Exercices sur les équations différentielles linéaires

(1)

Equations différentielles linéaires

Résolution d’équation scalaire d’ordre 1

Exercice 1 [ 00382 ][correction]

Résoudre sur ]1,+∞[ l’équation différentielle y⁰− x

x²−1y= 2x

Résoudre sur ]−π/2, π/2[

y⁰(x)−tan(x)y+ (cosx)²= 0

Résoudre les équations différentielles suivantes : a)y⁰−y= sin(2x) e^x

b)y⁰+ 2xy= 2xe^−x²

c)y⁰+ytanx= sin 2xsur ]−π/2, π/2[

Déterminer les solutions, s’il en existe, des problèmes de Cauchy suivants : a)y⁰−(x+ 1)(y+ 1) = 0 et y(0) = 1

b) (1 +x²)y⁰−(x+ 1)y= 2 ety(0) =−1.

On considère l’équation

(E) : (1−x)y⁰−y=g oùg: ]−1,1[→Rest donnée.

a) Résoudre l’équation homogène associée.

b) On suppose que la fonctiong est développable en série entière g(x) =

+∞

X

n=0

bnxⁿ de rayon de convergenceR>1.

Montrer que (E) admet au moins une solution développable en série entière en 0, y(x) =

+∞

X

n=0

a_nxⁿ

de rayon de convergenceR⁰>1 et exprimer lesa_n en fonction deb_n pour tout n∈N.

Etude théorique d’équation d’ordre 1

Soita:R⁺→Rcontinue et intégrable.

Établir que les solutions de l’équation différentielley⁰−a(t)y= 0 sont bornées surR⁺.

a) Soith:R→Ccontinue de limite nulle en +∞. Montrer que les solutions de l’équation différentielley⁰+y=hconverge vers 0 en +∞.

b) Soitf :R→Cde classeC¹. On suppose quef+f⁰−−→

+∞ `. Montrer que f −−→

+∞ `.

Soientαun complexe de partie réelle strictement positive et une application f :R→Rde classeC¹ telle quef⁰+αf tend vers 0 en +∞.

Montrer quef tend vers 0 en +∞.

Soitα∈Cet ϕ:R→Cune fonction continue et périodique de périodeT >0.

On étudie l’équation différentielle

(E) :y⁰+αy=ϕ(t)

a) Montrer que siy est solution surRde l’équation (E) alors la fonction t7→y(t+T) l’est aussi.

b) En déduire qu’une solutiony de (E) estT-périodique si, et seulement si, y(0) =y(T).

c) Montrer que l’équation (E) admet une unique solutionT-périodique, sauf pour des valeurs exceptionnelles deαque l’on précisera.

(2)

Résolution avec raccord d’équation d’ordre 1

Résoudre surRl’équation

(E) :x²y⁰−y= 0

Résoudre surRl’équation suivante

(e^x−1)y⁰+ e^xy= 1

Résoudre surRl’équation suivante

sh(x)y⁰−ch(x)y= 1

E:y⁰+y= max(x,0)

Résoudre

xlnx y⁰−(3 lnx+ 1)y= 0

Résoudre surRles équations suivantes :

a) xy⁰−y=x b)xy⁰+y−1 = 0

c) xy⁰−2y=x⁴ d)x(1 +x²)y⁰−(x²−1)y+ 2x= 0

Résoudre surRles équations suivantes :

a)y⁰sinx−ycosx+ 1 = 0 b) (sinx)³y⁰= 2(cosx)y

Déterminer les solutions, s’il en existe, des problèmes de Cauchy suivants : a) (tanx)y⁰−y= 0 ety(0) = 0

b) (tanx)y⁰−y= 0 ety(0) = 1.

Résoudre sur tout intervalle deRl’équation différentielle x(x²−1)y⁰+ 2y=x²

Soitα∈R. Résoudre sur Rl’équation différentielle xy⁰−αy= 0 en discutant selon les valeurs deα.

Soitf ∈ C¹(R⁺,R) etg une solution surR^+? de l’équation différentielle xy⁰−y=f(x)

a) Démontrer queg se prolonge par continuité en 0. Déterminer une condition nécessaire surf⁰(0) pour que la fonction ainsi prolongée soit dérivable en 0.

Démontrer que cette condition n’est pas suffisante.

b)f est supposée de classeC² et la condition précédente est vérifiée.

Démontrer queg est de classeC².

Soit (E) l’équation différentielle

(lnx)y⁰+y x= 1 a) Résoudre (E) sur ]0,1[ et sur ]1,+∞[.

b) Soitgla fonction définie sur ]−1,+∞[\ {0} par g(x) = ln(1 +x)

x

Montrer queg se prolonge sur ]−1,+∞[ en une fonction de classeC^∞. c) Démontrer que (E) admet une solution de classeC^∞ sur ]0,+∞[.

(3)

Soitαun paramètre réel. On désire résoudre surRl’équation différentielle E:xy⁰=αy

On considèrex7→y(x) une solution deE surR^+? etR^−?. a) Donner l’expression dey(x) surR^+? et sur R^−?.

On noteraC⁺ et C⁻ les constantes réelles permettant d’exprimery(x) surR^+? et R^−?.

b) A quelles conditions sur les constantesC⁺ etC⁻, est-il possible de prolongery par continuité en 0 ?

On distinguera trois cas, selon queα <0,α= 0 ouα >0.

c) Pourα >0, à quelles conditions sur les constantesC⁺ etC⁻ la fonction prolongéey est-elle dérivable en 0 ?

On distinguera trois cas, selon que 0< α <1,α= 1 ouα >1.

d) Résumer l’étude précédente en donnant la solution générale deE surRen fonction deα.

Résolution d’équation scalaire d’ordre 2

Soitα >0. Résoudre surI= ]0,+∞[ l’équation différentielle Eα:x²y⁰⁰(x) +xy⁰(x)−α²y(x) = 0 On pourra étudier les fonctions propres de l’application

ϕ:y(x)7→xy⁰(x)

Méthode de variation des constantes

Résoudre l’équation différentielle

y⁰⁰+ 4y⁰+ 4y= e^−2t 1 +t²

y⁰⁰+y= tant

y⁰⁰+y= tan²t

Résoudre sur ]0, π[

y⁰⁰+y= cotanx

Soitf :R→Rune fonction continue.

a) Résoudre surRl’équation différentielle y⁰⁰+y=f On exprimera la solution à l’aide d’une intégrale.

b) Déterminer la solution telle quey(0) =y⁰(0) = 0.

a) Résoudre l’équation différentielle

y⁰⁰+y= cos(nt) b) SoitP

an une série absolument convergente.

Résoudre l’équation différentielle y⁰⁰+y=

+∞

X

n=0

ancos(nt)

Soitf :R→Rune fonction de classeC² telle que f +f⁰⁰>0 Montrer

∀x∈R,f(x) +f(x+π)>0

(4)

Soitf ∈ C^∞(R,C) 2π-périodique. Existe-t-ily∈ C^∞(R,C) 2π-périodique et solution de

y⁰⁰+y=f?

Soitf ∈ C¹(R⁺,R) monotone ayant une limite finie en +∞.

Montrer que les solutions de l’équationy⁰⁰+y=f sont bornées.

a) Résoudre surR^+? par variation des constantes l’équation différentielle y⁰⁰+y= 1/x

b) En déduire une expression de f(x) =

Z +∞

0

e^−tx dt 1 +t² valable pourx >0.

c) Calculer

Z +∞

0

sint t dt

Recherche de solution développable en série en- tières

a) Déterminer les séries entières solutions au voisinage de 0 de l’équation différentielle

y⁰⁰+ 2xy⁰+ 2y= 0

b) Exprimer parmi celles-ci, celles dont la somme est une fonction paire.

Résoudre sur ]−1,1[ l’équation

4(1−t²)y⁰⁰(t)−4ty⁰(t) +y(t) = 0 en recherchant les fonctions développables en série entière.

a) Résoudre surRl’équation

(1 +t²)y⁰⁰(t) + 4t y⁰(t) + 2y(t) = 0 en recherchant les séries entières solutions.

b) Résoudre ensuite

(1 +t²)y⁰⁰(t) + 4t y⁰(t) + 2y(t) = 1 1 +t²

a) Montrer qu’il existe une solutionhde l’équation xy⁰⁰+y⁰+y= 0 développable en série entière et vérifianth(0) = 1.

b) Montrer quehne s’annule qu’une fois sur ]0,2[.

Wronskien

Soienta, b:I→Ccontinues et (f₁, f₂) un système fondamental de solutions de l’équation

E:y⁰⁰+a(t)y⁰(t) +b(t)y= 0

Former une équation différentielle linéaire d’ordre 1 vérifiée par le wronskien w:t7→

f1(t) f2(t) f₁⁰(t) f₂⁰(t)

On étudie sur ]0,+∞[ l’équation différentielle

(E) :ty⁰⁰+ (1−2t)y⁰+ (t−1)y= 0 a) Vérifier queϕ(t) = e^tdétermine une solution de (E).

b) Déterminer une expression du wronskienw(t) des deux solutions de l’équation (E).

c) En déduire une solution de (E) indépendante deϕet exprimer la solution générale de (E).

(5)

Etude théorique d’équation d’ordre 2

Soitq:R→R⁺ une fonction continue non nulle.

On se propose de montrer que les solutions surRde l’équation y⁰⁰+q(x)y= 0 s’annulent.

Pour cela, on raisonne par l’absurde et on suppose quef est une solution ne s’annulant pas.

a) Justifier quef est de signe constant.

Quitte à considérer−f au lieu def, on peut supposer

∀x∈R, f(x)>0 b) Etudier le signe def⁰⁰.

c) Soita∈Rquelconque. Quelle est l’équation de la tangente àf ena? d) Montrer que le graphe def est en dessous de sa tangente ena.

e) En déduire quef⁰(a) = 0 et conclure.

Soitq:R→R⁺ une fonction continue non nulle.

Montrer que toute solution surRde l’équation différentielley⁰⁰+q(x)y = 0 s’annule.

Soientqune fonction continue sur [a, b] à valeurs réelles et f une solution non nulle sur [a, b] de l’équation différentielle

(E) :y⁰⁰(x) +q(x)y(x) = 0 Montrer quef admet un nombre fini de zéros.

Soientp, q: [0,1]→Rcontinue et l’équation différentielle définie sur [0,1] suivante y⁰⁰+p(t)y⁰+q(t)y= 0

Montrer que si une solution possède une infinité de racines alors celle-ci est la fonction nulle.

Soientf ∈ C¹(]0,+∞[,R) etgune solution non identiquement nulle de E:y⁰⁰+f y= 0

a) Montrer que les zéros deg sont isolés.

Dans la suite,x1 etx2sont deux zéros consécutifs deg vérifiantx1< x2. b) Montrer, six∈[x1, x2]

(x2−x) Z x

x₁

(t−x1)f(t)g(t) dt+ (x−x1) Z x₂

x

(x2−t)f(t)g(t) dt= (x2−x1)g(x) c) En déduire une minoration de

Z x2

x1

|f(t)|dt

Soientqune fonction continue, intégrable sur [0,+∞[ et (E) l’équation différentielle

y⁰⁰+q(x)y= 0

a) Sif est une solution bornée de (E) sur [0,+∞[, montrer que sa dérivéef⁰ converge en +∞.

Quelle est la valeur de sa limite ?

b) Soientf et gdeux solutions bornées. Étudier le wronskien de f et de g w=f⁰g−f g⁰

En déduire quef et gsont liées. Que peut-on en conclure ?

Soientq1, q2:I→Rcontinues vérifiantq16q2.

On noteϕ1et ϕ2deux solutions surI respectivement des équations y⁰⁰+q₁(x)y= 0 ety⁰⁰+q₂(x)y= 0

On suppose la solutionϕ1 non identiquement nulle.

a) Montrer que les zéros deϕ1 sont isolés i.e. que six0∈I annuleϕ1alors

∃α >0,∀x∈I∩[x₀−α, x₀+α], ϕ(x) = 0⇒x=x₀

b) Soienta < bdeux zéros consécutifs deϕ1. Montrer queϕ2s’annule sur [a, b].

(6)

(indice : étudierϕ1ϕ⁰₂−ϕ2ϕ⁰₁)

c) Application : montrer que siϕest une solution non nulle de l’équation y⁰⁰+ e^xy= 0 alors

∀a∈R⁺,∃x∈[a, a+π], ϕ(x) = 0

On considère l’équation différentielle

E0:y⁰⁰−e^xy= 0

a) Soity une solution deE₀surR. Etudier la convexité de y². En déduire que siy(0) =y(1) = 0 alors yest nulle surR. b) Soienty1et y2 deux solutions deE0 telles que

(y1(0), y⁰₁(0)) = (0,1) et (y2(1), y₂⁰(1)) = (0,1) Démontrer que (y₁, y₂) est un système fondamental de solutions deE₀. c) Soitf ∈ C(R,R). Démontrer que l’équation différentielle

E:y⁰⁰−e^xy=f(x) admet une unique solutiony telle que

y(0) =y(1) = 0

(E) :y⁰⁰+ cos²(t)y= 0

a) Justifier l’existence d’une solutionude (E) telle queu(0) = 1 etu⁰(0) = 0.

b) Démontrer l’existence de deux réelsα, β vérifiant α <0< β,u⁰(α)>0 etu⁰(β)<0 En déduire queupossède au moins un zéro dansR^−? etR^+?. c) Justifier l’existence de réels

γ= max{t <0/u(t) = 0} et δ= min{t >0/u(t) = 0}

d) Soitv une solution de (E) linéairement indépendante deu.

En étudiant les variations de

W =uv⁰−u⁰v

montrer quevpossède au moins un zéro dans]γ, δ[.

e) Soitwune solution non nulle de (E). Démontrer quew admet une infinité de zéros. On pourra introduire pourn∈N, la fonction

w_n :R→R,t7→w(t−nπ)

[Enoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA]

Soientq∈ C⁰([a,+∞[,R⁺) et (E) l’équation différentielley⁰⁰=q(x)y.

a) Soitf une solution de (E) telle quef(a)>0 etf⁰(a)>0.

Montrer quef etf⁰ sont strictement positives et quef tend vers +∞en +∞.

b) Soientuetv les solutions de (E) telles que (u(a) = 1

u⁰(a) = 0 et

(v(a) = 0 v⁰(a) = 1

Calculeru⁰v−uv⁰. Montrer que, sur ]a,+∞[,u/v etu⁰/v⁰ sont monotones de monotonies contraires. Montrer queu/vet u⁰/v⁰ tendent en +∞vers la même limite réelle.

c) Montrer qu’il existe une unique solutiong de (E), strictement positive, telle queg(a) = 1 et telle queg décroisse sur [a,+∞[.

d) Déterminerglorsque q(x) = 1/x⁴ sur [1,+∞[.

On pourra posery(x) =xz(1/x).

Problèmes se ramenant à la résoluton d’équations différentielles

Quelles sont les fonctions continuesf telles que f(x) =−1−

Z x 0

(2x−t)f(t)dt?

Soitf :R→Rcontinue vérifiant l’équation

∀x∈R, f(x) + Z x

0

(x−t)f(t) dt= 1−x a) Montrer quef est de classeC¹.

b) Trouver toutes les fonctionsf solution de l’équation étudiée.

(7)

Déterminer les fonctionsf :R→Rcontinues vérifiant

∀x∈R, f(x) = Z x

0

tf(t) dt+ 1

Trouver les fonctionsf :R→Rcontinues telles que pour toutxréel f(x)−2

Z x 0

f(t) cos(x−t) dt= 1

Trouver toutes les applicationsf :R→Rdeux fois dérivables telles que

∀x∈R, f⁰⁰(x) +f(−x) =x

Déterminer les fonctionsf :R^+?→Rdérivables telles que

∀x >0, f⁰(x) =f(1/x)

Déterminer la dimension de l’espace E=

y∈ C²(R,R)/∀x∈R, y⁰⁰(x) +y(x) =y(0) cos(x)

Soientf une fonction réelle continue sur [0,1] etλun réel.

Trouverufonction réelle continue sur [0,1] telle que u(x) =λ

Z x 0

u(t) dt+f(x)

Déterminer les fonctionsf :R→Rdeux fois dérivables telles que

∀x, y∈R, f(x+y) +f(x−y) = 2f(x)f(y) etf(0) = 1

Résolution avec raccord d’équation d’ordre 2

(t+ 1)²y⁰⁰−2(t+ 1)y⁰+ 2y= 0 en commençant par rechercher les solutions polynomiales.

E: (t+ 1)y⁰⁰−(t+ 2)y⁰+y= 0

xy⁰⁰−y⁰−x³y= 0

a) Montrer que siy est solution surI alorsx7→y(−x) est solution surI⁰ symétrique deI par rapport à 0.

b) Résoudre surR^+? l’équation via le changement de variablet=x². c) Déterminer les solutions surR.

(E) : 4xy⁰⁰+ 2y⁰−y= 0

a) Déterminer les fonctions développables en série entière solutions

b) Résoudre (E) surR^+?et sur R^−? en posant respectivementx=t² etx=−t². c) Déterminer les solutions de (E) surR.

Résoudre surRl’équation différentielle

E:xy⁰⁰−(1 +x)y⁰+y= 1 en posantz=y⁰−y.

(8)

Résolution par changement de fonction inconnue

(1 +x²)y⁰⁰+ 2xy⁰ = 0

E: (1 + e^x)y⁰⁰+ 2e^xy⁰+ (2e^x+ 1)y=xe^x en posantz(x) = (1 + e^x)y(x).

(1 + e^x)²y⁰⁰−2e^x(1 + e^x)y⁰−(3e^x+ 1)y= 0 en introduisant

z(x) = y(x) 1 + e^x

y⁰⁰+ 4xy⁰+ (3 + 4x²)y= 0 en introduisant la fonctionz(x) = e^x²y(x).

Résoudre surR^+? l’équation

x²y⁰⁰+ 4xy⁰−(x²−2)y= 0 en posantz=x²y.

Résoudre sur ]0,+∞[ l’équation différentielle

xy⁰⁰(x) + 2y⁰(x)−xy(x) = 0 en posanty(x) =x^αz(x) avecα∈Rbien choisi.

(1 + e^x)y⁰⁰+y⁰−e^xy= 0 en introduisant la fonctionz=y⁰+y.

Résoudre sur ]0,+∞[ l’équation

x²y⁰⁰−2y+ 3 x = 0 en introduisant la fonctionz(x) =xy⁰(x) +y(x).

Méthode de Lagrange

(t²+ 1)y⁰⁰−2y=t

a) Déterminer une solution polynomiale non nulleϕ(t) de l’équation homogène associée.

b) Résoudre l’équation homogène en procédant au changement de fonction inconnuey(t) =ϕ(t)z(t).

c) Exprimer la solution générale de l’équation étudiée.

On étudie l’équation

(1 +t²)²y⁰⁰(t)−2t(1 +t²)y⁰(t) + 2(t²−1)y(t) = (1 +t²)

a) Déterminer une solution polynomiale non nulleϕ(t) de l’équation homogène.

b) Résoudre l’équation en procédant au changement de fonction inconnue y(t) =ϕ(t)z(t).

(9)

On étudie surR^+? l’équation

t³y⁰⁰+ty⁰−y= 0

a) Déterminer une solution polynomiale non nulleϕ(t) de cette équation.

On étudie surR^+? l’équation différentielle

t²y⁰⁰+ty⁰−y= 1

a) Déterminer une solution polynomiale non nulleϕ(t) de l’équation homogène.

On étudie sur ]0,1[ l’équation

x(1−x)y⁰⁰+ (1−3x)y⁰−y= 0

a) Rechercher une solution non nulleϕ(x) développable en série entière.

b) Terminer de résoudre l’équation par le changement de fonction inconnue y(x) =ϕ(x)z(x)

On étudie l’équation différentielle suivante sur ]0,+∞[

(E) :xy⁰⁰+ 3y⁰−4x³y= 0

a) Chercher une solutionϕ(x) développable en série entière au voisinage de 0 et non nulle.

b) Terminer de résoudre l’équation par le changement de fonction inconnue y(x) =ϕ(x)z(x)

On étudie sur ]0,1[ l’équation différentielle suivante x²(1−x)y⁰⁰−x(1 +x)y⁰+y= 0

a) Rechercher une solution développable en série entière non nulleϕ(x).

b) Achever de résoudre cette équation par le changement de fonction y(x) =ϕ(x)z(x).

Résolution par changement de variable

Résoudre surR^+? l’équation

x²y⁰⁰+xy⁰+y= 0 en posantx= e^t.

Résoudre surR^+? les équations suivantes via le changement de variablet= lnx.

a) x²y⁰⁰+xy⁰−y =x² b) x²y⁰⁰−2y=x

Résoudre sur ]−1,1[ l’équation

(1−x²)y⁰⁰−xy⁰+ 4y= arccosx en procédant au changement de variablex= cos(t).

(1 +x²)²y⁰⁰+ 2(x−1)(1 +x²)y⁰+y= 0 en procédant au changement de variablet= arctanx.

Résoudre surR

(x²+ 1)²y⁰⁰+ 2x(x²+ 1)y⁰+y= 0 viat= arctanx.

Résoudre surRl’équation y⁰⁰+ 2t

t²+ 1y⁰+ 1

(t²+ 1)²y= t (t²+ 1)² en posantx= arctant.

(10)

En indiquant les hypothèses nécessaires, effectuer le changement de variable u=ϕ(t) dans l’équation différentielle

(1 +t²)x⁰⁰+tx⁰+a²x= 0

tel qu’elle devienne une équation à coefficients constants et la résoudre.

On veut résoudre

(E) : (x+ 1)y⁰⁰−(3x+ 4)y⁰+ 3y= (3x+ 2)e^3x

Si ∆ est l’opérateur de dérivation etQ(X) =X−3, on aQ(∆)(y) =y⁰−3y.

Montrer l’existence d’un polynômeP de la formea(x)X+b(x) tel que (E) devienne

(P(∆)◦Q(∆)) (y) = (3x+ 2)e^3x

Résoudre l’équation à l’aide du changement de variablez=Q(∆)(y).

Equations vectorielles d’ordre 1

Soienta, b∈ L(E) vérifiant a◦b=b◦a.

En considérant pourx0∈E, l’applicationt7→(exp(ta)◦exp(tb))x0, établir exp(a+b) = exp(a)◦exp(b)

On munitRⁿ de sa structure euclidienne canonique et on identifieL(Rⁿ) avec Mn(R).

SoitA∈ Mn(R). Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : (i) la matriceA est antisymétrique ;

(ii) chaque solutionY du système différentielY⁰=AY est de norme constante.

SoitA∈ M_2n(R) une matrice vérifiant

A²+I_2n=O_2n Exprimer la solution générale de l’équation matricielle

X⁰(t) =AX(t)

SoitA∈ Mn(C) une matrice dont aucune valeur propre n’est élément de 2iπZ. a) Montrer que e^A−In est inversible.

SoitB:R→ Mn,1(C) une fonction continue et 1-périodique.

b) Montrer que l’équation

(E) :X⁰=AX+B(t)

d’inconnueX :R→ Mn,1(C) possède une unique solution 1-périodique.

a) SoitN ∈ Mn(C) nilpotente d’indicep. Montrer que (In, N, N², . . . , N^p−1) est une famille libre.

Exprimer

e^t(λIⁿ^+N⁾

b) SoitA∈ Mn(C) ayant pour unique valeur propreλ∈C. Montrer que N =A−λIn est nilpotente.

Montrer que les solutions du système différentielX⁰ =AXsont toutes bornées sur Rsi, et seulement si,λest imaginaire pur etA=λIn.

c) SoitA∈ Mn(C) de polynôme caractéristique (X−λ1)ⁿ¹. . .(X−λm)ⁿ^m

lesλk étant deux à deux distincts. Soitf l’endomorphisme deCⁿ canoniquement associé àA. Montrer que

Cⁿ= ^m⊕

k=1

ker(f−λ_kId_Cn)ⁿ^k

En déduire l’existence d’une base deCⁿ dans laquelle la matrice def est diagonale par blocs.

d) Avec les notations de c). Montrer que les solutions deX⁰=AX sont bornées si, et seulement si, lesλk sont imaginaires purs et queAest diagonalisable.

e) Montrer qu’une matrice antisymétrique réelle est diagonalisable.

Systèmes différentiels d’ordre 1

Résoudre le système différentiel réel suivant

(x⁰= cos(t)x+ sin(t)y y⁰=−sin(t)x+ cos(t)y

(11)

Résoudre le système différentiel suivant

(x⁰₁= (2−t)x1+ (t−1)x2

x⁰₂= 2(1−t)x₁+ (2t−1)x₂

Résoudre le système différentiel suivant :

(x⁰₁= (t+ 3)x₁+ 2x₂ x⁰₂=−4x1+ (t−3)x2

Résoudre le système différentiel

(x⁰₁= (1 +t)x₁+tx₂−e^t x⁰₂=−tx1+ (1−t)x₂+ e^t

Systèmes différentiels d’ordre 1 à coefficients constants

(x⁰= 4x−2y y⁰=x+y

(x⁰₁=−x1+ 3x2+ e^t x⁰₂=−2x1+ 4x2

(x⁰=x+ 8y+ e^t y⁰ = 2x+y+ e^−3t







x⁰ =y+z y⁰=x z⁰ =x+y+z







x⁰ = 2x−y+ 2z y⁰= 10x−5y+ 7z z⁰ = 4x−2y+ 2z

Résoudre le système différentiel linéaire







x⁰ =x−z y⁰=x+y+z z⁰=−x−y+z

On étudie le système différentiel

(S) :







x⁰ =z−y y⁰=x−z z⁰ =y−x a) Ce système possède-t-il des solutions ?

b) Sans résoudre le système, montrer que pour tout réelt, le pointM(t) de coordonnées (x(t), y(t), z(t)) se situe à l’intersection d’un plan et d’une sphère.

c) CalculerA³ et exprimer sous forme matricielle la solution générale du système (S).

(12)

SoitAune matrice non inversible deMn(R) ett7→X(t) une solution du système différentielX⁰ =AX. Montrer que les valeurs prises par la fonctiont7→X(t) sont incluses dans un hyperplan affine.

(13)

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

C’est une équation différentielle linéaire du premier ordre.

Solution homogène :y0(x) =C√ x²−1.

Par variation de la constante, solution particulièrey1(x) = 2(x²−1).

Solution générale :y(x) =C√

x²−1 + 2(x²−1).

C’est une équation différentielle linéaire de solution générale homogène y(x) = λ

cosx

L’application de la méthode de la variation de la constante amène à déterminer Z

cos³xdx= Z

cosxdx− Z

cosxsin²xdx= sinx−1 3sin³x Au final, on obtient la solution générale

y(x) =

1

3sin³x−sinx+λ cosx

a)y(x) = (C+ sin²x)e^x b)y(x) = (x²+C)e^−x² c)y(x) =Ccosx−2 cos²x

a) Solution de l’équation homogène surR:y(x) =Ce¹²^(x+1)² avecC∈R. Solution particulière surR:y₀(x) =−1.

Solution générale surR

y(x) =Ce¹²^(x+1)²−1 avecC∈R On auray(0) = 1 si, et seulement si,C= 2/√

e.

b) Solution de l’équation homogène surR:y(x) =C√

x²+ 1e^arctan^xavecC∈R Solution particulière surR:y₀(x) =x−1 après recherche de solution de la forme ax+b.

Solution générale surR y(x) =Cp

x²+ 1e^arctan^x+x−1 avecc∈R On auray(0) =−1 si, et seulement si,C= 0.

a) C’est une équation différentielle linéaire. La solution générale homogène est y(x) = λ

1−x b) Analyse :

Supposonsysomme d’une série entière P

anxⁿ de rayon de convergenceR⁰>1 solution sur ]0,1[ de l’équation (E). Pour x∈]0,1[, on a

y⁰(x) =

+∞

X

n=1

nanxⁿ⁻¹=

+∞

X

n=0

(n+ 1)an+1xⁿ et donc

(1−x)y⁰(x) +y(x) =

+∞

X

n=0

[(n+ 1)(a_n+1−a_n)]xⁿ=

+∞

X

n=0

b_nxⁿ Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, on obtient

∀n∈N, a_n+1=a_n+ b_n n+ 1 et donc

∀n∈N^?, a_n=a₀+

n−1

X

k=0

b_k k+ 1 Synthèse :

Considérons la suite (an)_n∈N^? déterminée para0= 0 et

∀n∈N^?, a_n =

n−1

X

k=0

b_k k+ 1 Pour|x|<1, on a

|anxⁿ|6

n−1

X

k=0

|bk| |x|ⁿ k+ 1 6

n−1

X

k=0

|bk| |x|^k

(14)

Or la sérieP

bnxⁿ est absolument convergente (carR>1) et donc la suite (anxⁿ) est bornée.

On en déduit que le rayon de convergenceR⁰ de la série entière P

anxⁿ vérifie R⁰ >1 et les calculs qui précède assure que sa somme est solution sur ]−1,1[ de l’équation étudiée.

La solution générale de l’équation étudiée est y(t) =λe^A(t) avecA(t) =

Z t 0

a(u)du Or pour toutt>0,

|A(t)|6 Z t

0

|a(u)|du6 Z +∞

0

|a(u)|du et donc la fonctiony est bornée.

a) La solution générale de l’équation différentielley⁰+y=hest y(x) =

λ+

Z x 0

h(t)e^tdt

e^−x Pour toutε >0, il existeA∈Rtel que

∀x>A,|h(t)|6ε On a alors

y(x) = λ+ Z A

0

h(t)e^tdt

! e^−x+

Z x A

h(t)e^t−xdt avec

Z x A

h(t)e^t−xdt

6εet λ+ Z A

0

h(t)e^tdt

!

e^−x−−−−−→

x→+∞ 0

b) Posonsh=f⁰+f−`.f −`est solution de l’équation différentielley⁰+y=h doncf−`−−→

+∞ 0 puisf −−→

+∞ `.

Posonsg=f⁰+αf. La fonctionf est solution de l’équation différentielle.

y⁰+αy=g

La solution générale de cette équation différentielle est y(x) =λe^−αx+

Z x 0

g(t)e^α(t−x)dt Ainsi, on peut écrire

f(x) =λe^−αx+ Z x

0

g(t)e^α(t−x)dt Il est immédiat queλe^−αx→0 quandx→+∞car Reα >0.

Étudions maintenant la limite du terme intégral.

Soitε >0. Puisque la fonction gtend vers 0 en +∞, il existe A>0 tel que

∀t>A,|g(t)|6ε On a alors pour toutx>A

Z x 0

g(t)e^α(t−x)dt= Z A

0

g(t)e^α(t−x)dt+ Z x

A

g(t)e^α(t−x)dt avec

Z x A

g(t)e^α(t−x)dt 6

Z x A

εe^{Re(α)(t−x)}dt6 ε Re(α)

h

e^{Re(α)(t−x)}ix

A6 ε

Re(α) et

Z A 0

g(t)e^α(t−x)dt

=

Z A 0

g(t)e^αtdt

e^−Re(α)x=C^tee^−Re(α)x−−−−−→

x→+∞ 0 Pourxassez grand on a alors

Z x 0

g(t)e^α(t−x)dt 6 ε

Re(α)+ε AinsiRx

0 g(t)e^α(t−x)dt−−−−−→

x→+∞ 0 puisf(x)−−−−−→

x→+∞ 0.

(15)

a) Posonsz(t) =y(t+T). La fonctionz est dérivable surRet

∀t∈R, z⁰(t) +αz(t) =y⁰(t+T) +αy(t+T) =ϕ(t+T) =ϕ(t) La fonctionz est donc solution de (E).

b) Siyest T-périodique, on a évidemmenty(0) =y(T).

Inversement, siy(0) =y(T) alorsy etz sont solutions d’un même problème de Cauchy posé en 0. Par unicité de ces solutions, on peut conclurey=z.

c) On peut exprimer la solution générale de l’équation (E) y(t) =

λ+

Z t 0

ϕ(u)e^αudu

e^−αt L’équationy(0) =y(T) équivaut alors l’équation

λ= λ+ Z T

0

ϕ(u)e^αudu

! e^−αT

Si e^αT 6= 1, cette équation précédente possède une unique solution en l’inconnueλ ce qui déterminey.

La condition e^αT = 1 est uniquement vérifiée pour les valeurs α= 2ikπ

T aveck∈Z

SurR^+? ouR^−?,

E⇔y⁰= 1 x²y Solution générale :y(x) =Ce^−1/x.

Soity une solution surR.

y est solution surR^+? etR^−? donc il existeC⁺, C⁻∈Rtelles que

∀x >0, y(x) =C⁺e^−1/x et∀x <0, y(x) =C⁻e^−1/x Continuité en 0

y(x)−−−−→

x→0+ 0 ety(x)−−−−→

x→0−

(±∞siC⁻ 6= 0 0 sinon Nécessairementy(0) = 0 etC⁻ = 0.

Dérivabilité en 0 y⁰(x) =C⁺

x² e^−1/x−−−−→

x→0+ 0 ety⁰(x)−−−−→

x→0− 0 doncy⁰(0) = 0 Equation différentielle en 0 : 0²y⁰(0)−y(0) = 0 : ok.

Finalement

∃C∈R,y(x) =

Ce^−1/x six >0

0 sinon

Inversement une telle fonction est solution.

Solution générale surR^+? ouR^−?

y(x) = C+x

e^x−1 avecC∈R Soityune fonction solution surR^+? etR^−?.

Il existeC⁺, C⁻ ∈Rtels que

∀x >0, y(x) =C⁺+x

e^x−1 et∀x <0, y(x) = C⁻+x e^x−1 Pour que la fonctiony puisse être prolongée par continuité en 0, il faut C⁺=C⁻= 0 auquel cas

y(x) = x

e^x−1 pour x6= 0 et la fonction se prolonge pary(0) = 1.

On vérifie que ce prolongement est de classeC^∞ car inverse d’une fonction développable en série entière.

De plus

∀x∈R,(e^x−1)y(x) =x

donne par dérivation, la vérification de l’équation différentielle surR. Finalement, il existe une seule solution surR:

y(x) = x

e^x−1 prolongée par continuité avecy(0) = 1

(16)

Solution générale surR^+? ouR^−?

y(x) =Cshx−chx Après recollement en 0, solution générale surR

y(x) =Cshx−chxavecC∈R Exercice 13 :[énoncé]

SurR⁺,E⇔y⁰+y=xde solution généraley(x) =Ce^−x+x−1.

SurR⁻,E⇔y⁰+y= 0 de solution généraley(x) =Ce^−x. Soity solution deE surR.

Commey est solution surR⁺ et R⁻, il existeC⁺, C⁻∈Rtelle que

∀x>0, y(x) =C⁺e^−x+x−1 et∀x60, y(x) =C⁻e^−x Définition en 0 :y(0) =C⁺−1 =C⁻ doncC⁺=C⁻+ 1.

Dérivabilité en 0 :y⁰(x)−−−−→

x→0+ −C⁺+ 1 ety⁰(x)−−−−→

x→0− −C⁻ doncy⁰(0) =−C⁺+ 1 =−C⁻.

Equation différentielle en 0 :−C⁺+ 1 +C⁺−1 = max(0,0) : ok Finalement, il existeC∈Rtelle que

y(x) =

(Ce^−x+x−1 six>0 (C−1)e^−xsinon Inversement : ok

C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 définie sur ]0,+∞[.

Sur ]0,1[ ou ]1,+∞[,

Z 3 lnx+ 1

xlnx dx= 3 lnx+ ln|lnx|+C^te Solution générale sur ]0,1[ ou ]1,+∞[

y(x) =λx³|lnx|

Solution sur ]0,+∞[.

Soienty: ]0,1[∪]1,+∞[→Rsolution de l’équation sur ]0,1[ et ]1,+∞[.

Il existeλ, µ∈Rvérifianty(x) =λx³lnxsur ]0,1[ ety(x) =µx³lnxsur ]1,+∞[.

La continuité en 1 donney(1) = 0 sans conditions surλetµ.

La dérivabilité en 1 donneλ=µ.

Ainsiy(x) =λx³lnxsur ]0,+∞[ qui est évidement solution.

a) Solution générale surR^+? ouR^−? :

y(x) =xln|x|+CxavecC∈R Pas de recollement possible en 0.

b) Solution générale surR^+? ouR^−? : y(x) = 1 + C

x avecC∈R Après recollement en 0, solution générale surR:y(x) = 1.

c) Solution générale surR^+? ouR^−? : y(x) = 1

2x⁴+Cx²avecC∈R Après recollement en 0, solution générale surR:

y(x) =







C⁺x²+1

4x⁴ six>0 C⁻x²+1

4x⁴ six <0

avecC⁺, C⁻∈R

d) Solution générale surR^+? ouR^−? : y(x) = 1

x+Cx²+ 1

x avecC∈R Via

x²−1

x(1 +x²)= 2x²−(1 +x²)

x(1 +x²) = 2x 1 +x² −1

x Après recollement en 0, solution générale surR:y(x) =−x.

a) Solution générale surIk= ]kπ,(k+ 1)π[, k∈R: y(x) = cosx+CsinxavecC∈R Après recollement en chaquekπ, solution générale surR: y(x) = cosx+CsinxavecC∈R b)) Solution générale surIk = ]kπ,(k+ 1)π[, k∈R:

y(x) =Ce^1/sin²^x avecC∈R

(17)

Après recollement en chaquekπ, solution générale surR: y(x) =

(Cke^1/sin²^xsix∈Ik

0 si x=kπ avec (Ck)∈R^Z

a) SoitI= ]−π/2, π/2[ le plus grand intervalle contenant où l’équation différentielle a un sens.

PosonsI⁺= ]0, π/2[ etI⁻= ]−π/2,0[.

Solution générale surI⁺ :y(x) =C⁺sinx.

Solution générale surI⁻ :y(x) =C⁻sinx.

Cherchons les solutions définies surI.

Analyse : Soity une solution surI, s’il en existe.

y est a fortiori solution surI⁺ et I⁻ donc :

∃C⁺, C⁻ ∈Rtel que y(x) =C⁺sinxsur I⁺ et y(x) =C⁻sinxsurI⁻. Commey doit être continue en 0, lim

x→0+y(x) = lim

x→0−y(x) =y(0) = 0. Pas d’informations surC⁺ niC⁻.

Commey doit être dérivable en 0,

x→0+lim

y(x)−y(0)

x =C⁺=y⁰(0) = lim

x→0−

y(x)−y(0) x =C⁻. DoncC⁺=C⁻. Finalement y(x) =C⁺sinxsurI entier.

Synthèse :y(x) =Csin(x) avecC∈Rest bien solution surI.

On auray(0) = 0⇔C.sin(0) = 0 ce qui est toujours vraie.

Il y a ici une infinité de solutions au problème de Cauchy.

b) On auray(0) = 1⇔C.sin(0) = 1 ce qui est impossible.

Il n’y a ici aucune solution au problème de Cauchy.

SoitI= ]−∞,−1[,]−1,0[,]0,1[ ou ]1,+∞[.

SurI, l’équation différentielle devient :y⁰+_x(x2²−1)y=_x2^x−1. La solution générale surIest ^x²^(ln|x|+C)_x2−1 avecC∈R.

Après recollement en 1, 0 et -1 on conclut, pour tout intervalleI: Si 1,0,−1∈/I, y(x) =^x²^(ln|x|+C)_x2−1 avecC∈R

Si 1,−1∈/ I et 0∈I,y(x) =











x²ln|x|+C⁺x²

x²−1 six >0 0 si x= 0

x²ln|x|+C⁻x²

x²−1 six <0

avecC⁺, C⁻ ∈R.

Si 1∈I ou−1∈I,y(x) = ^x_x²2^ln|x|−1 .

SurR^+? et R^−? :y(x) =C|x|^α. Soityune solution surR.

On ay(x) =C⁺x^α surR^+? ety(x) =C⁻|x|^α surR^−?.

Siα <0, la limite en 0 impliqueC⁺=C⁻= 0 doncy= 0. Inversement ok.

Siα= 0, la limite en 0 donneC⁺=C⁻ et on conclut quey est constante.

Inversement ok.

Siα >0, la limite en 0 donney(0) = 0.

On ay⁰(x) =αC⁺x^α−1 surR^+? ety(x) =−αC⁻|x|^αsurR^−?.

Siα <1, la limite en 0 impliqueC⁺=C⁻= 0 doncy= 0. Inversement ok.

Siα= 1, la limite en 0 impliqueC⁺=−C⁻ et on conclut quey est linéaire.

Inversement ok.

Siα >1, la limite en 0 existe et est nulle ce qui permet d’affirmery⁰(0) = 0 L’équation différentielle est bien vérifiée en 0.

Inversement, lorsqueα >1, la fonction définie pary(x) =







C⁺x^α six >0 0 six= 0

C⁻(−x)^αsix <0 est solution.

a) On résout l’équation différentielle linéaire étudiée et, par la méthode de variation de la constante, on obtient la solution générale suivante

g(x) =λx+x Z x

1

f(t) t² dt Par une intégration par parties, on peut écrire

g(x) =λx−f(x) +xf(1) +x Z x

1

f⁰(t) t dt Quandx→0⁺, on a

x

Z x 1

f⁰(t) t dt

6kf⁰k_∞,[0,1]x|lnx|

et on obtient

g(x)→ −f(0) Quandx→0⁺

1

x(g(x)−g(0)) =λ−f(x)−f(0)

x +f(1) + Z x

1

f⁰(t) t dt