1. Fonction de transfert

Un signal analogique transitant à travers un quadripôle est l’objet de modifications, volontaires (comme l’amplification apportée par un circuit amplificateur) ou subies (comme l’atténuation d’une ligne de transmission).

Ces modifications dépendant en générale de la fréquence du signal appliqué, aussi pour les prévoir, il est nécessaire de connaître la caractéristique fréquentiel du quadripôle, appelé aussi fonction de transfert.

Si on prend l’exemple d’un amplificateur de gain 10, on peut dans une première approximation considérer que ce gain est constant quelque soit la fréquence ; dans la pratique, il y aura toujours en fréquences élevées une forte diminution de cette valeur.

1. Fonction de transfert

Prenons l'exemple du circuit RC ci-après.

V R

E C VS

Ce circuit peut avoir été placé volontairement dans le montage (pour supprimer les brusques variation d'une tension par exemple), ou être parasite (la résistance est par exemple celle du conducteur de la ligne qui amène une tension à l'entrée d'un amplificateur dont C est la capacité parasite d'entrée).

Sa fonction de transfert T V V_E^S

= s'obtient en appliquant simplement l'équation du diviseur de tension :

T V

V^S_E RC j

= =

+ 1

1 ω

ce qui peut encore s'écrire :

T V

V j avec

RC

S

= E =

+1 =

1

1

0

ω 0

ω

ω

La fonction de transfert étant un nombre complexe, raisonnons sur le module.

2 0 E

S

1 1 V

T V



 ω + ω

=

=

Cette équation met en évidence la présence d'une pulsation particulière ω0. On voit que pour les signaux continus (ω=0), le gain de la fonction vaut 1, le quadripôle est "transparent" pour le signal, alors que pour les hautes fréquences (ω tendant vers l'infini) le gain vaut 0. Le circuit laisse donc passer les basses fréquences et supprime les hautes. On parle de filtre passe-bas.

Ce simple raisonnement donne le comportement pour les valeurs extrêmes de la pulsation. Pour les valeurs intermédiaires, il sera nécessaire de tracer l'évolution du gain en fonction de la fréquence ou de la pulsation, ce qui à un coefficient 2π près revient au même. Pour certaines applications, il est également important de tracer l'évolution de la phase ϕ de la fonction de transfert :

ϕ=Arg V = − ω V^S Arctg RC

( E) ( )

2. Représentation graphique

Pour représenter le module (aussi appelé gain) et la phase en fonction de la pulsation, on peut choisir une échelle linéaire. Si on souhaite détailler les basses fréquences sur une telle échelle, on ne pourra représenter précisément le comportement du circuit en hautes fréquences et réciproquement. Aussi préfère t-on une échelle logarithmique (en base 10) qui permet de faire une dilatation des faibles valeurs et une compression des valeurs importantes comme le montre la figure ci-après.

(rd/s)

1 10 100

20 50

lg2=0.3 lg5=0.7

lg10=1

décade octave

Remarques : on appelle décade l'espacement entre deux valeurs de rapport 10 (20 et 200 par exemple) et octave l'espacement entre deux valeurs de rapport 2 (20 et 40 par exemple). Sur une telle échelle, ces espacements sont constants. Il est important de noter également que la valeur 0 se trouve placée à l'infini vers la gauche.

Le gain est représenté sur une échelle linéaire, mais exprimé avec une valeur logarithmique (en base 10 toujours) : le décibel (dB):

T lg V

dB VS

E

=20

Cette expression vient du fait qu'initialement (en particulier en télécommunication) on s'intéresse surtout au logarithme de la puissance transmise par le signal lg P

P_E^S . L'unité ainsi utilisée, le bel, étant relativement importante par rapport aux grandeurs manipulées, on préfère utiliser le décibel et l'expression devient alors 10 lg P

P^S_E . Si on connaît les impédances d'entrée et de sortie du montage (que l'on choisit égale pour des raisons de propagation du signal), on peut introduire les tensions dans cette expression :

10 10 10 20

2 2

2

lg P

P lg

V Z V

Z

lg V

V lg V

V

S E

S E

S E

S

= = = E

L'utilisation du décibel permet de représenter des grandes variations du rapport des tensions avec peu de chiffres (par exemple un rapport cent entre les tensions conduit à une différence de 40 dB, un rapport mille donne 60 dB, dix mille donne 80 dB etc...). On peut donc ainsi sur une échelle de grande amplitude représenter de faibles variations et mettre en évidence les défauts ou caractéristiques particulières d'un filtre.

Un autre avantage de l'utilisation du décibel est de transformer les multiplications en additions. Dans le cas où plusieurs quadripôles sont placés en cascade, il suffit pour caractériser toute la chaîne d'ajouter les gains et phases (ces dernières étant exprimées en linéaire sur une échelle linéaire) de chacun. Ceci ne serait pas possible avec la simple utilisation d'une échelle logarithmique. On verra que cette propriété est très intéressante.

Les courbes ainsi obtenues sont appelées représentation de Bode

3. Différents types de filtres

Il est souvent nécessaire d'amputer un signal d'une partie de son spectre de fréquences. On le fait alors traverser des filtres dont les caractéristiques dépendent du résultat recherché. Nous allons passer en revue les courbes de gain idéales des différents filtres existant. Un filtre idéal laisse passer une certaine bande de fréquences et supprime toutes les autres.

3.1. Filtre passe-bas

0 dB (rd/s)

bande passante

bande supprim ée

Dans le cas réel la pente de la courbe lors de la coupure entre la bande de fréquences passantes et la bande de fréquences supprimées (atténuées dans la réalité) n'est pas aussi franche. On définit alors la bande passante du filtre comme la bande de fréquence subissant une atténuation inférieure à 3 dB par rapport au gain maximal.

3.2. Filtre passe-haut

0 dB (rd/s)

3.3. Filtre coupe-bande ou réjecteur de bande

0 dB (rd/s)

3.4. Filtre passe-bande

0 dB (rd/s)

4. Fonctions d'ordre 0 et 1

La coupure d'un filtre sera d'autant plus raide (et donc s'approchera du filtre idéal) que le degré de sa fonction de transfert en ω sera élevé. Nous allons nous intéresser ici aux fonctions les plus simples pouvant composer la fonction de transfert d'un filtre, celles d'ordre 0 et 1. Celles-ci peuvent être caractérisées par un simple diagramme asymptotique (représenté en traits mixtes sur les figures

suivantes) avec suffisamment de précision Les asymptotes des fonctions du premier ordre présentent aux valeurs limites une pente de +/- 20 dB par décades sur la courbe de gain et une phase de +/- π/2.

Celle d'ordre 0 (gain constant) a une pente et une phase nulle.

4.1. Gain constant

T = K

Cette fonction peut être obtenue par exemple par un simple amplificateur ou un pont diviseur.

20 ln K (dB) G

0 dB (rd/s)

(rd)

0 rd (rd/s)

Diagramme asymptotique et courbe réelle sont ici confondus.

4.2. Dénominateur premier ordre

j

= + 1

1 0

ω ω

Comme nous l'avons vu le circuit RC précédent présente cette fonction de transfert. La différence entre la courbe asymptotique et la courbe réelle est très faible. On peut remarquer que la bande passante de fréquence va du continu à ω

π⁰

2 (fréquence et pulsation sont lié par un rapport 2π). Cette dernière est appelée fréquence de coupure.

-20dB/dec.

(dB) G

0 dB (rd/s)

(rd)

0 rd (rd/s)

-3dB

4.3. Numérateur premier ordre

T= +1 j

0

ω ω

Cette fonction ayant l'ordre de son numérateur supérieur à celui du dénominateur, elle ne peut être réalisée électriquement sans faire certaines approximations restant valables uniquement dans une bande de fréquences. Cette expression peut cependant apparaître en facteur dans une fonction de transfert plus importante.

+20dB/dec.

(dB)G

0 dB (rd/s)

(rd)

0 rd (rd/s)

3dB

4.4. Intégrateur

T j

= 1

0

ω ω

+20dB/dec.

(dB)G

0 dB (rd/s)

(rd)

0 rd (rd/s)

On peut remarquer que le diagramme asymptotique et la pente sont confondus.

4.5. Dérivateur

T j= ω ω₀

La remarque du passe-haut reste valable aussi pour cette expression.

+20dB/dec.

(dB) G

0 dB (rd/s)

(rd)

0 rd (rd/s)

Les diagrammes asymptotiques et courbes réelles sont confondus.

4.6. Synthèse

La fonction de transfert d'un quadripôle peut plus généralement être constituée du produit et quotient des expressions précédentes. Les propriétés des décibels permettent alors de tracer le diagramme de Bode asymptotique de l'ensemble en ajoutant simplement pour chaque bande de fréquence la pente des asymptotes sans oublier de tenir compte d'un éventuel gain constant.

exemple 1 :

T K j j

= + + 1 1

1 0

ω ω

ω ω

-20dB/dec.

(dB) G

0 dB (rd/s)

(rd)

0 rd (rd/s)

20 ln K

exemple 2 :

T K

j j

= ω +

ω ω

0 (1 ω1)

20 ln K (dB) G

0 dB (rd/s)

(rd)

0 rd (rd/s)

On peut remarquer que le tracé du diagramme asymptotique donne à chaque fois une bonne idée de la courbe réelle. Si une plus grande précision est nécessaire il est possible de calculer quelques points.