Université Mohammed V SMPC2/Analyse2 Faculté des Sciences, Rabat 2019-2020 Département de Mathématiques
Corrigé de la Série 4
Ex1:
1. Comme f (x, 0) = 0 et f (x, x-2)=1/2, alors la limite n’existe pas.
2. On pose x=r.cos(θ) et y= r.sin(θ) alors f(r,θ)=cos2(θ)sin 2(r.sin (θ))
1+2sin 2(θ) et │ f(r,θ) │≤sin2(r. sin(θ)) 3.
Ex2:
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montré que f au moins de classe 𝐶1 sur 𝑅2.
Ex3:
a. voir le cours
b.1. Les deux fonctions h: (x,y)→xy et g: (x,y)→ 𝑥
2+ 𝑦
2sont continues sur 𝑅
2-{(0,0)} et ∀ (x,y)∈ 𝑅
2-{(0,0)}, 𝑥
2+ 𝑦
2≠0 donc h/g est continue sur 𝑅
2-{(0,0)}.
- Continuité en (𝟎, 𝟎):
On pose x=r.cos(θ) et y= r.sin(θ)
│f(x,y)│=│
r.cos (θ).r.sin (θ)𝑟
│≤ r donc lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
f(x,y)=0=f(0,0) alors f est continue en (0,0).
2. a. Pour (x,y)≠ (0,0)
𝜕𝑓𝜕𝑥
(𝑥, 𝑦)=
𝑦3(𝑥2+𝑦2)3/2
et
𝜕𝑓𝜕𝑦
(𝑥, 𝑦)=
𝑥3(𝑥2+𝑦2)3/2
b.
𝜕𝑓𝜕𝑥(0,0)= lim
𝑥→0
𝑓(𝑥,0)−𝑓(0,0)
𝑥
=0 et
𝜕𝑓𝜕𝑦(0,0)= lim
𝑦→0
𝑓(0,𝑦)−𝑓(0,0)
𝑦
= 0
3. Différentiabilité en (0,0):
𝜀(x,y)=
𝑓(𝑥,𝑦)−𝑓(0,0)−𝑑𝑓(0,0)(𝑥,𝑦)││(𝑥,𝑦 )││
=
𝑥𝑦𝑥2+𝑦2
Pour y=x lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝜀(x,y)=1/2 Pour y=𝑥
2lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝜀(x,y)=0 Donc lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝜀(x,y) n'existe pas, par conséquent f n'est pas différentiable en (0,0).
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Ex4:
*
𝜕𝑓𝜕𝑥(𝑥, 𝑦)= 3𝑥2 + 6xy − 15 = 0 et 𝜕𝑓𝜕𝑦(𝑥, 𝑦)= 3𝑥2 − 12=0 donc f admet deux points critiques (2,1/4) et (-2,-1/4).
r=6x+6y, s=6x, t=0 puis 𝑠2− 𝑟𝑡 = 36𝑥2
ainsi 𝑠2− 𝑟𝑡(2,1/4)= 𝑠2− 𝑟𝑡(-2,-1/4)= 144> 0 alors f n’admet pas d’extremum local en (2,1/4) et (-2,-1/4).
*
𝜕𝑓𝜕𝑥(𝑥, 𝑦)= y.ln(x) +y= 0 et 𝜕𝑓𝜕𝑦(𝑥, 𝑦)= 2y+x.ln(x)=0 donc f admet deux points critiques (1,0) et (1
𝑒, 1
2𝑒).
r= 𝑦
𝑥 , s=1+ln(x) , t=2
En (1,0), 𝑠2− 𝑟𝑡 =1> 0 donc le point (1,0) est un point selle.
En (1
𝑒,2𝑒1) , 𝑠2− 𝑟𝑡 = −1< 0 et r(1𝑒,2𝑒1) = 1
2 > 0 donc le point (1𝑒,2𝑒1) est un minimum local.
