Equations différentielles

le 18 F´evrier 2010 UTBM MT12

Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr

Equations diff´ erentielles

K=Rou C.

1 Forme g´ en´ erale.

D´efinition 1.1 Soit n∈N^∗ fix´e.

i) On appelle´equation diff´erentielle d’ordrenen y: R→ K, r´esolue en y⁽ⁿ⁾, l’´equation (E) : y⁽ⁿ⁾ =ϕ(x, y, y^′, ..., y⁽ⁿ⁻¹⁾)

o`u ϕ:R×Kⁿ−→K une fonction.

ii) On appellesolution de (E) toute fonctionf :I_f ⊂R−→K (I_f intervalle),n fois d´erivable telle que

∀x∈I, f⁽ⁿ⁾(x) = ϕ(x, f(x), f^′(x), ..., f⁽ⁿ⁻¹⁾(x)).

Une solution est donc toujours associ´ee `a un intervalle I_f ⊂ R. La solution f de (E) est dite maximale ssi il n’existe pas de solution g surI_g telle que I_f ⊂I_g et I_f ̸=I_g et∀x∈I_f, f(x) = g(x).

Remarque 1.2 i) Si ϕ est continue alors les solutions appartiennent `a Cⁿ(If,K).

ii) La repr´esentation graphique d’une solution s’appelle courbe int´egrale de (E).

Exemples 1.3 i) (E) : y^′ =y². ii) (E) : y^′ = 2√

y (y≥0) iii) (E) : y^′′e^y′ = 2.

Probl` eme de Cauchy en un point.

D´efinition 1.4 Soit (E) : y⁽ⁿ⁾ =ϕ(x, y, y^′, ..., y⁽ⁿ⁻¹⁾).

On dit quef estune solution au probl`eme de Cauchy au point (x₀, y₀, y^′₀, ..., y⁽ⁿ₀ ⁻¹⁾)∈ R×Kⁿ ssi f est solution de E et f(x₀) =y₀, f^′(x₀) =y₀^′, ..., f⁽ⁿ⁻¹⁾(x₀) =y₀⁽ⁿ⁻¹⁾ (conditions initiales).

Th´eor`eme 1.5 (th´eor`eme de Cauchy-Lipschitz) (admis)

Soit(E) : y⁽ⁿ⁾ =ϕ(x, y, y^′, ..., y⁽ⁿ⁻¹⁾), une ´equation diff´erentielle avecϕ:I×J₁×...×J_n−→R C¹ (i.e. d´eriv´ees partielles continues) et I, J₁, ..., J_n ouverts.

Si (x₀, y₀, y^′₀, ..., y⁽ⁿ₀ ⁻¹⁾)∈I ×J₁ ×...×J_n alors il existe une unique solution maximale au probl`eme de Cauchy au point (x₀, y₀, y^′₀, ..., y⁽ⁿ₀ ⁻¹⁾) sur I.

Exercice 1.6 (voir exemple 1.3) i)

{ y^′ = 2.√ y

y(0) = 0 avec ϕ(x, y) = 2√

y∈ C¹(R×[0,+∞[,R) (intervalle non ouvert).

V´erifier que l’on a plusieurs solutions maximales.

ii)

{ y^′ = 2.√y

y(0) = 1 avec ϕ(x, y) = 2√

y ∈ C¹(R×]0,+∞[,R) (intervalle ouvert).

On n’a qu’une seule solution maximale :

y(x) = (t+ 1)² si t∈]−1,+∞[.

2 Equations du premier ordre ` a variables s´ epar´ ees.

D´efinition 2.1 On appelle´equation du premier ordre `a variable s´epar´ees, les ´equations qui se ram`enent `a une ´equation du type :

f(y).y^′ =g(x).

(On les r´esout en int´egrant de chaque cˆot´e) Exemples 2.2 i) Soit (E) : x².y^′ =e^y. ii) xy^′ln(x) = (3 ln(x) + 1)y sur I =]1,+∞[.

3 Equations diff´ erentielles lin´ eaires d’ordre 1.

On appelle ´equation diff´erentielle lin´eaire d’ordre 1, une ´equation de la forme : (E) : a(x).y^′ +b(x).y−c(x) = 0⇔a(x).y^′+b(x).y =c(x)

o`ua, b, csont des fonctions donn´ees deRdansK.cs’appelle lesecond membrede l’´equation.

Supposons connue une solution particuli`ere y₀(x) de (E).

Soit y, une solution de (E). Posons y(x) =y₀(x) +Y(x) alors y^′ =y^′₀+Y^′ et a(x).(Y^′+y^′₀) +b(x).(Y +y₀) = c(t)⇔a(x).Y^′+b(x).Y = 0.

Conclusion 3.1 Les solutions de (E) s’obtiennent en ajoutant toutes les solutions de (E_h) `a une solution particuli`ere de (E) o`u

(E_h) : a(x).y^′+b(x).y = 0 est l’´equation homog`ene associ´ee `a (E).

3.1 Cherchons toutes les solutions de (E

).

On suppose a, b continues sur les intervalles que l’on consid`ere.

(E_h) : a(x).Y^′+b(x).Y = 0⇔a(x).Y^′ =−b(x).Y

⇐⇒ Y^′

Y =−b(x)

a(x) sur I_a o`uI_a est un intervalle sur lequel a(x)̸= 0, donc

(Eh)⇐⇒ln|Y|=

∫

−b(x)

a(x)dx+K (K ∈K) sur Ia

⇐⇒Y =c.e⁻

∫ b(x) a(x)dx

(c∈K)sur I_a. Donc {Y =c.e⁻

∫ b(x) a(x)dx

, c ∈ K} est l’ensemble des solutions de (E_h) sur un intervalle I_a. C’est un espace vectoriel sur Kde dim. 1.

Conclusion 3.2 Les solutions de (E) sur I_a est {y =y₀+c.e⁻

∫ b(x) a(x)dx

, c∈K}. Exemples 3.3

Trouver la solution de l’´equation diff´erentielle y^′+xy= 0 qui v´erifie y(0) = −¹₂.

3.2 Recherche d’une solution particuli` ere de (E ) par la m´ ethode de la ”variation de la constante”.

Soit {y(x) = k.f(x), k ∈K} l’ensemble des solutions de l’´equation homog`ene (E_h).

On recherche une solution de (E) en faisant varier la constante : c’est `a dire, on cherche une solution de la formey₀(x) = k(x).f(x).

Donc y₀^′(x) = k^′(x).f(x) +k(x).f^′(x). En rempla¸cant dans (E), on obtient a(x).(k^′(x).f(x) +k(x).f^′(x)) +b(x).k(x).f(x) = c(x)

⇐⇒a(x).k^′(x).f(x) = c(x)

⇐⇒k^′(x) = c(x)

a(x).f(x) sur l^′intervalle I_a

⇐⇒k(x) =

∫ c(x)

a(x).f(x)dx sur I_a

Conclusion 3.4 L’ensemble des solutions de (E) sur I_a est {y(t) =

∫ c(x)

a(x).f(x)dx.e⁻

∫ b(t) a(t)dt

+k.e⁻

∫ b(t) a(t)dt

, k ∈K}. Exemples 3.5 i) y^′+y= sin(x).

ii) xy^′ +y=e^x.

iii) Soit (E) : (x²+ 1).y^′−x.y =√

x²+ 1.

4 Equations diff´ erentielles lin´ eaires de d’ordre 2.

4.1 Sans second membre.

(E) : y^′′+a(x).y^′+b(x).y = 0

Supposons que l’on connaisse d´ej`a une solution y₁ non nulle de (E) (ne s’annulant pas sur I) et cherchons toutes les solutions de la formey =y₁.z. On a

y^′ =y₁.z^′+y₁^′.z et

y^′′ =y₁^′.z^′+y₁.z^′′+y₁^′.z^′+y^′′₁.z donc, en rempla¸cant dans (E), on obtient

y^′′ =y₁^′.z^′+y₁.z^′′+y₁^′.z^′+y^′′₁.z+a(t).(y₁.z^′+y₁^′.z) +b(t).y₁.z = 0

⇐⇒y1.z^′′+ (2.y₁^′ +a(t).y1).z^′+ (y^′′₁ +a(t).y₁^′ +b(t).y1).z = 0.

Or y₁^′′+a(t).y₁^′ +b(t).y1 = 0, donc l’´equation pr´ec´edente est ´equivalente `a y₁.z^′′+ (2.y₁^′ +a(t).y₁).z^′ = 0.

Que l’on sait r´esoudre en posant Z = z^′ (´equation diff´erentielle lin´eaire du premi`ere ordre homog`ene).

Conclusion 4.1 L’ensemble des solutions de (E) sur I est {y(x) =k₁.

∫

g(x)dx.y₁(x) +k₂.y₁(x), k₁, k₂ ∈K}

o`u g est une solution de

y₁.Z^′+ (2.y₁^′ +a(t).y₁).Z = 0.

C’est un espace vectoriel de dimension 2 (il suffit donc de trouver 2 solutions ind´ependantes pour avoir une base).

Exemples 4.2 R´esoudre (E) : (x+ 1).y^′′−(2x−1).y^′ + (x−2).y = 0.

On a une solution ´evidente : y₁ :x7→e^x

4.2 Equations diff´ erentielles lin´ eaires d’ordre 2 sans second mem- bre ` a coefficients constants.

Soit a, b∈R.

(E) : y^′′+a.y^′+b.y = 0

1 - Si a=b= 0, l’ensemble des solution de (E) est {y(x) =λ.x+µ, λ, µ∈R}(d´efinies surR).

2 - Si a̸= 0 oub ̸= 0, on d´efinitP_E(r) :=r²+a.r+b lepolynˆome caract´eristique de (E).

Soit ∆ :=a² −4.b.

Alors :

i) Si ∆>0, P_E(r) admet deux racines distinctes r₁ etr₂. Alors e^r1.x et e^r2.x sont des solutions ind´ependantes de (E) donc l’ensemble des solutions de (E) est

{y(x) = λ.e^r1.x+µ.e^r2.x, λ, µ∈R}.

ii) Si ∆ = 0,P_E(r) admet une racinesr₁. Alors e^r1.xet x.e^r1.xsont des solutions ind´ependantes de (E) donc l’ensemble des solutions de (E) est

{y(x) = (λ.+µ.x).e^r1.x, λ∈R}.

iii) Si ∆ < 0, P_E(r) admet deux racines complexes distinctes (conjugu´ees) r₁ = α+iβ et r₂ =α−i.β. Alors e^α.x.cos(β.x) ete^α.x.sin(β.x) sont des solutions ind´ependantes de (E) donc l’ensemble des solutions de (E) est

{y(x) = (λ.cos(β.x) +µ.sin(β.x)).e^α.x, λ, µ∈R}.

Exercice 4.3 R´esoudre les ´equations diff´erentielles : 1) y^′′+ 2y^′+ 5y = 0,

2) y^′′+ 4y^′+ 4y = 0.

3) y^′′−y^′ −2y= 0. Donner la solution qui v´erifie y(0) = 0 et y^′(0) = 1.

4.3 Equations diff´ erentielles lin´ eaires d’ordre 2 avec second membre.

On veut r´esoudre

(E) : y^′′+a(x).y^′+b(x).y =c(x).

On r´esout tout d’abord l’´equation homog`ene

(E_h) : y^′′+a(x).y^′+b(x).y = 0 par les m´ethode pr´ec´edentes.

L’ensemble des solution de (E_h) est {y(x) =λ.f(x) +µ.g(x), λ, µ∈R}.

Remarque 4.4 De la mˆeme fa¸con que pour les ´equations diff´erentielles lin´eaires du premier degr´e, on montre que l’ensemble des solutions de (E) s’obtient en ajoutant `a une solution particuli`ere de (E) toutes les solutions de (E_h).

4.3.1 Recherche d’une solution particuli`ere de (E) par la m´ethode de la ”variation de la constante”.

On recherche une solution de (E) en faisant varier la constante : c’est `a dire, on cherche une solution de la forme y<sub>0</sub>(x) =λ(x).f(x) +µ(x).g(x).On impose de plus λ<sup>′</sup>.f +µ<sup>′</sup>.g = 0(il suffit de trouver unesolution particuli`ere).

Donc

y₀^′ =λ^′.f+λ.f^′ +µ.g^′+µ^′.g =λ.f^′ +µ.g^′ y^′′₀ =λ^′.f^′ +λ.f^′′+µ^′.g^′+µ.g^′′. En rempla¸cant dans (E), on obtient

λ^′.f^′+λ.f^′′+µ^′.g^′+µ.g^′′+a(x).λ.f^′+a(x)µ.g^′+b(x).λ.f+ (

¯

x).µ.g =c(x)

⇐⇒λ^′.f^′+µ^′.g^′ =c(x).

Il suffit donc de trouver une solution du syst`eme :

{ λ^′.f^′ +µ^′.g^′ =c(x) λ^′.f +µ^′.g = 0

On trouve alors un λ(x) et un µ(x) et l’ensemble des solution de (E) est alors {y(x) =λ(x).f(x) +µ(x).f(x) +λ.f(x) +µ(x).g(x), λ, µ∈R}. Exemples 4.5 R´esoudre (E) : y^′′−y=e^x.

4.4 Recherche d’une solution particuli` ere de (E) dans le cas de co- efficients constants et d’un second membre ”simple”.

a - Si c(x) est un polynˆome de degr´e n.

3 cas se pr´esentent :

- Si b ̸= 0, on recherche une solution de (E) sous la forme d’un polynˆome de degr´e n.

Exemples 4.6

R´esoudre y^′′+y^′+ 2y=x³+ 1.

- Si b = 0 et a ̸= 0, on recherche une solution de (E) sous la forme d’un polynˆome de degr´e n+ 1.

- Si b =a= 0, on trouve une solution facilement.

b- Si c(x) est de la forme e^mx.Q(x) (m∈ C), Q(x) ´etant un polynˆome de degr´e n.

On pose y = e^mx.z, ce qui nous donne z^′′ +α.z^′ +β.z = Q(x) que l’on sait r´esoudre comme ci-dessus.

Exercice 4.7

i) y^′′−5y^′+ 6y=e^x

ii) y^′′+ 2.y^′+ 2.y =x.e^−x.sin(x).

b- Si c(x) est de la forme λ.cos(βx) +µ.sin(βx).

on recherche une solution de (E) sous la forme a.cos(βx) +b.sin(βx).

Exercice 4.8 R´esoudre y^′′+y^′+y= 13 cos(2x).

Remarque 4.9 Pour trouver une solution particuli`ere dey^′′+a.y^′+b.y =c₁(x)+c₂(x), il suffit de faire la somme d’une solution de y^′′+a.y^′+b.y =c1(x)et d’une solution de y^′′+a.y^′+b.y= c₂(x).

5 Syst` eme d’´ equations diff´ erentielles lin´ eaires.

K=Rou C.

Soit le syst`eme den ´equations diff´erentielles lin´eaires `an inconnues :

(S) :









∂y1

∂t = a_1,1.y₁ +a_1,2.y₂ ... +a_1,n.y_n +c₁(t)

∂y2

∂t = a_2,1.y₁ +a_2,2.y₂ ... +a_2,n.y_n +c₂(t)

... ... ... ... ... ...

∂yn

∂t = a_n,1.y₁ +a_n,2.y₂ ... +a_n,n.y_n +c_n(t)

En posant A= (a_i,j)_1≤i,j≤n,Y(t) =





 y₁(t) y₂(t) ...

y_n(t)





et C(t) =





 c₁(t) c₂(t) ...

c_n(t)





, on obtient

(S) : ∂Y

∂t =A.Y +C(t)

Supposons A trigonalisable (ou diagonalisable) d’o`u A = P.T.P⁻¹ avec T triangulaire (ou diagonale), alors

(S)⇔ ∂Y

∂t =P.T.P⁻¹.Y +C(t)

⇐⇒P⁻¹.∂Y

∂t =T.P⁻¹.Y +P⁻¹C(t)

⇐⇒ ∂(P⁻¹.Y)

∂t =T.P⁻¹.Y +P⁻¹C(t).

PosonsZ :=P⁻¹.Y alors

(S)⇔(S₂) : ∂Z

∂t =T.Z+P⁻¹.C(t).

Or on sait r´esoudre (S₂). Pour avoir les solutions de (S), il suffit de multiplier celle de (S₂) par P.

Remarque 5.1 Si C(t) est nul, le calcul de P⁻¹ n’est pas n´ecessaire.

Exercice 5.2 R´esoudre le syst`eme diff´erentiel :

(S) :





∂x

∂t = −x−y+ 2z

∂y

∂t = −x+z

∂z

∂t = −2x−y+ 3z o`u x, y, z sont des fonctions d´efinies et d´erivables sur R. Exercice 5.3 R´esoudre le syst`eme diff´erentiel :





∂x

∂t = −x−y+ 2z+ 1

∂y

∂t = −x+z+t

∂z

∂t = −2x−y+ 3z+t o`u x, y, z sont des fonctions d´efinies et d´erivables sur R.