PSI* — 2020/2021 Le 09/01/2021.
D.S. 4
(4 heures)Problème A : transformation de Fourier
Notations
On désigne parAleC-espace vectoriel des applications deRdansC, parI le sous-espace des fonctions continues et intégrables sur R (c’est-à-dire telles que
+∞
−∞ |f(t)|dt existe, |f(t)|désignant le module def(t)). On considère l’application linéaire F deI dans Adéfinie par :
f −→F f où f(x) =
+∞
−∞
e−ixtf(t) dt pour toutx deR. La fonction f est appeléetransformée de Fourier de la fonction f.
I — Généralités Dans cette question,f désigne une fonction appartenant à I. 1) Justifier la définition de la fonctionf.
2) On suppose que la fonction f est à valeurs réelles. Montrer que sif est une fonction paire, alorsf est une fonction paire et à valeurs réelles. Que peut-on dire def si la fonction f est impaire ?
II — Transformée de Fourier de H0
Dans cette partie, on désigne par H0 la fonction définie surRparH0(t) =e−t2/2 et l’on se propose de déterminer la transformée de Fourier de H0 . Pour cela, on fixe xdans R.
1) On rappelle que
+∞ 0
e−u2du=
√π
2 . En déduire queH0 est intégrable surRet calculer
+∞
−∞ H0(t) dt.
2) On définit surRla suite de fonctions (gn)par :
gn(t) =t2ne−t2/2 pour toutn∈N.
a)Montrer que, pour tout nappartenant à N, la fonctiongn appartient à I. b)On considère l’intégrale In=
+∞ 0
gn(t) dt, pourn∈N.
Établir une relation de récurrence entre In+1 etIn. En déduire une expression simple de In (2n)!. 3) Montrer la convergence de la série
n≥0
(−1)n x2n
2n·n! et préciser la valeur de sa somme.
4) Vérifier que la fonction définie surRpar t→e−t2/2cos (xt) est intégrable sur R. 5) Justifier avec soin l’égalité :
H0(x) = 2
+∞ n=0
(−1)n x2n (2n)!
+∞ 0
t2ne−t2/2dt.
6) Déduire de ce qui précède l’existence d’un nombre réel λ0, que l’on explicitera, tel queH0=λ0H0.
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Problème B : autour de la fonction
Γ 1) Justifier la définition, pourx∈]0,+∞[, de Γ (x) =+∞ 0
tx−1e−tdt.
2) Formule de Gauss
a)Soit x∈]0,+∞[. À l’aide de la suite de fonctions (fn) définie par
∀n∈N∗ ∀t∈R+∗ fn(t) =
1− t n
n
tx−1 si t∈]0, n]
0 si t > n ,
établir : Γ (x) = lim
n→∞
n 0
1− t n
n
tx−1dt.
b)Grâce à des intégrations par parties, en déduire :
∀x∈]0,+∞[ Γ (x) = lim
n→∞
nx·n!
x(x+ 1). . .(x+n).
3) Formule de Weierstrass On rappelle que la suite
n k=1
1 k −lnn
n≥1
converge dansR. Sa limite est notéeγ(constante d’Euler).
Établir : ∀x∈]0,+∞[ 1
Γ (x) =xeγx lim
n→∞
n
k=1
1 +x k e−
x k .
4) Dérivée logarithmique de Γ : on noteΨ = ln◦Γ :x→ln Γ (x).
a)Montrer que : ∀x∈]0,+∞[ Ψ (x) =−lnx−γx+
∞ n=1
x
n−ln 1 + x
n .
b)En étudiant la série de fonctions
n≥1
un définie par
∀n∈N∗ ∀x∈R+∗ un(x) = x
n−ln 1 + x n , montrer que Ψest de classeC1 sur R+∗ et que
∀x∈R+∗ Ψ′(x) =−1
x −γ+x
∞ n=1
1 n(x+n). En déduire la valeur de Ψ′(1).
c)Montrer que Ψ′ est croissante sur R+∗ (on dit queΓest logarithmiquement convexe).
5) Généralisation de la formule de Stirling
a)À l’aide d’un changement de variable, établir
∀x∈R+∗ Γ (x+ 1) = x e
x√ x
R
f(x, t) dt où f(x, t) =
0 si t≤ −√x
1 + t
√x
x
e−t√x si t >−√x . b)En étudiant, pour x∈[1,+∞[fixé, les variations sur R+ de la fonction
g:t→ln (1 +t)−t−xln 1 + t
√x +t√ x,
montrer que : ∀x∈[1,+∞[ ∀t∈[0,+∞[ 0≤f(x, t)≤(1 +t)e−t.
c)En étudiant, pour x ∈ [1,+∞[fixé, les variations de la fonction h:u → −ln (1 +u) +u−u2 2 sur ]−1,0], montrer que : ∀x∈[1,+∞[ ∀t∈]−√
x,0] 0≤f(x, t)≤e−t2/2.
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d)En déduire que, pour toute suite (xn) de réels appartenant à [1,+∞[, de limite+∞, on a
nlim→∞ R
f(xn, t) dt=
R
e−t2/2dt.
e)On rappelle que :
R
e−u2du=√π. Montrer que :
Γ (x+ 1)x ∼
→+∞
√2πx x e
x
.
Problème C : recherche de plans stables
Le but du problème est la recherche des plans stables par un endomorphisme, en relation avec la notion de produit vectoriel.
Dans tout le problème, E désigne l’espace vectoriel euclidien orienté R3, muni du produit scalaire canonique, etB= (e1, e2, e3) la base canonique, orthonormale directe.
On désigne par ∧le produit vectoriel dansE.
Siu∈ L(E), on définitu, endomorphisme deE, par sa restriction àB:
u(e1) =u(e2)∧u(e3) ; u(e2) =u(e3)∧u(e1) ; u(e3) =u(e1)∧u(e2).
1) Dans cette question, on considère les endomorphismesu1,u2 deE, de matrices respectivesU1,U2 dans la base B :
U1 =
0 0 −1 1 0 −3 0 1 −3
; U2 =
0 1 1 0 1 −1 0 1 1
.
Déterminer U1 etU2, matrices respectives dans la baseB de u1 etu2. 2) Soit u∈ L(E). Montrer que : ∀(a, b)∈E2 u(a∧b) =u(a)∧u(b).
Montrer que, si v∈ L(E) vérifie : ∀(a, b)∈E2 v(a∧b) =u(a)∧u(b), alors v=u.
3) Déterminer IdE.
Siu etv sont dans L(E), montrer queu◦v=u◦v.
Siu est inversible, en conclure que uest inversible et en exprimer l’inverse.
4) Préciser le rang de u selon la valeur de celui deu. On pourra calculer le produit tU ×U, où U (resp.
U) désigne la matrice de u (resp. de u) dans la base B.
5) L’application de L(E) dans lui-même qui àu associe uest-elle linéaire ? injective ? surjective ? 6) Soit u∈ L(E) etP = Vect (a, b) un plan stable paru.
Montrer que a∧b est vecteur propre de u ; exprimer la valeur propre associée à a∧b à l’aide de l’endomorphismev induit par u surP.
7) Inversement, soit cun vecteur propre de norme 1 de u.
Montrer qu’il existe(a, b)famille orthonormale de E telle quea∧b=c.
Si la valeur propre associée àc est non nulle, montrer queP = Vect (a, b)est un plan stable paru. On pourra remarquer que(a, b, c)est une base orthonormale directe deE et effectuer des calculs dans cette base.
8) Soit u∈ L(E). Montrer que 0 est valeur propre de u si et seulement si 0 est valeur propre de u.
Montrer que, pour tout réel λ, les plans stables par u sont les plans stables paru−λ.IdE.
En déduire un moyen pour obtenir les plans stables par u ∈ L(E) n’ayant pas 0 pour valeur propre, puis paru quelconque dans L(E).
9) Appliquer cette méthode à la recherche des plans stables par l’endomorphisme u1 (resp. u2) de R3 défini à la question1).
