Faculté des Sciences d’Oujda Filière : SMIA - S3
Département de Math-Info Année : 2016/2017
Algèbre 4 :Réduction des endomorphismes Série N° 1 :Polynômes d’endomorphisme
Exercice 1. SoitT:R3→R3l’endomorphisme dont la matrice dans la base canonique est :
A=
0 1 0
2 −1 −2
−1 1 1
.
(1) Déterminer les valeurs propres deT, les sous-espaces propres associés et leur dimension.
(2) Trouver une baseBdeR3formée de vecteurs propres deT. (3) Donner la matrice deT dansB.
Exercice 2. SoitEleR-espace vectoriel des fonctions continues sur [0,+∞[. On considère l’appli- cationT:E→Edonnée par
T(f)(x)=1 x
Z x
0
f(t)dtpour toutx>0 etT(f)(0)=f(0).
(1) Montrer queT est une application linéaire bien définie.
(2) L’endomorphismeT est-il injectif ? surjectif.
(3) Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres associés.
Exercice 3. On considère l’endomorphisme
T : R2n[X] −→ R2n[X]
P 7−→ (X2−1)P0(X)−2nX P(X) (1) Vérifier queT est bien défini.
(2) SoitP un vecteur propre associé à λ∈Sp(T). Donner une décomposition en éléments simples de la fractionP0/P.
(3) En déduire les valeurs propres deT et les sous-espaces propres associés.
Exercice 4. Soient A,B ∈Mn(K) deux matrices telles qu’il existe un polynôme non constantP ∈ K[X] satisfaisant
AB=P(A) etP(0)6=0.
Montrer queAest inversible et queAetBcommutent.
Exercice 5. SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie,T ∈L(E) etP un polynôme annu- lateur deT. On suppose que
P=QRoùQ∧R=1.
Démontrer que Im(R(T))=Ker(Q(T)).
Exercice 6. On considère dansM3(R) la matrice suivante A=
3 2 −2
−1 0 1
1 1 0
.
(1) Calculer les puissances deA−I3. (2) Déterminer le polynôme minimal deA.
(3) CalculerAnpour toutn∈N.
(4) Montrer queAest inversible, et calculerAnpour toutn∈Z.
Exercice 7. SoientT ∈L(E) un endomorphisme admettant un polynôme minimal etP ∈K[X].
Montrer queP(T) est inversible ⇔MT∧P=1.
Exercice 8. SoitE unK-espace vectoriel de dimension finie. On considère un endomorphismeT vérifiant les deux conditions suivantes :
½ T3−3T2+2T=0, T8+16T4=0.
Montrer queT =0.
Exercice 9. Soitn∈N∗. Montrer qu’il existeαk∈R, 0≤k≤n−1, tels que P(X +n)+
n−1
X
k=0
αkP(X+k)=0 pour toutP∈Rn−1[X].
Indication : On pourra considérer l’endomorphismeT défini surRn−1[X] parT(P)(X)=P(X+1).
Exercice 10. SoientT etSdeux endomorphismes deR4représentés respectivement dans la base canonique par les matrices suivantes :
A=
1 −1 2 −2
0 0 1 −1
1 −1 1 0
1 −1 1 0
etB=
3 −1 −1 −2
1 1 −1 −1
1 0 0 −1
0 −1 1 1
..
(1) Calculer le polynôme caractéristique deT. En déduire les valeurs propres deT. (2) Refaire la même question pour l’endomorphismeS.
Exercice 11. SoitT∈L(R4) l’endomorphisme défini par
T(x,y,z,t)=(4x+6y+z−6t,−4x+4y−4z−2t,−2x−2y+z+2t, 2x+y+2z+t).
(1) On note parei, 1≤i≤4, la base canonique deR4. Montrer queE=F⊕GoùF =Vect{e1− e3,e2+e4} etG=Vect{e3,e4}.
(2) Montrer queF est invariant parT.
(3) On poseT0=T|F. Donner la matrice deT0dans la base {e1−e3,e2+e4}. Calculer PT0. (4) On poseT1=Π◦T|GoùΠest la projection orthogonale surGparallèlement àF. Donner la
matrice deT1dans la base {e3,e4}. Calculer PT1. (5) Donner le polynôme caractéristique deT.
Exercice 12. Soient A,P∈Mn(C) oùn≥2 telles queP est inversible etP−1AP=2A.
(1) Déterminer une relation entre PA(X) et PA(X/2).
(2) Déduire queAest une matrice nilpotente.
Exercice 13. SoitA∈Mn(C). On pose
B=
µ In In
A A
¶ .
Donner le polynôme caractéristique deB en fonction du polynôme caractéristique deA.
Exercice 14. Soient A,B∈Mn(C). Le but de cet exercice est d’établir PAB=PB A. (1) Montrer que siAest inversible, alors PAB=PB A.
(2) On suppose queAest non inversible.
(a) Soient λ→ ai j(λ), 1≤i,j ≤n, une famille de fonctions continues deR dans C et B(λ)=(ai j(λ))1≤i,j≤n. Montrer par récurrence surnque la fonctionλ→det(B(λ)) est continue surR.
(b) Montrer l’existence d’un entierp0∈Ntel queA+p−1Insoit inversible pour toutp≥p0. (c) En déduire que PAB=PB A.
