Corrigé de la Série 3: Equations différentielles Ex1:

Corrigé de la Série 3: Equations différentielles

Ex1:

1. On commence par résoudre l'équation sans second membre 𝑦

+2 𝑥 𝑦 = 0 implique que

𝑦

= - 2x donc la solution sans second membre est y =c 𝑒

On cherche ensuite une solution particulière sous la forme y=ax+b

on trouve 2a𝑥

+2bx+a=x par identification a=0 et b=1/2 alors la solution particulière est y=1/2 par conséquent la solution générale est e la forme y= c 𝑒

+1/2

3. On commence par résoudre l'équation sans second membre 𝑦′ −

𝑥

= 0 par conséquent

=

donc la solution sans second membre est y =c x

On cherche ensuite une solution particulière de l'équation en utilisant la méthode de variation de la constante.

On pose donc y=c(x).x , et introduisant y dans l'équation avec second membre, on trouve

c'(x) =

implique c(x)= -

+k

Finalement, les solutions de l'équation y=cx-1.

on a y(1)=0 donc c=1 La solution est donc y= x - 1.

4. On commence par résoudre l'équation sans second membre (1 + 𝑥

)𝑦′ − 𝑥𝑦 = 0 alors

𝑦

=

1+𝑥²

donc la solution sans second membre est de la forme y =

1+𝑥²

On cherche ensuite une solution particulière de l'équation en utilisant la méthode de variation de la constante.

On pose donc y=

, et introduisant y dans l'équation avec second membre, on trouve

c'(x) = 1 implique c(x)= x +𝑘

et la solution particulière est y=

Finalement, les solutions de l'équation y=

1+𝑥²

.

Département de Mathématiques Ex2:

Ex3:

Département de Mathématiques

Département de Mathématiques

Une solution particulière est donc