant la valeur de l'état initial).
La solution du système d’équation ci-haut, s'écrit :
Remarques : La représentation d'état décrit le comportement dynamique du système étudié.
•A chaque instant t, le système est caractérisé par son état x(t). Si u(t) =0 ∀t, x(t) peut être différent de zéro si xo l'est.
•La valeur x(ti) prise par x(t) en t = ti constitue la nouvelle valeur initiale pour une évolution dynamique ultérieure du système, sans qu'il soit besoin de connaître ce qui s'est passé avant ti et donc la manière dont on est parvenu en t = ti
•Le schéma-bloc analogique présente une structure bouclée.
•a, b, c, d sont ici des coefficients, dans le cas général, pour les systèmes d'ordre supérieur à un ou multivariables A, B, C, D, sont des matrices et U, X, Y des vecteurs.
Exemple 2
Deux entrées, une sortie, temps continu
Les variables d'entrée u1(t) et u2 (t) sont respectivement le courant délivré par le générateur G1, et la tension aux bornes du générateur G2, la variable de sortie y1(t) est la tension aux bornes de la résistance R.
Choisissons comme variables d'état :
x1 (t) tension aux bornes du condensateur x2 (t) courant dans la self.
Seuls le condensateur et la self sont susceptibles d'emmagasiner de l'énergie. Par exemple, au temps t=0 pris comme origine, x1 (0) et x2 (0) peuvent ne pas être nuls.
En écrivant la loi d'Ohm, nous obtenons une représentation matricielle d'état
Il est clair que, si par exemple, u1(t) ≡∀ t, la structure de la représentation d'état reste inchangée pour ce système, devenu alors mono-entrée, mono-sortie.
On aurait pu également prendre comme variables d'état la charge du condensateur et le flux dans la self.
Deux entrées, plusieurs sorties, temps continu
Supposons maintenant que l'on s'intéresse aussi à y2, y3, y4, y5, y6, courants dans les différentes branches du circuit, et à y7 tension aux bornes de la self.
Question : Faut-il reprendre tous les calculs pour obtenir la nouvelle représentation d'état ? La réponse est non : l’équation matricielle d'état reste inchangée, seule l'équation matricielle de sortie est modifiée. En fait, nous établissons les relations linéaires qui lient
à savoir
Exemple 3 : filtre numérique du 1er ordre, temps discret
Considérons un filtre numérique du premier ordre (S.L.T.I.), mono-entrée, mono-sortie, qui obéit aux équations d'état suivantes :
x(k + 1) =f. x(k) + g. u(k) équation d'état aux différences y(k) = p . x(k) + q . u(k) équation de sortie
x(0) donné
f, g, p, q désignent ici des coefficients constants.
Les valeurs des variables d'entrée u(k), et de sortie y(k), ne sont connues qu'en des temps discrets.
On retrouve une configuration analogue à celle de la figure (exemple 1) pour les systèmes
continus. A l'élément dynamique intégrateur correspond l'élément mémoire (retard d'une période
∆).
On peut déduire le diagramme structurel ci-dessous :
La notion d'état apparaît clairement ; en effet, la connaissance de x (k) et de u(k) permet de déterminer la sortie du système, le vecteur d'état étant lui-même réactualisé toutes les ∆ secondes.
x(ko) représente l'état à l'instant initial ko.
La solution du système d’équation ci-haut, s'écrit :
1.9.6 Détermination des équations d’état Processus en 3 étapes :
1. le choix des variables d’état qui doit être tel que celles-ci résument l’histoire passée du système ;
2. la détermination de l’équation d’état, qui dicte le changement du vecteur d’état en fonction de sa valeur présente et de la valeur présente de l’entrée ;
3. la détermination de l’équation de sortie, qui exprime le signal de sortie comme une combinaison des valeurs présentes de l’état et de l’entrée.
1.9.7 Possibilité de représenter un système sous forme d’état
1. Représentation d’état : résume le passé par n nombres (réels en pratique).
2. Cette représentation n’est pas possible pour certains systèmes qui ont une “très grande mémoire” (mémoire de taille infinie)
3. Exemple : le système y(t) = u(t-T) en temps continu est de mémoire “infinie”...
1.9.8 Solution des équations d’état
Cas discret (A, B, C et D, quelconques) :
La solution de l’équation x[k+1] = Ax[k] + Bu[k], x[0] = x0 s’obtient comme suit :
Note : An = AA…A est appelée matrice de transition Représentation entrée-sortie
En substituant la solution, de l’équation
d’état dans l’équation de sortie y[n] = Cx[n] + Du[n] :
Cela donne lieu à une relation entrée-sortie homogène en u si x[0]=0 :
Obtention de la réponse impulsionnelle du système : On remplace u[.] par δ[.] dans
ce qui donne
ou encore
1.10 Observabilité et commandabilité
Objectifs : Comprendre les notions d’observabilité et de commandabilité d’un système d’état et déterminer si il est complètement commandable et observable. Calculer les formes compagnes (ligne et colonne) d’une matrice.
On considère un système possédant m entrées et p sorties décrit par sa représentation d’état :
avec X (t) vecteur d’état de dimension (n×1), U (t) vecteur d’entrée de dimension (m×1), Y (t) vecteur de sortie de dimension (p×1), A matrice d’état de dimension (n×n), B matrice d’entrée de dimension (n×m), C matrice de sortie de dimension (p×n), D matrice de couplage de dimension (p×m),
et X (t0) vecteur des conditions initiales sur l’état de dimension (n×1).
1.10.1 Rappels sur la commandabilité et l’observabilité.
Observabilité
Définition
On appelle observabilité d’un système la possibilité d’évaluer l’ensemble des grandeurs constitutives du vecteur d’état X à partir de mesures effectuées sur le système. On dit que le système continu précédent est observable à l’instant t1 si à partir de la connaissance du vecteur de sortie Y et du vecteur d’entrée U, il est possible en un temps fini t2>t1 de déterminer l’état X(t1) . Critère d’observabilité de Kalman
On définit la matrice d’observabilité Q0, de dimension (pn×n), de la façon suivante :
La dimension du sous-espace observable de l’espace d’état est égal au rang de la matrice Q0. Autrement dit, cette dimension est égale à la dimension de la plus grande sous-matrice carrée extraite de Q0, dont le déterminant est non nul. En particulier, le système est dit
complètement observable si et seulement si : rang (Q0) = dim (X) = n
La matrice Q0 est alors dite de rang plein (cela signifie qu’il existe une sous-matrice carrée de dimension n dont le déterminant est non nul).
Remarques
La matrice d’observabilité Q0 est de dimension (pn×n), elle est donc en général rectangulaire
Pour simplifier le calcul de Q0, il est bon de procéder par itérations plutôt que de calculer les puissances successives de A : calcul de C, puis calcul de CA, puis calcul de (CA) A, etc.
Pour démontrer que le système est complètement observable, il n’est pas nécessaire de mener le calcul de Q0 jusqu’à la fin : lors des calculs itératifs, il suffit de trouver une matrice carrée de dimension n dont le déterminant est non nul.
Enfin, la propriété d’observabilité ne dépend pas de l’entrée du système. C’est une propriété intrinsèque et structurale du système.
Commandabilité DéfinitionsOn dit que le système continu est commandable à l’instant t1 si il est possible de trouver un vecteur d’entrée U(t) (avec t>t1), qui permet d’atteindre à partir de l’état X (t1) un état X (t2) quelconque en un temps fini t2 - t1.
Critère de commandabilité de Kalman
On définit la matrice de commandabilité QC, de dimension (n×nm), de la façon suivante : QC = [B AB ... An-1B]
La dimension du sous-espace commandable de l’espace d’état est égal au rang de la matrice QC. Autrement dit, cette dimension est égale à la dimension de la plus grande sous-matrice carrée extraite de QC, dont le déterminant est non nul. En particulier, le système est dit complètement commandable si et seulement si :
rang(QC ) = dim (X) = n
La matrice QC est alors dite de rang plein (cela signifie qu’il existe une sous-matrice carrée de dimension n dont le déterminant est non nul).
Remarques
La matrice de commandabilité QC est de dimension (n×nm), elle est donc en général
rectangulaire et possède plus de colonnes que de lignes (sauf dans le cas monoentrée pour lequel m=1).
Pour simplifier le calcul de QC, il est bon de procéder par itérations plutôt que de calculer les puissances successives de A : calcul de B, puis calcul de AB, puis calcul de A(AB) , etc.
Pour démontrer que le système est complètement commandable, il n’est pas nécessaire de mener le calcul de QC jusqu’à la fin : Lors des calculs itératifs, il suffit de trouver une matrice carrée de dimension n dont le déterminant est non nul.
Enfin, la propriété de commandabilité ne dépend pas de l’entrée du système. C’est une propriété intrinsèque et structurale du système.
Formes compagnesOn considère le polynôme caractéristique du système d’état donné par :
Forme compagne ligne Définition
On appelle (première) forme compagne ligne de la matrice A associée à son polynôme caractéristique, la matrice définie par :
Cette matrice est formée sur sa dernière ligne des opposés des coefficients (a i), 0≤ i ≤ n-1, du polynôme caractéristique, de 1 au-dessus de la diagonale principale et de 0 partout ailleurs.
Matrice de passage
La matrice de passage de dimension (n×n) notée TL = [V1 V2... Vn], telle que AL = TL-1ATL est formée d’un vecteur arbitraire Vn et de vecteurs V1 à Vn-1 tels que :
Le vecteur Vn est choisi de manière arbitraire, à ceci près que la matrice résultante TL doit être régulière (c’est-à-dire inversible).
Forme compagne colonne Définition
On appelle (première) forme compagne colonne de la matrice A associée à son polynôme caractéristique, la matrice définie par :
Cette matrice est formée sur sa première colonne des opposés des coefficients
(a i), 0≤ i ≤ n-1 du polynôme caractéristique, de 1 au-dessus de la diagonale principale et de 0
Matrice de passage
La matrice de passage de dimension (n×n) notée Tc = [V1 V2... Vn], telle que Ac= Tc-1ATc est formée d’un vecteur arbitraire Vn et de vecteurs V1 à Vn-1 tels que :
Le vecteur Vn est choisi de manière arbitraire, à ceci près que la matrice résultante TC doit être régulière (c’est-à-dire inversible).
