Chapitre 3: Equations différentielles

Chapitre 3:

Equations différentielles

Module: Analyse 2 SMP-SMC

20 mars 2020

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Sommaire

1 Introduction

2 Equation différentielle linéaire du premier ordre

3 Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

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Sommaire

1 Introduction

2 Equation différentielle linéaire du premier ordre

3 Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

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SoitF(x,z0,z1, ...,zn)une fonction de(n+2)variables réelles définie sur une partieAdeRⁿ⁺². Une équation différentielles est une équation qui s’écrit sous la forme :

(E) : F(x,y,y⁰, ....,y⁽ⁿ⁾) =0 où l’inconnuey est une fonction de la variable réellex.

L’entiernest dit ordre de l’équation différentielle.

Résoudre l’équation différentielle(E), c’est déterminer sa solution générale c-à-d toutes les fonctionsgdéfinies et dérivables jusqu’a l’ordrensur un intervalleJ deRtelles que :

x ∈J=⇒(x,g(x),g⁰(x), ....,g⁽ⁿ⁾(x))∈A et

F(x,g(x),g⁰(x), ....,g⁽ⁿ⁾(x)) =0

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Exemples

1 La quantité de carbone notéeN(t)dans un échantillon animal ou végétal décroit après la mort de celui-ci. Elle vérifié l’équation différentielle

dN

dt =−λ.N

2 Considérons la chute d’un corps de massemsoumis à frottement fluide, proportionel à la vitesse. Le vecteur positionx(t)est solution de l’équation différentielle

mx⁰⁰+γx⁰−mgx =0.

3 Considérons un circuitRLC en série. L’intensitéi qui traverse le circuit obéit à l’équation différentielle :

Ld²i dt²+Rdi

dt + ¹ Ci=0.

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Sommaire

1 Introduction

2 Equation différentielle linéaire du premier ordre

3 Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

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Une équation différentielle est du premier ordre si elle ne fait intervenir que la première dérivéey⁰.

Définition : Equation différentielle linéaire du premier ordre

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation du type :

y⁰=a(x)y+b(x) (E)

oùaetbsont des fonctions définies sur un intervalleI deR^et continues surI.

L’équationy⁰−a(x)y =0est l’équation sans second membre (E.S.S.M) associée à(E).

Théorème

SoitAune primitive deasur l’intervalleI. La solution générale de l’

ESSM :y⁰−a(x)y=0 définie surI esty =K e^A(x) oùK ∈R

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Théorème

Soity₀une solution particulière de(E)définie surI. Les solutions de (E)sont exactement les fonctionsy0+y oùy est une solution de l’ESSM. C-à-d :

y_(E)=y₀+y Doncy_(E)=y₀+Ke^A(x),K ∈R

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Solution particulière par variation de la constante.

y =Ke^A(x)est la solution générale de L’ESSM, on cherche une solution particulière de (E) sous la formey₀=K(x)e^A(x).

y0est une solution de (E) ssiy₀⁰−a(x)y0=b(x)

ssiK⁰(x)e^A(x)+K(x)A⁰(x)e^A(x)−a(x)K(x)e^A(x)=b(x) ssiK⁰(x)e^A(x)+K(x)a(x)e^A(x)−a(x)K(x)e^A(x)=b(x) ssiK⁰(x)e^A(x)=b(x)ssiK⁰(x) = ^b(x)

e^A(x) On en déduitK(x)en intégrantK(x) =

Z b(x) e^A(x)dx d’où

y₀=e^A(x)

Z b(x) e^A(x)dx

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Exemple

Résoudre sur]0,+∞[l’équation différentielle xy⁰=2y+x³e^x (E) Sur]0,+∞[ (E)⇐⇒y⁰=^2y

x +x²e^x

−→ESSM : y⁰=^2y

x =⇒y=Kexp(

Z 2

xdx) =Kexp(2logx) =Kexp(logx²) =Kx² Doncy =Kx².

−→On cherche une solution particulière sous la formey_p=K(x)x² y_p⁰ =K⁰(x)x²+2xK(x)

y_p⁰ =^2y

x +x²e^x⇐⇒K⁰(x)x²+2xK(x) =2K(x)x+x²e^x

⇐⇒K⁰(x)x²=x²e^x ⇐⇒K⁰(x) =e^x ⇐⇒K(x) =e^x

Doncyp=x²e^x. La solution générale de (E) esty =Kx²+x²e^x,K ∈R

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Exemple

Résoudre sur]0,+∞[l’équation différentielle xy⁰=2y+x³e^x (E) Sur]0,+∞[ (E)⇐⇒y⁰=^2y

x +x²e^x

−→ESSM : y⁰=^2y

x =⇒y=Kexp(

Z 2

xdx) =Kexp(2logx) =Kexp(logx²) =Kx² Doncy =Kx².

−→On cherche une solution particulière sous la formey_p=K(x)x² y_p⁰ =K⁰(x)x²+2xK(x)

y_p⁰ =^2y

x +x²e^x⇐⇒K⁰(x)x²+2xK(x) =2K(x)x+x²e^x

⇐⇒K⁰(x)x²=x²e^x ⇐⇒K⁰(x) =e^x ⇐⇒K(x) =e^x

Doncyp=x²e^x. La solution générale de (E) esty =Kx²+x²e^x,K ∈R

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Proposition :(Superposition des solutions)

Soit l’équation

y⁰=a(x)y+b(x) (E) avecb(x) =

n

∑

k=1

b_k(x). Soient

y⁰=a(x)y+b_k(x) (E_k)

siyk est une solution particulière de(Ek)alorsy =

n

∑

k=1

yk est une solution particulière de (E).

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Sommaire

1 Introduction

2 Equation différentielle linéaire du premier ordre

3 Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

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Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

Une équation différentielle linéaire du second ordre, à coefficients constants, est une équation de la forme :

ay⁰⁰+by⁰+cy =g(x) (E)

oùa,b,c∈R^,a6=0 etgest une fonction continue sur un intervalleI.

L’équation différentielle :

ay⁰⁰+by⁰+cy =0 (E0)

est appelée l’équation sans second membre associée à(E).

−→L’équationar²+br+c=0 est appelé l’équation caractéristique de (E0).

Soit∆ =b²−4ac, le discriminant de l’équation caractéristique associée à(E0).

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Résolution de L’ESSM.

Théorème

Soit l’ ESSM suivanteay⁰⁰+by⁰+cy =0 (E0).

−→Si∆>0, l’équation caractéristique possède deux racines réelles distinctesr₁6=r₂et les solutions de(E₀)sont les

y(x) =λe^r1x+µe^r2x oùλ,µ∈R

−→Si∆ =0, l’équation caractéristique possède une racine doubler₀ et les solutions de(E₀)sont les

y(x) = (λ+µx)e^r0x oùλ,µ∈R

−→Si∆<0, l’équation caractéristique possède deux racines complexesr1=α+iβ,r2=α−iβet les solutions de(E0)sont y(x) =e^αx λcos(βx) +µsin(βx)

oùλ,µ∈R

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Exemples

1) Résoudrey⁰⁰−y⁰−2y =0. L’équation caractéristique est r²−r−2=0,∆>0,r1=−1,r2=2. D’oùy(x) =λe^−x+µe^2x, λ,µ∈R

2) Résoudrey⁰⁰−4y⁰+4y =0. L’équation caractéristique est r²−4r+4=0,∆ =0,r0=2. D’oùy(x) = (λx+µ)e^2x,λ,µ∈R^.

3) Résoudrey⁰⁰−2y⁰+5y =0. L’équation caractéristique est r²−2r+5=0,∆<0,r₁=1+2i,r₂=1−2i. D’où

y(x) =e^x(λcos(2x) +µsin(2x)),λ,µ∈R

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Résolution de L’équation complète (E)

(E) :ay⁰⁰+by⁰+cy =f(x)

Proposition

Pour toutx₀∈I et(α,β)∈R², l’équation (E) admet une solution unique y telle quey(x0) =αety⁰(x0) =β.

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Remarque : (Principe de superposition des solutions)

Sif(x)est somme de plusieurs fonctions

f(x) =f₁(x) +f₂(x) +...+f_n(x). On cherche une solution particulièrez_i de chaque équationay⁰⁰+by⁰+cy =fi(x), et la fonction

z=z₁+z₂+....+z_nest une solution particulière de(E). Exemple :

Une solution particulière de l’équation différentielle y⁰⁰+4y⁰+4y=x+e^−2x (E)

est la fonctionyp=y1p+y2p avecy1p ety2p sont des solutions particulières d équations :

y⁰⁰+4y⁰+4y =x (E1) y⁰⁰+4y⁰+4y =e^−2x (E₂)

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Théorème

Soity1une solution particulière de(E)définie surI. Les solutions de (E)sont exactement les fonctionsy1+y oùy est une solution de l’ESSM. C-à-d

y_(E)=y1+y_(ESSM)

La résolution de (E) se ramène donc à la détermination d’une solution particulière de (E).

−→Cas général: S’il n’y a pas de solution particulière évidente, on fait la méthode de la variation de la constante :

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(Méthode de variation de la constante : Méthode de Lagrange)

On cherche une solution particulière sous la forme y =A(x)y₁+B(x)y₂avec la condition de Lagrange

A⁰(x)y1+B⁰(x)y2=0 oùy₁ety₂sont donnés par :







y₁=e^r1x ety₂=e^r2x si∆>0 ; y₁=xe^rx ety₂=e^rx si∆ =0 ;

y1=e^αxcosβx ety2=e^αxsinβx si∆<0.

A⁰(x)etB⁰(x)vérifiant le système A⁰(x)y1+B⁰(x)y2=0 ;

A⁰(x)y₁⁰+B⁰(x)y₂⁰= ¹_af(x). on trouveA⁰etB⁰et par intégration on trouveAetB.

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Exemple

Résoudre l’équation différentielle

y⁰⁰+3y⁰+2y= ¹

1+e^2x (E) L’ ESSM :y⁰⁰+3y⁰+2y =0.

L’équation caractéristique :r²+3r+2=0⇐⇒r =−1 etr =−2. La solution générale de l’ESSM est

y =Ae^−x+Be^−2x, avec(A,B)∈R² On cherche une solution particulière de(E)sous la forme y =A(x)e^−x+B(x)e^−2x avec la condition de Lagrange

A⁰(x)e^−x+B⁰(x)e^−2x =0 etA⁰(x)etB⁰(x)vérifient le système : ( _A0(x)e^−x+B⁰(x)e^−2x =0 (1) ;

−A⁰(x)e^−x−2B⁰(x)e^−2x = ¹

1+e^2x (2).

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(1) + (2) =⇒ −B⁰(x)e^−2x = ¹

1+e^2x =⇒B⁰(x) =− ^e

2x

1+e^2x. DoncB(x) =−

Z e^2x

1+e^2xdx =−¹

2log(1+e^2x) 2×(1) + (2)impliqueA⁰(x)e^−x = ¹

1+e^2x =⇒A⁰(x) = ^e

x

1+e^2x Posonst =e^x,dt =e^xdx. Donc

A(x) =

Z e^x

1+e^2xdx= Z dt

1+t² = arctan(t) = arctan(e^x) Une solution particulière est

y_p= arctan(e^x)e^−x−¹

2log(1+e^2x)e^−2x La solution générale de(E)est

y =Ae^−x+Be^−2x+ arctan(e^x)e^−x−¹

2log(1+e^2x)e^−2x

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Cas particuliers

1 ) Cas où

(

) =

(

) avec λ ∈ R ^et

(

) un polynôme.

On cherche une solution particulière sous la forme :

y =e^λxQ(x), siλn’est pas racine dear²+br+c=0 y =xe^λxQ(x), siλest une racine simple dear²+br+c=0 y =x²e^λxQ(x), siλest une racine double dear²+br+c=0 avecQ(x)un polynôme tel qued^◦Q=d^◦P.

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2 ) Cas où

(

) =

(

) , où

est un polynôme.

On applique le cas précédent avecλ=0

y =Q(x), si 0 n’est pas racine dear²+br+c=0 y =xQ(x), si 0 est une racine simple dear²+br+c=0 y =x²Q(x), si 0 est une racine double dear²+br+c=0 oùQ(x)un polynôme tel qued^◦Q=d^◦P.

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3 ) Cas où

(

) =

(

) cos β

ou bien

f

(

) =

(

) sin β

avec

(

) un polynôme, α ∈ R , β ∈ R

On cherche une solution particulière sous la forme :

y =e^αx(P1(x) cosβx+P2(x) sinβx), siα+iβn’est pas racine de ar²+br+c=0

y =e^αx(xP1(x) cosβx+xP2(x) sinβx), siα+iβest une racine de ar²+br+c=0

avecP₁(x)etP₂(x)sont deux polynôme tels qued^◦P=d^◦P₁=d^◦P₂.

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Exemples

1) Résoudre l’équation différentielle

y⁰⁰

+ 4y

+ 4y =

+

(

)

−→ESSM :y⁰⁰+4y⁰+4y =0 l’équation caractéristique : r²+4r+4=0⇐⇒(r+2)²=0 (∗)r =−2

La solution générale de L’ESSM esty = (Ax+B)e^−2x avec (A,B)∈R^2.

−→Soient les équations :

y⁰⁰+4y⁰+4y =x (E₁) y⁰⁰+4y⁰+4y =e^−2x (E₂)

→Puisque 0 n’est pas racine de (*), on cherche une solution particulière de(E₁)sous la formey₁=ax+b

On a :y₁⁰ =aety₁⁰⁰=0

y₁⁰⁰+4y₁⁰+4y₁=x⇐⇒4a+4ax+4b=x ⇐⇒

4a=1 ;

4a+4b=0.

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⇐⇒a=¹₄ etb= ⁻₄¹ doncy₁= ^x−₄¹.

→Puisque−2 est une solution double de l’équation caractéristique, on chereche une solution particulière de(E2)sous la formey2=αx²e^−2x y₂⁰ =2αxe^−2x−2αx²e^−2x,

y₂⁰⁰=2αe^−2x−4αxe^−2x−4αxe^−2x+4αx²e^−2x. y₂⁰⁰+4y₂⁰+4y2=e^−2x ⇐⇒

e^−2x(2α−8αx+4αx²+8αx−8αx²+4αx²) =e^−2x

⇐⇒2αe^−2x =e^−2x ⇐⇒2α=1⇐⇒α=¹ 2 y2=^x

2

2 e^−2x.

Donc une solution particulière de(E)esty_p=y₁+y₂=^x−₄¹+^x₂²e^−2x. La solution générale de(E)est alors

y = (Ax+B)e^−2x+^x−1 4 +^x

2

2e^−2x avec(A,B)∈R²

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