Problème A : équation et fonction de Bessel

PSI* — 2015/2016 Le 09/01/2016.

D.S. 4

Problème A : équation et fonction de Bessel

Dans ce problème,N désigne un élément deZet l’on étudie l’équation différentielle dite“de Bessel” : x²y^′′+xy^′+ x²−N² y= 0 (BN)

Partie I Soit JN l’application de R dansRdéfinie par : JN(x) = 1

π

π 0

cos (Nθ−xsinθ) dθ.

1) Comparer, pour tout réelx,J−N(x) etJN(−x). DéterminerJN(−x) en fonction deJN(x).

2) Montrer que JN est de classe C^∞ sur R. Donner les expressions deJ_N^′ (x)et J_N^′′ (x).

3) En utilisant les dérivées des fonctions θ →sin (Nθ−xsinθ) et θ → N +xcosθ, montrer que JN est solution de(BN) surR.

4) Calculer J0(0),J₀^′ (0),J₀^′′(0).

5) a)Montrer que, pour tout x réel non nul et pour toutN dansZ, JN−1(x) +JN+1(x) = 2N

x ·JN(x).

b)Donner, pour x∈R etN ∈Z, une relation entreJ_N^′ (x) etJN−1(x)−JN+1(x).

c)Montrer que, pour tout x∈R,J1(x) +J₀^′(x) = 0.

Partie II — Développement en série entière de JN

1) DévelopperJ0 en série entière. En donner le terme général et le rayon de convergence.

2) a)Montrer que, pour tout N ∈ N^∗, JN est également développable en série entière et en donner le rayon de convergence.

b)Montrer que le terme général de cette série entière peut se mettre sous la forme αN(k).x^N+2k, où k∈N. PréciserαN(k).

Problème B : algorithme de Le Verrier

1) Formules de Newton : soit P =X^p+a1X^p−1+· · ·+ap un polynôme unitaire deC[X],(λ1, . . . , λp)un système de racines de P, de sorte que : P =

p

k=1

(X−λk). On noteΛ = λk, k∈[[1, p]] l’ensemble des racines deP et l’on pose :

∀n∈N Sn=

p

k=1

λⁿ_k (S0 =p). a)Établir :

∀t∈R\Λ P^′(t) P(t) =

p

k=1

1 t−λk

.

b)Développer en série entière au voisinage de 0 la fonction f :x→ P^′(1/x) P(1/x). c)En déduire les formules de Newton :

∀n > p Sn+a1Sn−1+· · ·+apSn−p= 0

∀n ≤ p Sn+a1Sn−1+· · ·+an−1S1+nan= 0

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2) Algorithme de Le Verrier : soitA∈ M^p(C),χ_A son polynôme caractéristique. On note : χA(X) =X^p+a1X^p−1+· · ·+ap =X^p+

p−1

i=0

ap−iXⁱ =

p

k=1

(X−λk)

et l’on définit la famille de matrices (Ak)_1≤k≤p en posant :

A1 =A et ∀k∈[[1, p−1]] Ak+1=A× Ak− 1

kTrAk·Ip

où Ip désigne la matrice identité deM^p(C).

On rappelle que Aest trigonalisable et que, par conséquent, avec les notations du 1):

∀n∈N Sn= TrAⁿ. Montrer, par récurrence sur k, que

∀k∈[[1, p]] ak=−1

k·TrAk et Ak=A^k+

k−1 i=1

ak−iAⁱ. (On obtient ainsi un algorithme efficace pour calculer les coefficients de χ_A.)

Problème C : polynômes d’Hermite

On désigne par E l’ensemble des applications f continues de R dans R telles que la fonction t→[f(t)]²e^−t2 soit intégrable surR. On admettra que ^+∞

−∞

e^−t2dt=√π.

Première partie 1) Montrer que E contient les fonctions polynomiales.

2) Montrer que E est un R-espace vectoriel et que l’on définit un produit scalaire surE en posant :

∀(f, g)∈E² (f|g) =

+∞

−∞

f(t)g(t)e^−t2dt.

On notera · la norme associée.

Deuxième partie

1) Soitn∈Netφ_nl’endomorphisme deR[X]qui à tout polynômeP associeP^′′−2XP^′+2nP. Déterminer le degré de φ_n(X^k), pour k ∈N et en déduire que le noyau de φ_n est une droite vectorielle de R[X], engendrée par un polynôme de degrén.

On désigne parHn celui des polynômes de Kerφn dont le terme dominant est2ⁿXⁿ.

Calculer les coefficients de Hn ; préciser en particulier H0, H1, H2, H3 et montrer que Hn est de la même parité que n.

2) On définit l’application ψdeR dansRen posant : ∀t∈R ψ(t) =e^−t2. Établir une relation linéaire entre les dérivées d’ordren+ 2, n+ 1etndeψ.

3) Pourn∈N, vérifier que la fonctionyn:t→e^t2ψ⁽ⁿ⁾(t) est polynomiale et appartient àKerφ_n. En déduire que les polynômesHn définis dans le 1)sont donnés par :

∀t∈R Hn(t) = (−1)ⁿe^t2 dⁿ

dtⁿ e^−t2 .

4) Montrer que Hn,Hn+1 et Hn+2 sont liés par une relation linéaire que l’on déterminera.

5) Pourn∈N^∗ etP ∈R[X], établir : (Hn|P) = (Hn−1|P^′).

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6) Pour(n, p)∈N², tel quep≤n, calculer (Hn|X^p).

En déduire que la famille(Hn)n∈Nest orthogonale. Préciser la valeur de Hn 2. Troisième partie

Pourn∈Netf ∈E, on poseξ_n(f) = (Hn|f) =

+∞

−∞

Hn(t)f(t)e^−t2dt et αn(f) = ξ_n(f) Hn

. Soient n∈Netf ∈E fixés. Pour (x0,x1, . . . , xn)∈Rⁿ⁺¹ on pose : fn=

n

k=0

xkHk.

Calculer fn−f ² et montrer que cette quantité admet un minimum pour une famille(x0, x1, . . . , xn) que l’on précisera. Établir l’inégalité :

n

k=0

[αk(f)]²≤ f ²

et conclure quant à la convergence de la série de terme général[αk(f)]².

Problème D

Dans tout ce problème,n∈N^∗ ; si (p, q) ∈N² avecp≤q, on note [[p, q]] l’ensemble des k∈N tels que p≤k≤q. On désigne par :

• Mⁿ⁺¹(R) l’ensemble des matrices carrées d’ordren+ 1à coefficients dans R.

•On+1 l’ensemble des matrices orthogonales de Mn+1(R).

•Dn+1 l’ensemble des matrices diagonales de Mn+1(R).

SiM ∈ Mn+1(R), on note :

•M = µ_i,j avec(i, j)∈[[1, n+ 1]]², oùµ_i,j est l’élément de la i^e ligne et de la j^e colonne deM,

•fM l’endomorphisme deRⁿ⁺¹ dont la matrice dans la base canonique est M.

Étant donnés deux éléments de Rⁿ : a= (a1, . . . , an) etb= (b1, . . . , bn), on associe au couple (a, b) la matriceAn(a, b)∈ Mn+1(R) définie parAn(a, b) = (αi,j) avec

αi,j = 0 lorsque |i−j|= 1 αi+1,i=ai, αi,i+1=bi pour i∈[[1, n]] . Par exemple, pour n= 2,a= (a1, a2),b= (b1, b2),

A2(a, b) =





0 b1 0 a1 0 b2

0 a2 0



∈ M3(R).

Pourn∈N^∗ fixé, on note En l’ensemble des matrices An(a, b), pour(a, b)∈(Rⁿ)². On se propose d’étudier quelques propriétés des matrices An(a, b)et de l’ensemble Eⁿ.

Partie I — Étude de E¹

Soit E¹ l’ensemble des matricesA1=A1(a1, b1) = 0 b1

a1 0 , poura1∈Retb1 ∈R. 1) Soit G=A1(1,0),H=A1(0,1). Calculer G²,H²,GH,HG.

L’ensemble E1 est-il stable pour la multiplication ?

2) Expliciter l’ensemble E1∩O2 (c’est-à-dire l’ensemble des matrices deE1 qui sont orthogonales).

3) Montrer que toute matrice A = A1(a1, b1) peut s’écrire sous la forme A = U∆ avec U ∈ E1∩O2 et

∆∈D2 ; préciser le nombre de décompositions.

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4) On considère une matriceA=A1(a1, b1)∈ E1.

a)On supposea1b1 = 0. Justifier l’existence deA⁻¹ ; la matrice A⁻¹ appartient-elle à E1 ? b)La matrice Aest-elle diagonalisable dans M2(R) lorsque a1b1 <0 ? Et lorsquea1b1 >0 ?

c)On suppose que a1b1 = 0. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur a1 et b1 pour que la matrice Asoit diagonalisable dans M2(R).

5) On considère deux matrices deE1 : K = 0 y

x 0 ,L= 0 t

z 0 avec(x, y, z, t)∈R⁴. a)Les deux matricesK etL sont-elles semblables dansM2(R)lorsque xy=zt?

b)On suppose que xy =zt= 0. Les deux matricesK etLsont-elles semblables dans M²(R) ?

Partie II — Étude de Eⁿ

Pour n∈N^∗, soit a= (a1, . . . , an) et b= (b1, . . . , bn) dans Rⁿ ; pour simplifier, on notera dn(a, b) ou dnle déterminant de la matrice A=An(a, b).

1) Calcul de dn

a)Calculerd2. Pour n≥3, exprimerdn en fonction dean,bn et dn−2. b)Quelle est la valeur ded2p pourp∈N^∗ ?

Calculerd2p+1 pour p∈N, en fonction des ai et desbi, i∈[[1,2p+ 1]].

2) Liens entre Eⁿ,On+1 etDn+1

a)On suppose qu’il existe une matrice U ∈ Eⁿ∩On+1.

Soit ∆∈Dn+1, on poseA=U∆; vérifier que A∈ Eⁿ et que ^tAA∈Dn+1. b)Soit A∈ E^2p ; existe-t-il U ∈ E^2p∩O2p+1 et∆∈D2p+1 telles que A=U∆?

c)Pourn= 3, on considère la matrice A=A3(a, b)∈ E³ aveca= (1,3,5)etb= (2,4,6).

Existe-t-il U ∈ E3∩O4 et∆∈D4 telles queA=U∆? d)On suppose que n= 2p+ 1.

(i)Si A=A2p+1(a, b)∈ E2p+1∩O2p+2, quelles sont les valeurs possibles dea1, b1, a2, b2 ? (ii)Préciser l’ensemble E2p+1∩O2p+2 et son cardinal.

(iii)Soit A∈ E^2p+1 telle que^tAA∈D2p+2 etdetA= 0.

Montrer qu’il existeU ∈ E2p+1∩O2p+2 et∆∈D2p+2 telles que A=U∆.