NOM : ENONCE FEUILLE – REPONSE Respecter les consignes
On appelle f la fonction définie sur [0 ; 8], qui, à chaque x pris dans [0 ; 8] associe y tel que y = 24x
x +1. On note C la représentation graphique de f. La courbe C est contenue dans le dessin ci-dessous.
1) Dessiner en rouge la courbe C.
2) Ecrire l’image de 1/3 par la fonction f sous la forme d’une fraction
irréductible ou d’un nombre décimal.
3) Ecrire chaque antécédent de 1 avec la précision permise par le graphique.
4) a) Ecrire ci-dessous sous forme algébrique, le problème à résoudre pour trouver tous les antécédents de 0,5.
b) Au dos de cette feuille, prouver que 4 – √15 est une solution de 4)a).
Le repère est supposé orthonormé et son origine est appelée O. Un point P décrit la courbe C (c’est à dire : « P se déplace sur C »).
On note H le projeté orthogonal de P sur l’axe des abscisses, a l’aire du triangle OHP, et x l’abscisse de P.
5) Compéter le tableau ci-après : Valeurs autorisées
de x Coordonnées de P Coordonnées de H
6) On admet que l’aire du triangle OHP est fonction de x et que a = 2x2 2
x +1. Prouver que l’on peut aussi écrire a = 2 – 22 x +1 .
7) Faire ci-dessous un tableau de valeurs de la fonction qui à x associe a, de 0 à 8 avec un pas de 1. Les résultats seront écrits sous forme de fractions irréductibles.
Valeurs de x Valeurs de a
8) Représenter la fonction qui à x associe a sous la forme d’un programme de calculs à un rang, avec les seuls « processeurs » élémentaires vus en classe.
9) A l’aide du programme ci-dessus, trouver toutes les valeurs que l’on peut attribuer à x pour obtenir 3
2. Chaque résultat sera écrit sous forme « simplifiée » sans arrondi.
10) Au dos de cette feuille, en justifiant les calculs présentés, comparer les valeurs obtenues pour a quand on attribue à x deux valeurs α et β telles que 0 ≤ α < β ≤ 8.
Eléments pour un corrigé.
On appelle f la fonction définie sur [0 ; 8], qui, à chaque x pris dans [0 ; 8] associe y tel que y = 24x
x +1. On note C la représentation graphique de f. La courbe C est contenue dans le dessin ci-dessous.
1) Dessiner en rouge la courbe C.
2) Ecrire l’image de 1/3 par la fonction f sous la forme d’une fraction
irréductible ou d’un nombre décimal.
1,2
3) Ecrire chaque antécédent de 1 avec la précision permise par le graphique.
0,25 et 3,7 (par exemple) 4) a) Ecrire ci-dessous sous forme algébrique,
le problème à résoudre pour trouver tous les antécédents de 0,5.
x ∈ [0 ; 8], 4x2 1 2 x 1=
+
b) (Au dos de cette feuille) Prouver que 4 – √15 est une solution de 4)a).
4 – √15 ∈ [0 ; 8] (évident), et, par abus d’écritures (suite d’égalités)
( )
( ) ( )
( )
th.1 2
4 4 15 4 4 15
16 8 15 15 1
4 15 1
− −
= − + +
− +
( )
( )
th.24 4 15 th.31
8 4 15 2
= − =
−
4 – √15 vérifie donc l’équation de 4)a).
th.1 : pour tous a et b, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 th.2 : pour tous a, b et c, ab + ac = a(b + c)
th.3 : pour tout a, et pour tous b et c non nuls, ac a bc=b. Le repère est supposé orthonormé et son origine est appelée O. Un point P décrit la courbe C (c’est à dire : « P se déplace sur C »).
On note H le projeté orthogonal de P sur l’axe des abscisses, a l’aire du triangle OHP, et x l’abscisse de P.
5) Compéter le tableau ci-après : Valeurs autorisées
de x Toutes les valeurs
de [0 ; 8]. Coordonnées de P 2
2
x ; 2x x 1
+
Coordonnées de H (x ; 0)
6) On admet que l’aire du triangle OHP est fonction de x et que a = 2x2 2
x +1. Prouver que l’on peut aussi écrire a = 2 – 22 x +1 . Par exemple : pour tout x de [0 ; 8],
2 – 22 x +1
2 2
th.3 th.4
2 2 2
2x 2 2 2x
x 1 x 1 x 1
= + − =
+ + + = a.
Th.4 : pours tous a et b, et pour tout c non nul, a b a b
c c c
+ = + .
Remarque : on peut aussi partir de a et, par transformations d’écritures successives, prouver que a = 2 – 22
x +1 ; ou encore
« calculer » a – (2 – 22
x +1) et prouver que cette expression est nulle pour tout x.
7) Faire ci-dessous un tableau de valeurs de la fonction qui à x associe a, de 0 à 8 avec un pas de 1. Les résultats seront écrits sous forme de fractions irréductibles.
Valeurs de x
0 1 2 3 4 5 6 7 8 Valeurs
de a 0 1 8
5
9 5
32 17
25 13
72 37
49 25
128 35
8) Représenter la fonction qui à x associe a sous la forme d’un programme de calculs à un rang, avec les seuls « processeurs » élémentaires vus en classe.
( )2 ( )+1 ( )1 −2( ) 2+( )
→ → → → →
9) A l’aide du programme ci-dessus, trouver toutes les valeurs que l’on peut attribuer à x pour obtenir 3
2. Chaque résultat sera écrit sous forme « simplifiée » sans arrondi.
√3
(attention : -√3 ∉ [0 ; 8])
Eléments pour un corrigé.
10) (Au dos de cette feuille), en justifiant les calculs présentés, comparer les valeurs obtenues pour a quand on attribue à x deux valeurs α et β telles que 0 ≤ α < β ≤ 8.
On peut envisager au moins deux « méthodes » Méthode 1
On a :
0 ≤ α < β ≤ 8 ⇓ (th.5) 0 ≤ α2 < β2 ≤ 64 ⇓ (th.6)
1 ≤ α2 + 1 < β2 + 1 ≤ 65 ⇓ (th.7)
21 21 1> 1 α + β + ⇓ (th.8)
2 2
2 2
1 1
− −
α + <β + ⇓ (th.5)
2 2
2 2
2 2
1 1
− < −
α + β +
th.5 : si 0 ≤ a < b alors 0 ≤ a2 < b2
th.6 : si a < b alors a + c < b + c th.7 : si 0 < a < b alors 0 < 1/b < 1/a
th.8 : si a < b et c < 0 alors ac > bc
Méthode 2
On « calcule » 22 2 22 2
1 1
β − α
β + α + (c’est à dire qu’on transforme son écriture) dans le but d’en étudier son signe sachant que 0 ≤ α < β ≤ 8.
On a :
( ) ( )
( )( )
2 2 2 2
2 2 th.3et th.4
2 2 2 2
2 1 2 1
2 2
1 1 1 1
β α + − α β +
β − α =
β + α + β + α +
soit
( )( )
2 2 th.2 et th.9
2 2 2 2
2 2 2( )( )
1 1 1 1
β − α = β − α β + α β + α + β + α + .
Or 0 ≤ α < β ≤ 8 donc (par ex. : définition de >) β – α > 0 et (th.10) β + α > 0, de plus (α2 + 1)(β2 + 1) > 0 (évident)
donc (th.11)
2 2
2 2
2 2
1 1
β α
β + −α + > 0
donc (par ex. : définition de >) 22 2 22 2
1 1
β α
β + >α + .
th.9 : a2 – b2 = (a – b)(a + b)
th.10 : règle des signes pour l’addition th.11 : règle des signes pour la multiplication
