Équations différentielles linéaires

Équations différentielles linéaires

Exercice 1. Équations linéaires d’ordre 1 Intégrer les équations suivantes :

1) (2 +x)y⁰= 2−y. 2) xy⁰+y= cosx.

3) (1 +x)y⁰+y= (1 +x) sinx. 4) x³y⁰−x²y= 1.

5) 3xy⁰−4y=x. 6) y⁰+y= sinx+ 3 sin 2x.

7) 2x(1−x)y⁰+ (1−2x)y= 1. 8) x(x+ 1)y⁰+y= arctanx.

9) x(x²−1)y⁰+ 2y=xlnx−x².

Exercice 2. Équations d’ordre 2 à coefficients constants Intégrer :

1) y⁰⁰−2y⁰+ 2y=xe^x. 2) y⁰⁰−4y⁰+ 4y= 2(x−2)e^x. 3) y⁰⁰−4y⁰+ 13y= 10 cos 2x+ 25 sin 2x. 4) y⁰⁰+y= cotanx.

5) y⁰⁰+ 3y⁰+ 2y= x−1

x² e^−x. 6) y⁰⁰+y=P(x) oùP est un polynôme.

7) y⁰²+y²= 1 (dériver).

Exercice 3. Équations d’ordre 2 à coefficients non constants Intégrer les équations suivantes :

1) y⁰⁰−y⁰−e^2xy=e^3x(poser u=e^x).

2) y⁰⁰−

6x+ 1 x

y⁰+ 8x²y=x⁴(poser u=x²).

3) x(1−2 lnx)y⁰⁰+ (1 + 2 lnx)y⁰−4

xy= 0 (chercher une solution de la formey=x^α).

4) x²y⁰⁰−2xy⁰+ 2y= 2 + 2x³sinx(poseru= lnx).

5) x(x+ 1)y⁰⁰−y⁰−2y= 3x² (chercher une solution de l’équation homogène de la formey=x^α).

6) x²y⁰⁰+ 4xy⁰+ (2−x²)y= 1

posery= u x²

.

7) (x²+ 3)y⁰⁰+xy⁰−y= 1 (chercher les solutions polynomiales).

8) xy⁰⁰−2y⁰−xy= 0 (dériver deux fois).

Exercice 4. Résolution par DSE

Chercher les solutions développables en série entière des équations suivantes et résoudre complètement ces équations.

1) 4xy⁰⁰−2y⁰+ 9x²y= 0. 2) xy⁰⁰+ 2y⁰−xy= 0.

3) 4xy⁰⁰+ 2y⁰−y= 0. 4) y⁰⁰+xy⁰+ 3y= 0.

5) x²y⁰⁰+ 6xy⁰+ (6−x²)y=−1. 6) x(x−1)y⁰⁰+ 3xy⁰+y= 0.

Exercice 5. y⁽⁴⁾+y⁰⁰+y=|sinx|

Montrer que l’équation : y⁽⁴⁾+y⁰⁰+y=|sinx|admet une et une seule solutionπ-périodique.

Exercice 6. y⁰⁰+k²y=P∞

n=1cosnx n² Soitk∈R. Résoudrey⁰⁰+k²y=P∞

n=1cosnx n² . Exercice 7. y⁰=|x−y|

Résoudre l’équation : y⁰ =|x−y|. Étudier les problèmes de raccordement.

Exercice 8. y⁰⁰+|y|= 1

Résoudre l’équation y⁰⁰+|y|= 1, avecy(0) = 0,y⁰(0) = 1.

Exercice 9. Mines MP 2000

Exercice 10. Mines MP 2000 SoitE=C(R⁺,R),b∈Reta >0.

1) Montrer que, pour toutf ∈E, il existe un uniqueg deC¹(R⁺,R) tel queg⁰+ag=f etg(0) =b.

2) Montrer que sif est intégrable surR⁺,gl’est également. Relation entreR+∞

t=0 f(t) dtetR+∞

t=0 g(t) dt.

Exercice 11. SolutionL², X 2013

Soita∈R^∗+. Soitf : R→R, continue,L². On considère l’équation différentielley⁰−ay=f(t). Montrer qu’il existe une unique fonctiony : R→Rvérifiant cette équation et qui estL².

Exercice 12. Systèmes différentiels à coefficients constants x, y, z sont des fonctions det. Résoudre les systèmes :

1)







x⁰ = 2y+ 2z y⁰=−x+ 2y+ 2z z⁰ =−x+y+ 3z.

2)

y⁰+y=z

z⁰+ 2z=y−1. 3)

y⁰=y+z+ sint z⁰ =−y+ 3z.

4)







x⁰ =x+y−z y⁰= 2x+y−2z z⁰ =−2x+ 2y+z.

5)







x⁰= 2x+y+z y⁰ =x−y−z z⁰=−x+ 2y+ 2z.

6)







x⁰ = 2x+z+ sht y⁰=x−y−z+ cht z⁰ =−x+ 2y+ 2z−cht.

Exercice 13. Système différentiel à coefficients non constants Résoudre le système différentiel suivant :

(t²+ 1)x⁰ =tx+y+ 2t²−1 (t²+ 1)y⁰=x−ty+ 3t.

Exercice 14. Lemme des noyaux, Matexo

Soit (p, q)∈R² et (E) l’équation : y⁰⁰+py⁰+qy= 0. On noteS l’ensemble des solutions de (E) etD l’application de S dansS définie parD(f) =f⁰.

1) Dpeut elle être une homothétie ?

2) Déterminer les valeurs depetqpour lequellesD n’est pas un isomorphisme deS.

3) Vérifiez queD◦D+pD+qidS= 0 et montrer qu’il existe des nombres complexes r₁ etr₂ tels que : (D−r₁id_S)◦(D−r₂id_S) = 0.

4) Les applicationsD−r₁id_S,D−r₂id_S peuvent-elles être inversibles ? Exercice 15. y⁰⁰+xy⁰+y= 0, Matexo

On désigne par y la solution de l’équation différentielle y⁰⁰+xy⁰+y= 0, avec les conditions de Cauchy y(0) = 0,y⁰(0) = 1.

1) Montrer que les dérivées dey vérifienty⁽ⁿ⁾+x y⁽ⁿ⁻¹⁾+ (n−1)y⁽ⁿ⁻²⁾= 0, ∀n>2.

2) Calculer par récurrence les dérivées successives dey en zéro.

3) Montrer queyadmet le développement limité à l’origine (x→0):

y(x) =x−2x³ 3! +8x⁵

5! +. . .+(−2)^kk!x^2k+1

(2k+ 1)! +o(x^2k+2).

Exercice 16. f⁰⁰(x) +f(−x) =xcosx

Trouver les fonctions f :R→Rde classeC² telles que : ∀x∈R,f⁰⁰(x) +f(−x) =xcosx.

Exercice 17. y⁰⁰+ 2y⁰

thx+y= 0

On considère l’équation différentielle : (∗)⇔y⁰⁰+ 2y⁰

thx+y= 0.

1) On posez(x) =y⁰(x) +y(x)

thx. Écrire l’équation différentielle (d’ordre 1) surzdéduite de (∗).

2) Résoudre sur ]− ∞,0[ et ]0,+∞[ l’équation enz, puis (∗).

3) Parmi les solutions trouvées, quelles sont celles prolongeables en 0 ? On notey0 la solution de (∗) telle quey0(x) −→

x→0−1.

4) Démontrer quey0est de classeC¹ et que y₀⁰(x)

thx admet une limite finie en 0.

En déduire quey₀ est de classeC²surR.

5) Est-ce que l’aire comprise entre la courbe dey0et l’axe des abscisses est finie ? Exercice 18. y⁰⁰+ 2xy⁰+ (x²−1)y= 0

SoitE=C^∞(R,C) etΦ:

E −→ E

f 7−→ g:t7→f⁰(t) +tf(t).

1) Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres deΦ.

2) Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres deΦ². 3) Résoudre l’équation : y⁰⁰+ 2xy⁰+ (x²−1)y= 0.

Exercice 19. x²f⁰⁰(x) +xf⁰(x) =λf(x)

Déterminer les éléments propres des endomorphismes suivants : 1) E=R[X],Φ(P)(X) =X²P⁰⁰(X) +XP⁰(X).

2) E=C^∞(]0,+∞[,R),Φ(f)(x) =x²f⁰⁰(x) +xf⁰(x).

3) E=C^∞(]0,1[,R)Φ(f)(x) =

r1−x x f⁰(x).

Exercice 20. AP⁰−nA⁰P =λP

Soit Aun polynôme à coefficients réels de degré 2 donné. Au polynôme P de degré inférieur ou égal à 2non fait correspondre le polynômeQ=AP⁰−nA⁰P.

1) Montrer qu’on définit ainsi un endomorphismeΦdeR2n[X].

2) Chercher les valeurs propres et les vecteurs propres deΦdans les cas particuliers : a)A=X²−1, b) A=X², c) A=X²+ 1.

Exercice 21. Équation intégrale

Trouver les applicationsg:R⁺→R⁺ continues vérifiant pour toutx >0 : 1

2 Z x

t=0

g²(t)dt= 1 x

Z x t=0

g(t) dt 2

.

Exercice 22. Inéquations différentielles

Soient a, b:R→Rcontinues, ety, z solutions de







y(0) =z(0) y⁰=a(t)y+b(t) z⁰6a(t)z+b(t).

Démontrer que : ∀t>0, on ay(t)>z(t).

Exercice 23. Tangentes parallèles ou concourantes

Soit l’équation (∗)⇔y⁰ =a(x)y+b(x) etx0un réel fixé. Montrer que les tangentes aux courbes intégrales au point d’abscissex0 sont parallèles ou concourantes.

Exercice 24. y⁰+ay=fct périodique

Soitλ∈Cetϕ:R→C,T-périodique, continue. On considère l’équation : (∗)⇔y⁰+λy=ϕ(x).

1) Montrer que siyest solution de (∗), alorsx7→y(x+T) est aussi solution.

2) En déduire quey, solution de (∗), estT-périodique si et seulement siy(0) =y(T).

3) Montrer que, sauf pour des valeurs exceptionnelles deλ, l’équation (∗) admet une et une seule solution T-périodique.

Exercice 25. Coefficients périodiques

Soit l’équation (∗)⇔y⁰+a(x)y=b(x) oùa, bsont des fonctions continues,T-périodiques.

1) Montrer que siyest solution de (∗), alors la fonction définie parz(x) =y(x+T) est aussi solution.

2) En déduire que siRT

t=0a(t) dt6= 0, alors (∗) admet une unique solutionT-périodique.

Exercice 26. Équation intégrale

SoitE={fcts : [0,1]→Rcontinues}etΦ:

E −→ E

f 7−→ g avecg(x) =R1

t=0inf(t, x)f(t) dt.

Chercher les valeurs propres et les fonctions propres deΦ.

Exercice 27. Matexo

Soitk∈R^∗ fixé. On considère : E={f ∈ C²([0,1],R) tq f(0) = 0 etf(1) = 3}.

Déterminer inf

f∈E

Z 1 t=0

(f⁰(t) +kf(t))²dt. Indication : poserf⁰+kf=get calculer f(1) en fonction deg.

Exercice 28. Ulm-Lyon-Cachan MP^∗ 2000

Soient u, v, wtrois applications bornées et de classe C¹ surR, à valeurs dansR³, vérifiant : u⁰+v⁰ =w;

w⁰ =−v;R∞

0 ku⁰k²<+∞. On suppose qu’il existe une suite de terme généraltn tendant vers +∞telle queu(tn) tend versa∈R³.

1) Montrer que la suite de terme généralu_n = 1 2π

Rt_n+2π

t=tn u(t) dttend versa.

2) Montrer que les suites de termes générauxv_n= 1 2π

Rt_n+2π

t=tn v(t) dtet w_n= 1 2π

Rt_n+2π

t=tn w(t) dt tendent vers 0.

Exercice 29. Centrale MP 2001

Soitf continue et intégrable surR. On considère l’équation différentielle (E) : y⁰−y+f = 0.

1) Montrer que (E) admet une unique solutionF bornée surR. 2) Montrer queF est intégrable surRet comparerR+∞

−∞ F etR+∞

−∞ f. Exercice 30. Centrale MP 2001

Trouver les fonctions f, gcontinues vérifiant : Rx

t=0f(t) dt=x−1 +g(x) etRx

t=0g(t) dt=x−1 +f(x).

Exercice 31. Polytechnique PC 2002

Soit l’équation différentielle : (E)⇔u⁰⁰(x) + (k−2dcos(x))u(x) = 0.

1) Existence et domaine de définition des solutions maximalesA etB telles queA(0) = 1, A⁰(0) = 0 et B(0) = 0,B⁰(0) = 1.

2) Montrer queAest paire etB est impaire.

3) Montrer queA(k, d, x) =A(k,0, x) + 2dRx

t=0B(d,0, x−t)A(k, d, x) cos(t) dt.

Exercice 32. f 7→f+f⁰ (Mines MP 2003)

SoitE l’ensemble des fonctionsf :R→Rde classeC^∞telle que pour toutk∈N,f^(k)est bornée.

Soitu:

E −→ E f 7−→ f +f⁰. 1) Montrer queu∈ L(E).

2) Est-ce queuest injectif ? 3) Est-ce queuest surjectif ?

Exercice 33. Centrale MP 2004

On considère l’équation différentielle : −y⁰⁰+ y

p² =f oùp∈N^∗ et f est une fonction continue donnée.

1) Donner les solutions de cette équation. Montrer quex7→ −Rx

t=0pf(t) shx−t p

dt est solution.

2) Montrer qu’il existe une unique solution telle quey(0) =y(1) = 0. On la noteup. 3) Montrer que (up) converge simplement vers une fonction que l’on déterminera.

Exercice 34. Centrale MP 2004 Soitλ∈Ret (E)⇔ d²u(x)

dx² + (1−λ)x²u(x) = 0.

1) Montrer que les solutions de (E) sont de la formeH(x)e^−x2/2 oùH est une fonction développable en série entière.

2) Déterminer les valeurs deλtelles queH soit une fonction polynomiale non nulle.

Exercice 35. Lemme de Gronwall (X MP^∗ 2003)

Soient f, gdeux fonctions continues eta∈Rvérifiant : ∀t>0,g(t)>0 etf(t)6a+Rt

u=0f(u)g(u) du.

Montrer : ∀t>0, f(t)6aexp Rt

u=0g(u) du . Exercice 36. y⁰⁰+y>0

Soitf :R→Rde classeC²telle que : ∀x∈R,f(x) +f⁰⁰(x)>0.

Montrer que : ∀x∈R, f(x) +f(x+π)>0.

Exercice 37. f⁰⁰+f⁰+f →0

Soitf :R→Rde classeC²telle quef⁰⁰(t) +f⁰(t) +f(t) −→

t→+∞0. Démontrer quef(t)−→

t→∞0.

Exercice 38. f⁰⁰>f+ 2/ch(x)³, Centrale PC 1997

Soit f de classe C² de R dans Rtelle que f(0) =f⁰(0) = 0 et pour tout x : f⁰⁰(x) > f(x) + 2 ch(x)³. Montrer pour toutx: f(x)>sh(x)²

ch(x). Exercice 39. y⁰+ay=b,y(−∞) = 0

Soita, b:R→Rcontinues telles que : ∀x∈R,a(x)>1 etb(x) −→

x→+∞0.

1) Montrer que toute solution de l’équation : y⁰+ay=b tend vers 0 en +∞.

2) On supposeb(x) −→

x→−∞0. Montrer qu’il y a une unique solutiony qui tend vers 0 en−∞.

Exercice 40. y⁰⁰+ay= 0, a >0⇒y s’annule Soita:R→R^+∗ une fonction continue.

1) Soity une solution de l’équationy⁰⁰+a(x)y= 0. Montrer quey s’annule au moins une fois surR. 2) Soitz une solution de l’équationz⁰⁰−a(x)z = 0. Montrer quez= 0 ou bien zs’annule au plus une

fois surR.

Exercice 41. y⁰⁰+ay= 0avecacroissante positive⇒y est bornée

Soita:R→Rune fonction de classeC¹ croissante strictement positive ety une solution de l’équation : y⁰⁰+a(t)y= 0. Montrer quey est bornée au voisinage de +∞(on étudieraz=y²+y⁰²/a).

Exercice 42. y⁰⁰+ay= 0, aintégrable

Soita:R⁺→Rcontinue intégrable. Montrer l’équationy⁰⁰+a(t)y= 0 admet des solutions non bornées sur [0,+∞[ (on commencera par prouver que siy1, y2 sont deux solutions alors le déterminant wronskien dey1et y2 est constant).

Exercice 43. Zéros entrelacés (Centrale MP 2003)

Soientretqdeux fonctions continues définies surI= [a, b] telles que : ∀x∈I,r(x)>q(x). On considère les équations différentielles : (E₁)⇔y⁰⁰+qy= 0, et (E₂)⇔z⁰⁰+rz= 0.

1) Soit y une solution de (E₁) etx₀, x₁ deux zéros consécutifs de y. y⁰(x₀) et y⁰(x₁) peuvent-ils être nuls ? Que dire de leurs signes ?

2) Soitz une solution de (E2). On considèreW(x) =

y(x) z(x) y⁰(x) z⁰(x)

. CalculerW⁰(x) etW(x1)−W(x0).

3) Montrer queza un zéro dans ]x₀, x₁[ ouz(x₀) =z(x₁) = 0.

4) Soituune solution de (E₁). Montrer queuest soit proportionnelle ày, soit admet un unique zéro dans ]x₀, x₁[.

Exercice 44. Zéros des solutions dey⁰⁰+ay⁰+by= 0

On considère l’équation (∗)⇔y⁰⁰+a(t)y⁰+b(t)y= 0, aveca, bcontinues.

1) Soity une solution non nulle de (∗). Montrer que les zéros dey sont isolés.

2) Soienty, z deux solutions de (∗) non proportionelles.

a) Montrer quey etz n’ont pas de zéros commun.

b) Montrer que siu, vsont deux zéros consécutifs dey, alorszpossède un unique zéro dans l’intervalle ]u, v[ (étudierz/y).

Exercice 45. y⁰⁰+

1 + λ t²

y= 0 Soit λ >0 et y une solution de y⁰⁰+

1 + λ

t²

y = 0. Montrer que pour tout a∈R, y a un zéro dans l’intervalle ]a, a+π[ (étudierz=y⁰ϕ−yϕ⁰ oùϕ(t) = sin(t−a)).

Exercice 46. y⁰⁰+e^ty= 0

Soity:R→Rune solution non identiquement nulle de y⁰⁰+e^ty= 0.

1) Montrer que l’ensemble des zéros dey est infini dénombrable.

2) On notea_n lenème zéro positif dey.

En utilisant les fonctions ϕ(t) = sin

e^an/2(t−an)

et ψ(t) = sin

e^an+1/2(t−an)

, montrer que π

e^an+1/2 6a_n+1−a_n6 π e^an/2.

3) Donner un équivalent dean quandn→ ∞.

Exercice 47. Conditions aux limites

Soient f, g : [a, b] → R continues avec f positive. Montrer qu’il existe une unique solution pour le problème aux limites : y⁰⁰=f(t)y+g(t),y(a) =y(b) = 0.

Exercice 48. Comparaison de solutions

Soient p, q:R→Rcontinues avec : ∀x∈R,q(x)<0. Soienty, z:R→Rde classeC² vérifiant : ∀x∈R, y⁰⁰+p(x)y⁰+q(x)y6z⁰⁰+p(x)z⁰+q(x)z

y(a)6z(a), y⁰(a)< z⁰(a).

Montrer que : ∀x > a,y(x)< z(x).

Exercice 49. Système différentiel à coefficients positifs SoitA:

R⁺ −→ M_n(R)

t 7−→ (a_ij(t)) continue avec : ∀t>0, ∀i, j, aij(t)>0 et X une solution du système différentiel X⁰(t) =A(t)X(t). Montrer que si toutes les coordonnées deX(0) sont positives ou nulles il en est de même pourX(t) pour toutt (commencer par le cas strictement positif).

Exercice 50. R+∞

0 sint/tdt Soitf(x) =R+∞

t=0

e^−xt 1 +t²dt.

1) Déterminer le domaine de définition def et prouver quef est continue.

2) Justifier : ∀x >0,f(x) +f⁰⁰(x) = 1/x.

3) Résoudre l’équation précédente par la méthode de variation des deux constantes.

On introduira : C(x) =R+∞

t=x

cost

t dt etS(x) =R+∞

t=x

sint t dt 4) En déduire : ∀x >0,f(x) =R+∞

t=0

sint t+xdt.

5) En déduire : R+∞

t=0

sint t dt= π

2.

Exercice 51. Intégrale fonction d’un paramètre On posef(x) =R+∞

t=0 e^−te^itx√dt

t. Former une équation différentielle satisfaite parf. En déduire f. Exercice 52. Ulm MP^∗ 2000

SoitI= [a, b]⊂R. On suppose que la fonction∆est strictement positive surI.

On poseE={f ∈ C²(I) tq f(a) =f(b) = 0}. On considère enfin l’opérateurK:f 7→ f⁰⁰

∆. 1) Montrer que Sp(K)⊂]− ∞,0[.

2) Trouver un produit scalaire ( | ) pour lequel deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

3) On suppose queI=R⁺ et que∆(x)>1 pourx>2. Soitλ <0.

a) Montrer qu’il existe une uniquefλ∈ C¹(R⁺,R) tellef_λ⁰⁰=λ∆fλ,fλ(0) = 0,f_λ⁰(0) = 1.

b) Montrer fλ a une infinité dénombrable de zéros (x0 < x1 < . . . < xn < . . .) et que la suite (xn) tend vers +∞.

Exercice 53. Centrale MP 2001

1) Soitf de classeC¹ de [0, π] dans Rtelle que f(0) =f(π) = 0. Montrer queRπ

0 f²6Rπ 0 f⁰². Indication : prolongerf en une fonction impaire 2π-périodique.

2) Soit une fonctionqde classe C¹ sur [0, π], à valeurs dans ]− ∞,1[. Montrer que l’unique fonctionx de classeC² s’annulant en 0 et en π et vérifiant l’équation différentielle x⁰⁰(t) +q(t)x(t) = 0 est la fonction nulle.

3) Soit f une fonction de classe C¹ sur [0, π] et deux réels a, b fixés. Montrer qu’il existe une unique solutionxde classeC² vérifiantx(0) =a,x(π) =bet x⁰⁰(t) +q(t)x(t) =f(t).

Exercice 54. X MP^∗2000

On considère l’équation différentielle à coefficients continus sur R : x⁰⁰+p(t)x⁰ +q(t)x = 0. Trouver une condtion nécessaire portant sur p et q pour qu’il existe deux solutions sur R dont le produit vaut constamment un.

Exercice 55. X MP^∗2000

SoitA coninue deMn(R) dans lui-même. On suppose que les aij(t) restent positifs quand tdécrit R⁺, et l’on se donne un vecteurX0dont toutes les composantes sont positives. Montrer qu’en désignant par X(t) la valeur entdu systèmeY⁰=AY valantX₀ent= 0, on a pour toutt>0 et pour toutil’inégalité x_i(t)>0.

Exercice 56. ENS MP 2002

Soit une application Ade classe C^∞ surRà valeurs dansM_n(C), telle que les valeurs propres de A(0) aient toutes une partie réelle strictement positive. SoitF de classeC^∞surR, à valeurs dansCⁿ. Montrer qu’il existeX de classeC^∞surR, à valeurs dansCⁿ, solution detX⁰(t) +A(t)X(t) =F(t).

Indication : commencer par le casn= 1,Aconstante.

Exercice 57. X MP^∗2003

1) Soientf, g:R→Rcontinues et k >0,t0∈Rtels que : ∀t>t0, f(t)6g(t) +kRt

u=t₀f(u) du.

Montrer que : ∀t>t0, f(t)6g(t) +kRt

u=t₀e^k(t−u)g(u) du.

2) SoientA, B :R→ Mn(R) continues, T > t₀, K >0 et η >0 tels que : ∀t∈[t₀, T], A(t) 6K et A(t)−B(t) 6η.

On noteM0 (resp. N0) la solution du problème de Cauchy : M(t0) =I, M⁰(t) =A(t)M(t) (resp.

N(t0) =I, N⁰(t) =B(t)N(t)). Montrer que : ∀t∈[t0, T], M0(t)−N0(t) 6e^K(t−t0)(e^η(t−t0)−1).

3) On noteX0 (resp. Y0) la solution du problème de Cauchy dansRⁿ : X(t0) = α, X⁰(t) =A(t)X(t) (resp. Y(t0) =α, Y⁰(t) =B(t)Y(t)) où α∈Rⁿ. Quelle majoration a-t-on surkX0(t)−Y0(t)k ? Exercice 58. y⁰+y=ϕ, Mines 2015

1) Soit l’équation différentiellef⁰+f =ϕ, avecϕ:R⁺→Rcontinue. Exprimerf en fonction deϕ.

2) On suppose queϕ² intégrable sur [0,+∞[.

a) Montrer quef est bornée.

b) Montrer quef²est intégrable sur [0,+∞[.

c) Montrer quef(x) tend vers 0 quandxtend vers +∞.

3) Montrer que l’on a les mêmes résultats en supposantϕintégrable sur [0,+∞[.

Exercice 59. y⁰⁰+y=f, Mines-Ponts 2015

Soitf ∈ C¹(R⁺,R) monotone admettant une limite finie à l’infini. Montrer que toute solution de l’équa- tion différentielle y⁰⁰+y=f est bornée.

Exercice 60. Équation de Legendre, ENS 2015

Pour k∈N, on considère l’équation différentielle : (1−x²)y⁰⁰−2xy⁰+k(k+ 1)y= 0.

1) Montrer qu’il existe une solution particulièreyk continue surR.

2) Montrer que toutes les solutions de classeC² sur l’intervalle [−1,1] sont proportionnelles àyk. Exercice 61. Cauchy-Abel, X 2014

Soient R > 0 et b(z) = P∞

k=0bkz^k une série entière de rayon de convergence au moins égal à R. Soit λ∈C. Montrer qu’il existe une unique série entièrea(z) de rayon de convergence au moins égal àRtelle quea(0) =λet∀z∈D(0, R),a⁰(z) =b(z)a(z).

Exercice 62. Centrale 2014

SoitA une matrice symétrique réelle dont toutes les valeurs propres sont positives ett7→X(t) solution deX⁰=AX. Montrer quet7→ kX(t)k²est croissante surR. Que dire siA est antisymétrique ?

Exercice 63. Mines 2014

1) Montrer que les solutions dey⁰⁰+e^xy= 0 sont bornées surR⁺. 2) Trouver une solution bornée surR. Le sont-elles toutes ? Exercice 64. Mines MP 2012

Montrer qu’il existe une unique solution à l’équationy⁰−y=e^−x2 qui tend vers 0 en±∞.

Exercice 65. Mines 2017

On s’intéresse à d’éventuelles solutions surR⁺ de l’équation : y⁰⁰+ x

1 +x³y= 0.

1) Soity une solution bornée. Montrez que limx→+∞y⁰ = 0. Indication : commencez par montrer que y⁰ admet une limite finie en+∞.

2) Montrez que l’équation admet des solutions non bornées.

Exercice 66. Mines 2017

On considère surRl’équation différentielle (E) :y⁰⁰−y=_1+x¹₂. 1) Donner la solution générale de (E).

2) Montrer qu’il existe une unique fonction bornée solution de (E).

solutions

Exercice 1.

1) y= 2 + λ x+ 2. 2) y=C+ sinx

x .

3) y=−cosx+ sinx+λ 1 +x . 4) y=λx− 1

3x². 5) y=λx^4/3−x.

6) y= sinx−cosx

2 + 3 sin 2x−6 cos 2x

5 +λe^−x.

7) y=argch(1−2x) +λ 2√

x²−x pourx <0 y=arcsin(2x−1) +µ

2√

x−x² pour 0< x <1 y=−argch(2x−1) +ν

2√

x²−x pour 1< x.

8) y=x−1

2x arctanx+x+ 1 2x

ln√|x+ 1|

x²+ 1+λ

. 9) y= x

1−x²

(1 +x) lnx+ 1 +λx . Exercice 2.

1) y= (x+acosx+bsinx)e^x. 2) y= (ax+b)e^2x+ 2xe^x.

3) y=e^2x(acos 3x+bsin 3x) + 2 cos 2x+ sin 2x.

4) y= sinxln tanx

2

+λcosx+µsinx(variation de la constante avec sin).

5) y= (λ+ ln|x|)e^−x+µe^−2x. 6) y=λcosx+µsinx+P∞

n=0(−1)ⁿP⁽²ⁿ⁾(x).

7) y=acosx+bsinxaveca²+b²= 1 ouy=±1.

Exercice 3.

1) y=−e^x+λe^ex+µe^−ex. 2) y=λe^x2+µe^2x2+ 2x²+ 3

16 . 3) y=λx²+µlnx.

4) y=ax+bx²+ 1−2xsinx.

5) y=x²ln|x+ 1|+λ

x²ln

x x+ 1

+x−1 2

+µx². 6) y=−1 +achx+bshx

x² .

7) y=λ√

x²+ 3 +µx−1.

8) y⁽⁴⁾−2y⁰⁰+y= 0⇒y=a(chx−xshx) +b(xchx−shx).

Exercice 4.

1) 2n(2n−3)an=−9a_n−3⇒y=

a0cos(x^3/2) six>0 a0ch(|x|^3/2) six60.

Solution générale : y=

acosu+bsinu six>0

achu+bshu six60, avecu=|x|^3/2. 2) n(n+ 1)an=a_n−2⇒y=a0shx

x . Solution générale : y= achx+bshx

x .

3) (2n+ 1)(2n+ 2)a_n+1=a_n⇒y =a₀ch(√ x).

Solution générale surR⁺ : u=ach(√

x) +bsh(√ x).

4) n(n−1)a_n+ (n+ 1)a_n−2= 0⇒y=a₀(1−x²)e^−x2/2+a₁z.

Solution générale : y= (1−x²)e^−x2/2(a+bF(x)) +bxavecF(x) =Rx

t=0e^t2/2dt.

5) (n+ 2)(n+ 3)a_n=a_n−2⇒y=x−shx x³ . Solution générale : y= achx+bshx+x

x³ .

6) nan+1= (n+ 1)an⇒y= λx (1−x)². Solution générale : y= ax+b(1 +xln|x|)

(1−x)² . Exercice 5.

|sinx|= 2 π− 4

π P∞

n=1

cos 2nx

4n²−1 ⇒y= 2 π− 4

π P∞

n=1

cos 2nx

(4n²−1)(16n⁴−4n²+ 1). Cette série converge et définit une fonction de classe C⁴ solution de l’équation.

Unicité : les solutions de l’équation homogène sont combinaison de e^jx, e^−jx, e^j2x et e^−j2x donc non π-périodiques.

Exercice 6.

k /∈Z: y=P∞

k=1 cosnx

n²(k²−n²)+acoskx+bsinkx.

k∈Z: remplacer coskx

k²(k²−k²) par xsinkx 2k³ . Exercice 7.

y=x+ 1 +λe^x ouy=x−1 +λe^−x. Exercice 8.

y=e^x−1 six <0 ;y= 1−cosx+ sinxsi 06x < ^3π₂ ; y=e^3π/2−x−1 six> ^3π2 . Exercice 9.

4xz⁰⁰+ 2z⁰+z=−1 y²

4xy⁰⁰+ 2y⁰−y−8xy⁰² y

= 2y³(y²+ 4xy⁰²) donc y⁰

y =±√1

−4xety=λexp(±√

−x) pour x <0.

Résolution sans indication : on posex=εt²et y(x) =z(t) d’où d²z

dt² +εz= 0.

Exercice 10.

1) g(x) =be^−ax+Rx

t=0e^a(t−x)f(t) dt.

2) RX

x=0g(x) dx= b

a(1−e^−aX) +RX t=0

RX

x=te^a(t−x)f(t) dxdt= b

a(1−e^−aX) +RX t=0

1−e^a(t−X) a f(t) dt

X→+∞−→

b a+ 1

a R+∞

t=0 f(t) dt.

Donc l’intégrale degconverge. On montre la convergence absolue par majoration élémentaire.

Exercice 11.

Comme deux solutions diffèrent par un multiple de e^at, il y en a au plus une de carré sommable. En s’inspirant de la formule de Duhamel, on essaye y(t) =−R+∞

s=t e^a(t−s)f(s) ds=−R+∞

u=0 e^−auf(t+u) du.

La deuxième intégrale converge caru7→e^−auetu7→f(t+u) sont de carrés intégrables et on vérifie avec la première intégrale que c’est bien une solution de y⁰−ay =f. De plus, avec l’inégalité de Cauchy- Schwarz : y²(t)6R+∞

u=0 e^−2audu×R+∞

u=0f²(t+u) du6 1 2a

R+∞

u=t f²(u) du. En particulier y² est bornée surR.

Ensuite, on ayy⁰−ay²=yf >−¹₂(ay²+f²/a), d’où a 2y²6 1

2af²+yy⁰ et en intégrant : a

2 Rβ

t=αy²(t) dt6 1 2a

Rβ

t=αf²(t) dt+y²(β)−y²(α)

2 .

Ainsi, les intégrales Rβ

t=αy²(t) dtsont bornées, ce qui prouve quey∈L². Exercice 12.

1) x= 2αe^t+ (2γt+ 2β−γ)e^2t, y= (γt+β)e^2t, z=αe^t+ (γt+β)e^2t. 2) y=−1 +λe^αt+µe^βt, z=−1 +λ(1 +α)e^αt+µ(1 +β)e^βt, α= ⁻³⁺

√5

2 ,β= ⁻³⁻

√5 2 . 3) y=−9 cost−13 sint

25 + (at+b)e^2t, z= −4 cost−3 sint

25 + (at+a+b)e^2t. 4) x= (a+bt+ct²)e^t, y=

a+b−c

2 + (b+c)t+ct²

e^t, z=

a−b+c

2 + (b−c)t+ct²

e^t. 5) x=−(b+c)e^t+ (a+b+c)e^2t,

y=¹₂(−a+ 5b+ 3c)−2(b+c)e^t+¹₂(a+b+c)e^2t, z= ¹₂(a−5b−3c) + 3(b+c)e^t−¹₂(a+b+c)e^2t. 6) x= (at²+ (a+b+₂¹)t+a+b+c)e^t,

y= (at²+ (b−a+¹₂)t+a+c)e^t−¹₂e^−t, z= (−at²+ (a−b−¹₂)t−c)e^t+¹₂e^−t. Exercice 13.

y= (t²+ 1)x⁰−tx−2t²+ 1⇒(t²+ 1)x⁰⁰+ 2tx⁰−2x= 6t.

Résolution par DSE⇒x=a(1 +tarctant) +bt+tln(1 +t²),y=aarctant+b+ 1 + ln(1 +t²).

Exercice 16.

Dériver deux fois. f(x) = sinx−xcosx

2 +λshx+µcosx.

Exercice 17.

1) z⁰+ z thx= 0.

2) y=ax+b shx . Exercice 18.

1) spectre =C, f_λ(t) =e^−t2/2e^λt.

2) Pourλ6= 0,Φ²(f) =λ²f ⇔f =af_λ+bf_−λ. Pourλ= 0,Φ²(f) = 0⇔f(t) = (at+b)e^−t2/2. 3) Φ²(y) =−2y⇔y=e^−t2/2 ae^t

√

2+be^−t

√ 2

. Exercice 19.

1) λ=n² : P(X) =aXⁿ. 2) λ >0 : f(x) =αx

√

λ+βx⁻

√ λ. λ= 0 : f(x) =α+βlnx.

λ <0 : f(x) =αcos √

−λlnx

+βsin √

−λlnx . 3) λ∈R: f(x) =αexpλ arcsin√

x−p

x(1−x) .

Exercice 20.

2) a)λ= 2k,P =α(X−1)^n−k(X+ 1)^n+k pour −n6k6n.

b) λ= 0,P =αX²ⁿ. c) λ= 0,P =α(X²+ 1)ⁿ. Exercice 21.

y=Rx

t=0g(t) dt⇒ y⁰

y =2±√ 2

x ⇒g(x) =αx^1±

√

2. Continuité en 0⇒g(x) =αx¹⁺

√ 2. Exercice 22.

Étudiere^−A(y−z),A⁰ =a.

Exercice 23.

Point de concours :

x0− 1

a(x0),−b(x₀) a(x0)

. Exercice 25.

2) Soienty0une solution particulière ety1une solution non nulle de l’équation homogène : y1(x) =e^−A(x) avecA⁰ =a. Alorsy0(x+T) =y0(x) +αy1(x), et pour une solution y quelconque, y =y0+λy1 : y(x+T)−y(x) = (α+λ(e^−I −1))y₁(x) oùI=RT

t=0a(t) dt.

Exercice 26.

λ6= 0 : f(x) =asin(αx), α≡^π₄(modπ) λ= 0 : f = 0.

Exercice 27.

f(1) =e^−kR1

t=0g(t)e^ktdt.

Avec Cauchy-Schwarz on obtient R1

t=0(f⁰(t) +kf(t))²dt> 2k

1−e^−2kf(1)²= 9 2k 1−e^−2k. Il y a égalité pourf(t) = 3e^kt−e^−kt

e^k−e^−k . Exercice 28.

1) u_n−u(t_n) = 1 2π

Rt_n+2π t=tn

Rt

x=tnu⁰(x) dxdt et on majore l’intégrale interne par Cauchy-Schwarz.

2) w+w⁰⁰=u⁰ doncw(t) =Rt

x=t_nsin(t−x)u⁰(x) dx+αcost+βsintpuis Z t_n+2π

t=tn

w(t) dt =

Z t_n+2π t=tn

Z t x=tn

sin(t−x)u⁰(x) dxdt

=

Z tn+2π x=t_n

Z tn+2π t=x

sin(t−x)u⁰(x) dtdx

=

Z t_n+2π x=t_n

u⁰(x)(cos(tn−t)−1) dx

n→∞−→ 0, etRt_n+2π

t=tn v(t) dt=w(t_n)−w(t_n+ 2π) =−Rt_n+2π

x=tn sin(t−x)u⁰(x) dx.

Exercice 29.

1) Formule de Duhamel : y(t) =−Rt

x=0e^t−xf(x) dx+λe^t.

Par convergence dominée, l’intégrale tend vers 0 quand t tend vers −∞ donc toutes les solutions de (E) sont bornées au voisinage de−∞.

Pourt >0 on ay(t) =e^t λ−Rt

x=0e^−xf(x) dx

donc il y a au plus une valeur deλtelle quey soit éventuellement bornée au voisinage de +∞, c’estλ=R+∞

x=0 e^−xf(x) dx.

Pour ce choix on a : |y(t)|=

R+∞

x=t e^t−xf(x) dx

6R+∞

x=t |f(x)|dx −→

t→+∞0.

2)

Z b t=a

|F(t)|dt6 Z b

t=a

Z +∞

x=t

e^t−x|f(x)|dxdt 6

Z b x=a

Z x t=a

e^t−x|f(x)|dtdx+ Z +∞

x=b

Z b t=a

e^t−x|f(x)|dtdx 6

Z b x=a

(1−e^a−x)|f(x)|dx+ Z +∞

x=b

(e^b−x−e^a−x)|f(x)|dtdx 6

Z +∞

x=−∞

|f(x)|dx

doncF est intégrable. F⁰ = F −f est aussi intégrable et R+∞

t=−∞F⁰(t) dt = h

F(t)i+∞

t=−∞ = 0 d’où R+∞

−∞ F =R+∞

−∞ f. Exercice 30.

PoserF(x) =Rx

t=0f(t) dtetG(x) =Rx

t=0g(t) dtpuis résoudre : F(x) =x−1+G⁰(x),G(x) =x−1+F⁰(x), F(0) =G(0) = 0.

On trouve f(x) =g(x) = 1.

Exercice 31.

1) thm de Cauchy-Lipschitz linéaire.

2) x7→A(−x) et x7→ −B(−x) sont solutions de (E) et vérifient les bonnes conditions initiales.

3) Résoudreu⁰⁰(x) +ku(x) = 2dcos(x)u(x) par la formule de Duhamel.

Exercice 32.

2) Oui, Keru={0}.

3) Oui : sig∈E alorsf =t7→Rt

s=−∞e^s−tg(s) dsappartient àE et f+f⁰=g.

Exercice 33.

2) up(x) =−Rx

t=0pf(t) shx−t p

dt+sh(x/p) sh(1/p)

R1

t=0pf(t) sh1−t p

dt.

3) TCD :u_p(x) −→

p→∞−Rx

t=0(x−t)f(t) dt+xR1

t=0(1−t)f(t) dt=Rx

t=0t(1−x)f(t) dt+R1

t=xx(1−t)f(t) dt (primitive deuxième de−f s’annulant en 0 et 1).

Exercice 34.

1) Il suffit de démontrer que les solutions de (E) sont développables en série entière. La méthode des coefficients indéterminés donnen(n−1)a_n = (λ−1)a_n−4 sin>4 eta₂=a₃= 0 d’où

a4k= (λ−1)^ka0 k

Y

i=1

4i(4i−1)

, a4k+1= (λ−1)^ka1 k

Y

i=1

4i(4i+ 1)

, a4k+2=a4k+3 = 0.

On obtient une série de rayon infini pour tout choix dea0, a1 donc les solutions DSE forment un ev de dimension 2 et on a ainsi trouvé toutes les solutions.

2) On doit avoirH⁰⁰(x)−2xH⁰(x) + ((2−λ)x²−1)H(x) = 0. Si H est une fonction polynomiale non nulle, en examinant les termes de plus haut degré on obtient une contradiction. Donc il n’existe pas de telle solution.

Exercice 35.

Considérer h(t) = a+Rt

u=0f(u)g(u) du et résoudre l’inéquation différentielle h⁰(t) 6 g(t)h(t) par la formule de Duhamel.

Exercice 36.

f(x) =Rx

t=0g(t) sin(x−t) dt+λcosx+µsinxavecg=f+f⁰⁰. Exercice 37.

On poseϕ(t) =f⁰⁰(t) +f⁰(t) +f(t).

f(t) =e^−t/2

−√2 3

Rt

u=0ϕ(u)e^u/2sin √

3 (u−t) 2

,du+Acos √

3u 2

+Bsin √

3u 2

. Exercice 39.

1) y=Rx

t=αb(t)e^A(t)−A(x)dt+y(α)e^−A(x)avecA⁰ =aet A(α) = 0.

Commea>1, on aA(x)>x−αetA(t)−A(x)6t−xpourt6x.

Donc|y|6Rz

t=α|b(t)|e^t−xdt+Rx

t=z|b(t)|e^t−xdt+|y(α)|e^α−x6kbk∞e^z−x+ sup

[z,+∞[

|b|+|y(α)|e^α−x. On choisitz tel quez→+∞etx−z→+∞ ⇒cqfd.

2) CommeA(t)−A(x) 6t−xpour t 6 x, l’intégrale Rx

t=−∞b(t)e^A(t)−A(x)dt converge et fournit une solution nulle en−∞. Commee^−A(x) −→

x→−∞+∞, c’est la seule.

Exercice 40.

1) Sinon, la convexité dey est incorrecte.

2) S’il existextel quez(x) =z⁰(x) = 0, alorsz= 0 ce qui est absurde.

S’il existextel quez(x) = 06=z⁰(x), alors par convexité, zne peut s’annuler ailleurs.

Exercice 42.

Si y₁et y₂sont deux solutions bornées alors y⁰⁰₁ ety⁰⁰₂ sont intégrables doncy_i⁰(t) −→

t→+∞0 etW_y1,y2(t) = 0 pour toutt.

Exercice 43.

1) On suppose y 6= 0 sinon y n’a pas de zéros consécutifs. Comme y(x0) = 0, on a y⁰(x0) 6= 0 sinon y= 0. Ceci implique que chaque zéro dey est isolé, donc la notion de zéros consécutifs est pertinente.

Enfin,y⁰(x0) ety⁰(x1) sont de signes opposés sinon il existe un autre zéro dans ]x0, x1[.

2) W⁰= (q−r)yz. W(x1)−W(x0) =y⁰(x0)z(x0)−y⁰(x1)z(x1) (non simplifiable).

3) Si z ne s’annule pas dans ]x₀, x₁[ alors W⁰ est de signe constant sur cet intervalle. L’examen des différents cas possibles de signe apporte une contradiction entre les signes deW⁰ et deW(x₁)−W(x₀) siz(x₀)6= 0 ouz(x₁)6= 0.

4) On prendr =q, z =u. Si u(x )6= 0 alors uadmet un zéro dans ]x , x [ et en permutant les rôles