Espacesvectorielsnormés 5

Chapitre 5

Espaces vectoriels normés

Table des matières

5 Espaces vectoriels normés 1

5.1 Normes, distances . . . . 1

5.1.1 Normes . . . . 1

5.1.2 Norme sur un produit cartésien d’espaces normés . . . . 4

5.1.3 Distances . . . . 5

5.1.4 Boules ouvertes, boules fermées, sphères . . . . 5

5.1.5 Parties bornées . . . . 6

5.2 Suites dans un evn . . . . 6

5.2.1 Convergence d’une suite . . . . 6

5.2.2 Suites extraites . . . . 7

5.2.3 Relations de comparaison des suites vectoriellesHors programme en PC mais instructif. . . . 8

5.2.4 Suites bornées . . . . 9

5.2.5 Opérations sur les limites . . . . 10

5.3 Topologie d’un espace vectoriel normé . . . . 10

5.3.1 Quelques rappels de première année sur la borne supérieure d’une partie deR . . . . 10

5.3.2 Parties ouvertes, fermées d’un evn . . . . 12

5.3.3 Adhérence, intérieur, frontière d’une partie d’un evn . . . . 13

5.3.4 Parties densesHP . . . . 15

5.3.5 Convexité . . . . 15

5.4 Étude locale d’une application, continuité . . . . 16

5.4.1 Limite en un point . . . . 16

5.4.2 Opérations sur les limites . . . . 17

5.4.3 Relations de comparaisonHP . . . . 18

5.4.4 Continuité . . . . 19

5.4.5 Fonctions lipschitziennes . . . . 21

5.5 Applications linéaires continues . . . . 22

5.5.1 Continuité d’une application linéaire . . . . 22

5.5.2 Continuité d’une application bilinéaire, d’une application multilinéaire . . . . 22

5.5.3 Norme subordonnées d’une application linéaireHors programme mais important . . . . 23

5.6 Topologie d’un evn de dimension finie . . . . 25

5.6.1 Particularité des evns de dimension finie . . . . 26

5.6.2 Compacts d’un evn dimension finie . . . . 26

5.6.3 Convergence d’une suite en dimension finie . . . . 27

5.6.4 Limite d’une fonction en dimension finie . . . . 27

5.6.5 Applications linéaires, bilinéaires et multilinéaires en dimension finie . . . . 28

5.7 L’essentiel . . . . 29

5.1 Normes, distances

5.1.1 Normes

DÉFINITION5.1 ⋆ Norme

On considère unK-espace vectorielEsur le corpsK=RouK=C. On appellenormeune application N :

½ E −→ R x 7−→ N¡

x¢ vérifiant les trois propriétés :

1. ∀x∈E,∀λ∈K,^N¡λx¢

= |λ|N¡ x¢

(homogénéité).

2. _∀(x,y)∈E²,^N¡x+y¢ ÉN¡

x¢ +N¡

y¢

(inégalité triangulaire).

3. _∀x∈E,^N¡x¢

=0_R =⇒ x=0_E(séparation).

On noterakxk =N¡ x¢

. On dit que(E,k.k)est unespace vectoriel normé.

Remarque 5.1 On a toujours^N¡0_E¢

=0_R, puisque^N¡0_E¢

=N¡ 0_K.0_E¢

=0_RN¡ 0_E¢

=0_R. Remarque 5.2 On a pour toutx∈E,^N¡x¢

Ê0. En effet, pourx∈E, on a par inégalité triangulaire2N¡ x¢

=N¡ x¢

+ N¡

x¢

Ê kx−xk =N¡ 0¢

=0.

Remarque 5.3 Dans un evn, on dit qu’un vecteurx∈Eestunitairelorsquekxk =1. Six∈Eest un vecteur non-nul, on peut lui associer le vecteurnormalisé ^x

kxk.

P^ROPOSITION5.1 ⋆ Minoration de l’inégalité triangulaire

Sik.kest une norme, pour deux vecteurs(x,y)∈E², on peut minorerkx−ykau choix parkxk − kykoukyk − kxk:

¯¯

¯kxk − kyk

¯¯

¯É kx−yk

Démonstration En utilisant deux fois l’inégalité triangulaire :_kxk =°

°x−y+y°

°É°

°x−y°

°+°

°y°

°et^°°y°

°=°

°y−x+x°

°É°

°x−y°

°+ kxkdonc_kxk −°

°y°

°et^°°y°

°− kxksont tous deux majorés^°°x−y°

°d’où le résultat.

Un premier exemple fondamental de norme est donnée par la valeur absolue (respectivement le module) surR(respecti- vement surC).

P^ROPOSITION5.2 ⋆ La valeur absolue et le module définissent des normes respectivement surRetC

Les couples(R,|.|)et(C,|.|)où|.|désignent respectivement l’application valeur absolue surRet l’application module surCsont des espaces vectoriels.

Un seconde exemple fondamental de norme est celle qu’on construit à partir d’un produit scalaire dans un espace préhil- bertien.

PROPOSITION5.3 ⋆ Norme euclidienne

Si(.|.)est un produit scalaire surE, on définit lanorme euclidienneassociée : kxk =p

(x|x)

On dispose de l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

∀(x,y)∈E², ¯

¯¡ x|y¢¯

¯É kxkkyk

avec égalité si et seulement si les vecteursxety sont colinéaires.

Démonstration Le fait que pour toutx∈E,(x|x)Ê0et que_kxkest bien définie provient de la positivité du produit scalaire. Il est alors clair que_k.kvérifie l’axiome de positivité.

Six∈Eetλ∈Ralors par bilinéarité du produit scalaire, kλxk =p

(λx|λx)=p λ²p

(x|x)= |λ|kxk et_k.kest homogène.

Six,y∈Ealors par bilinéarité, symétrie du produit scalaire et d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a kx+yk²= kxk²+2¡

x|y¢

+ kyk²É kxk²+2kxkkyk + kyk²=¡

kxk + kyk¢₂ . Alors_kx+yk É kxk + kyket on a prouvé l’inégalité triangulaire.

Enfin, six∈Eest tel que_kxk =0alors(x|x)=0ce qui n’est possible, le produit scalaire étant défini, que six=0d’où la propriété de séparation.

THÉORÈME5.4 ⋆ Trois normes classiques surKⁿ

Sur l’espace vectorielE=Kⁿ, on dispose des trois normes classiques suivantes. Pour un vecteurx=(x1, . . . ,xn), 1. kxk1=

Xn k=1

|xk|,

2. Le produit scalaire^¡x|y¢

= Xn k=1

xkyket la norme euclidienne associée :_kxk2= sXn

k=1

|xk|², 3. _kxk∞=max_1ÉkÉn|xk|.

Démonstration Le fait que_k.k2soit une une norme a été prouvé dans la proposition précédente. On laisse la preuve pour les deux autres normes en exercice.

T^HÉORÈME5.5 ⋆ Trois normes classiques surM_n(K)

Sur l’espace vectorielE=M_n(R), on dispose des trois normes classiques suivantes. Pour une matrice M=(ai,j)∈ M_n(R),

1. kMk1= Xn i=1

Xn j=1

|ai,j|, 2. Le produit scalaire^¡M|M^′¢

=Tr³ M^TM^′´

= Xn i=1

Xn j=1

ai,ja^′_i,j et la norme euclidienne associée :_kxk2= r

Tr³ M^TM´

= vu

ut Xn i=1

Xn j=1

¯¯ai,j

¯¯²,

3. kMk_∞=max_1Éi,jÉn|ai,j|.

Démonstration Ces normes coïncident avec les3précédentes mais surKⁿ². T^HÉORÈME5.6 ⋆ Trois normes usuelles sur^C([a,b])

Sur l’espaceE=C([a,b])des fonctions continues sur le segment[a,b], on définit les trois normes : 1. _kfk1=

Zb

a |f(t)|dt(norme de la convergence en moyenne), 2. Le produit scalaire ^¡f |g¢

= Z_b

a f(t)g(t) dt et la norme euclidienne associée (norme de la convergence en moyenne quadratique) :

kfk2= sZb

a f²(t) dt, 3. _kfk∞= sup

t∈[a,b]|f(t)|(norme de la convergence uniforme).

THÉORÈME5.7 ⋆ EspacesL^p Soit un intervalleI⊂R.

1. On note

L¹(I)={f : I7→C|f continue et intégrable surI}

et pourf ∈L¹(I),

kfk1= Z

I|f| Alors^¡L¹(I),k.k1

¢est un evn.

2. On note

L²(I)={f : I7→C|f continue et_|f|²intégrable surI}

et pourf,g∈L²(I)²,

¡f |g¢

= Z

If g kfk2= sZ

I|f|² Alors(.|.)définit un produit scalaire surL²(I)et^¡L²(I),k.k2

¢est un evn.

3. On note

L^∞(I)={f : I7→C|f bornée surI}

et pourf ∈L^∞(I),

kfk∞=sup

x∈I|f(x)| Alors^¡L^∞(I),k.k∞

¢est un evn.

T^HÉORÈME5.8 ⋆⋆ Normes sur les espaces de suites 1. On définit l’espace des suites :

ℓ¹(C)={u=(un)∈C^N|X

|un|converge} muni de la norme

kuk1=^+∞X

n=0

|un|

2.

ℓ²(C)={u=(un)∈C^N|X

|un|²converge} et le produit scalaire(u|v)=^+∞X

n=0

unvnainsi que la norme euclidienne associée :

kuk2= s+∞X

n=0

|un|²

3.

ℓ^∞(C)={u=(un)∈C^N|uest bornée} et la norme

kuk∞=sup

n∈N|un|

5.1.2 Norme sur un produit cartésien d’espaces normés

DÉFINITION-PROPOSITION5.2 ⋆ Norme sur un produit cartésien d’espaces normés Soient(E1,k.kE1), ...,(Ep,k.kEp)des espaces normés. Alors l’application :

k.k:

½ E₁×. . .×E_p −→ R

x=(x1, . . . ,xp) 7−→ kxk =sup_i∈‚^1,pƒkxikE_i

définit une norme surE₁×. . .×E_p. L’espace normé(E,k.k)est appeléespace produit desE_i pouri∈… 1,p†

.

Démonstration

1 Par construction,_k.kest à valeurs positives car c’est le cas des_kkEi pour touti∈… 1,p†. 2 De la même façon, chaque_kkEipouri∈…

1,p†

vérifie l’axiome d’homogénéité donc pourx=(x₁, . . . ,xp)∈E₁×. . .×Epet λ∈K,

kλxk = sup

i∈‚^1,pƒkλx_ik = sup

i∈‚^1,pƒ|λ| kx_ik = |λ| sup

i∈‚^1,pƒkx_ik = |λ| kxk et_kksatisfait aussi l’axiome d’homogénéité.

3 On démontre de même l’inégalité triangulaire.

4 Enfin six=(x₁, . . . ,x_p)∈Eest tel que_kxk =0alorssup_i∈‚^1,pƒkx_ik =0ce qui amène_kx_ik =0pour touti∈…

1,p†et donc kxk =0. On a alors aussi vérifié l’axiome de séparation.

Remarque 5.4 Un corollaire immédiat de cette proposition et de la proposition 5.2 est que_k.k∞est une norme surKⁿ.

5.1.3 Distances

DÉFINITION5.3 ⋆ Distance SoitEun ensemble. Une application

d: E×E→R est unedistancesurEsi elle vérifie les propriétés :

1. _∀(x,y)∈E²,d(x,y)Ê0(positivité), 2. ∀(x,y)∈E²,d(x,y)=d(y,x)(symétrie),

3. _∀(x,y,z)∈E³,d(x,y)Éd(x,z)+d(z,y)(inégalité triangulaire) 4. _∀(x,y)∈E,d(x,y)=0⇐⇒x=y (séparation).

P^ROPOSITION5.9 ⋆ Distance associée à une norme Dans un espace vectoriel normé(E,k k), l’application

d:

½ E×E −→ R⁺

(x,y) 7−→ d(x,y)= kx−yk est unedistance appelée distance associée à la norme_{k k}.

Démonstration La distancedest bien à valeurs dansR₊. On vérifie les 3 axiomes définissant une distance : 1. d(y,x)=°

°x−y°

°=°

°y−x°

°=d(x,y). 2. d(x,z)= kz−xk =°

°z−y+y−x°

°É°

°z−y°

°+°

°y−x°

°=d(x,y)+(y,z). 3. d(x,y)=0⇐⇒‘°

°y−x°

°=0⇐⇒y−x=0⇐⇒x=y.

Remarque 5.5 Toute norme permet de définir une distance mais la réciproque est fausse. Un contre exemple est donné par la distance ultramétrique définie pard(u,v)=

(1 siu6=v

0 sinon . En effet, sid était associée à une norme_k.k sur un espace vectorielEalors pour un vecteurx6=0deEetλ∈K^∗, on aurait

1=d(x, 0)=d(λx, 0)= kλxk =λkxk =λ

ce qui est impossible carλest quelconque.

DÉFINITION5.4 ⋆⋆ Distance à une partie

Soit un evn(E,k.k)et une partieA⊂Enon vide. On définit ladistance d’un vecteurx∈Eà la partieApar : d(x, A)=inf

y∈Ad(x,y)

Remarque 5.6 La distance dexàAest bien définie car l’ensemble{d(x,a)|a∈A}⊂Rest non vide et minorée par0 donc il admet une borne inférieure.

Remarque 5.7 On définit également la distance entre deux partiesA⊂EetB⊂Epar : d(A, B)= inf

a∈A,b∈Bd(a,b)

5.1.4 Boules ouvertes, boules fermées, sphères

DÉFINITION5.5 ⋆ Boules ouvertes, fermées, sphères

Dans un evn(E,k.k), soit un vecteura∈Eet un réel positifr>0. On notedla distance associée à_k.k. On définit :

— Laboule ouvertede centreaet de rayonr :B(a,r)={x∈E|d(a,x)<r}.

— Laboule ferméede centreaet de rayonr:B(a,r)={x∈E|d(a,x)Ér}.

— Lasphèrede centreaet de rayonr:S(a,r)={x∈E|d(a,x)=r}. Exemple 5.1

— DansRavec la norme donnée par la valeur absolue, on a, poura∈Retr>0,B(a,r)=]a−r,a+r[etB(a,r)= [a−r,a+r]

— DansR², on représente la boule unité pour les normesk.k1,k.k2etk.k_∞. On obtient :

La boule unité deR² pour la norme_{k · k}1

La boule unité deR² pour la norme_{k · k}2

La boule unité deR² pour la norme_{k · k∞}

5.1.5 Parties bornées

D^ÉFINITION5.6 ⋆⋆ Partie bornée

SoitA⊂Eune partie d’un evn. On dit que la partieAest bornée s’il existeR>0tel que∀a∈A,kak ÉR. Remarque 5.8 Cela signifie que la partieAest incluse dans une boule (ouverte ou fermée).

Remarque 5.9 Une partieAd’un espace métrique(E,d)est bornée si et seulement si il existeR>0tel que pour tout x,y∈E, on ad(x,y)ÉR.

DÉFINITION5.7 ⋆⋆ Application bornée

Soit un ensembleAet un evn(F,k.k). On dit qu’une application f : A7→Fest bornée si son image est bornée dansF, c’est-à-dire s’il existeM>0tel que_∀x∈A,_kf(x)k ÉM. On note^B(A, F)l’ensemble des applications bornées deAvers F.

PROPOSITION5.10 ⋆ Evn des applications bornées

B(A, F)est un espace vectoriel normé muni de la norme : ^N_∞^¡f¢

=sup

x∈Akf(x)k .

5.2 Suites dans un evn

5.2.1 Convergence d’une suite

D^ÉFINITION5.8 ⋆⋆ Suites

Soit un evn(E,k.k). On appellesuited’éléments deE, une application u:

½ N −→ E n 7−→ un

notéeu=(un)n∈N. On noteE^Nl’ensemble des suites à valeurs dansE.

DÉFINITION5.9 ⋆ Convergence d’une suite

Soit un evn(E,k.k). On dit qu’une suite (un)∈E^N convergevers un élément a∈E (ou quea est lalimite de(un)) lorsque :

∀ε>0, ∃N∈N: ∀nÊN, kun−ak Éε On note alorsun−−−−−→_n

→+∞ a. Si(un)n’est pas convergente, on dit qu’elle estdivergente.

a

+ +

+ +

+ +

+ un

FIGURE5.1 – Suite convergente

Remarque 5.10 Cela revient à dire que pour tout rayon de bouler>0, il existe un rangNà partir duquel tous les termes de la suite sont dans la boule (ouverte ou fermée) de centreaet de rayonr.

PROPOSITION5.11 Unicité de la limite Si(un)admet une limite alors celle-ci est unique.

Démonstration En effet, sia,a^′sont des limites de(u_n)alors pour unε>0, il existe des rangsN,N^′tels que sinÊNalors kun−ak Éε/2 et sinÊN^′alors^°°un−a^′°

°Éε/2 donc pournÊmax(N, N^′), on a ^°°a−a^′°

°=°

°a−un+un−a^′°

°É kun−ak +

°°u_n−a^′°

°Éε/2+ε/e=ε. Comme cette inégalité est vraie pour toutε>0, ceci entraîne quea=a^′et on a donc bien unicité de la limite.

Remarque 5.11 La définition donnée pour la convergence et la valeur de la limite d’une suite dépend de la norme choisie. En dimension finie, il n’en est en fait rien, comme nous le verrons dans la section 5.6.

Remarque 5.12 S’il existea∈Etel que la suite(un)converge versa, on dit que la suite(un)estconvergente. Sinon, on dit que la suite estdivergente.

P^ROPOSITION5.12 Caractérisation des suites convergentes On a équivalence entre

1 un−−−−−→

n→+∞ a.

2 kun−ak −−−−−→_n

→+∞ 0. Démonstration

⇒ On suppose queu_n−−−−−→_n

→+∞ a. Soitε>0. Alors il existeN∈Ntel que sinÊN,_|ku_n−ak −0| = ku_n−ak Éεdonc kun−ak −−−−−→_n

→+∞ 0.

⇐ Réciproquement si_ku_n−ak −−−−−→_n

→+∞ 0alors pourε>0, il existeN∈Ntel que_ku_n−ak = |ku_n−ak −0| Éεdés quenÊN doncu_n−−−−−→_n

→+∞ a.

5.2.2 Suites extraites

D^ÉFINITION5.10 Suite extraite

On dit qu’un suite(vn)estune suite extraiteouune sous suited’une suite(un)s’il existe une applicationϕ:N→N strictement croissantetelle que

∀n∈N, vn=uϕ(n)

LEMME5.13 ⋆

Soitϕ:N→Nstrictement croissante. Alors

∀n∈N, ϕ(n)Ên

Démonstration Par récurrence :

Sin=0alors commeϕest à valeurs dansN, on a bienϕ(0)Ê0. Soitn∈N.

On suppose que ϕ(n)Ên. Montrons que ϕ(n+1)Ên+1. Commeϕest strictement croissante, on a nécessairement ϕ(n+1)>ϕ(n)Ên. Par conséquentϕ(n+1)Ên+1. (Si pour deux entiersx,y, on ax>yalorsxÊy+1).

La propriété est alors prouvée par application du principe de récurrence.

PROPOSITION5.14 ⋆⋆⋆ Une suite extraite d’une suite convergente est convergente Toute suite extraite d’une suite(un)convergeant vers une limitel est une suite convergeant versl

Démonstration Soitϕ:N7→Nune application strictement croissante. On suppose queu_n−−−−−→_n

→+∞ l. Montrons queu_ϕ(n)−−−−−→_n

→+∞ l. Soitε>0. Puisqueun−−−−−→_n

→+∞ l, il existeN∈Ntel que_∀nÊN,_|un−l| Éε. SoitnÊN. D’après le lemme précédent,ϕ(n)ÊnÊN et donc_|u_ϕ(n)−l| Éε.

COROLLAIRE5.15 ⋆ Critère de divergence d’une suite

Soit(un)une suite d’un evn(E,kk). On suppose qu’il existe deux suites extraitesuϕ(n)etuϕ(n)˜ telles que :

H1 uϕ(n)−−−−−→_n

→+∞ l1∈E,

H2 uϕ(n)˜ −−−−−→_n

→+∞ l2∈E,

H3 l16=l2.

Alors la suite(un)est divergente.

Démonstration Il suffit de prendre la contraposée de la précédente proposition : si(u_n)admet des suites extraites qui ont des limites différentes, alors elle diverge.

Enfin, on rappelle ce théorème, démontré en première année dans le cas des suites réelles ou complexes, qui reste vrai pour des suites à valeurs dans un evn.

PROPOSITION5.16 ⋆⋆ Deux suites extraites particulières

Si les deux suites extraites(u2n)et(u2n+1)convergent versla même limitel∈E, alors la suite(un)converge versl. Démonstration Exactement comme en première année.

5.2.3 Relations de comparaison des suites vectorielles Hors programme en PC mais instructif

On considère unK-evn(E,k.k), (K=RouC).

D^ÉFINITION5.11 ⋆ Domination

On dit qu’une suite vectorielle(un)∈E^Nestdominéepar une suite scalaire(αn)∈K^N si :

∃K>0, ∃N∈N, ∀nÊN, kunk ÉK¯

¯αn

¯¯

On écrit alorsun=O(αn). Si la suite(αn)ne s’annule pas, cela signifie que la suite vectorielle^{³ 1} αn

un

´est bornée dans E.

DÉFINITION5.12 ⋆ Négligeabilité

On dit qu’une suite vectorielle(un)∈E^Nestnégligeabledevant une suite scalaire(αn)∈K^N lorsque :

∀ε>0, ∃N∈N, ∀nÊN, kunk Éε¯

¯αn

¯¯

On note alorsun=o(αn). Lorsque la suite scalaire(αn)ne s’annule pas, cela équivaut à dire que la suite vectorielle

³ 1 αnun¢

converge vers0dans(E,k.k).

PROPOSITION5.17 ⋆⋆⋆⋆ Propriétés

Soient deux suites vectorielles(un)∈E^N,(vn)∈E^Net des suites scalaires(αn)∈K^N,(βn)∈K^N,γn∈K^N, voici quelques propriétés simples à démontrer.

1. Siun=O(αn)etvn=O(αn), alorsun+vn=O(αn). 2. Siun=O(αn)etλ∈K, alorsλun=O(αn).

3. Siαn=O(βn)etun=O(γn), alorsαnun=O(βnγn). 4. Siun=o(αn), alorsun=O(αn).

5. Siun=o(αn)etk∈K, alorskun=o(αn).

6. Siun=o(αn)etvn=o(αn), alorsun+vn=o(αn). 7. Siun=o(αn)etαn=O(βn), alorsun=o(βn). 8. Siun=O(αn)etαn=o(βn), alorsun=o(βn).

D^ÉFINITION5.13 ⋆ Suites équivalentes

Deux suites vectorielles(un)∈E^N,(vn)∈E^Nsontéquivalenteslorsque un−vn=o(kvnk)

c’est à dire :

∀ε>0, ∃N∈N, ∀nÊN, kun−vnk Éεkvnk On note alorsun_n ∼

→+∞vn.

Remarque 5.13 Pour les suites scalaires, lorsque vn ne s’annule pas, dire que un _n ∼

→+∞vn revient à dire que un

vn −−−−−→

n→+∞ 1. Ceci n’a pas de sens pour les suites vectorielles (on ne divise pas par un vecteur !).

P^ROPOSITION5.18 ⋆⋆⋆ Relation d’équivalence SurE^N, la relationuRv⇐⇒un_n ∼

→+∞vnest une relation d’équivalence.

P^ROPOSITION5.19 ⋆⋆ Equivalents et limites Soient deux suites vectorielles(un)∈E^Net(vn)∈E^N.

1.





 un_n ∼

→+∞vn

vn−−−−−→

n→+∞ l∈E =⇒ un−−−−−→_n

→+∞ l. 2.

(un−−−−−→_n

→+∞ l∈E

l6=0 =⇒ un_n ∼

→+∞l (suite constante).

5.2.4 Suites bornées

DÉFINITION5.14 ⋆ Suite bornée

On dit qu’une suite(un)est bornéesi et seulement si{un|n∈N}est une partie bornée deE.

P^ROPOSITION5.20 ⋆⋆ Espace des suites bornées

L’ensemble des suites bornées d’un evn(E,kk), notéℓ^∞(E)est un sous-espace vectoriel deE^N. L’application

N :

( ℓ^∞(E) −→ R⁺ (un) 7−→ sup

n∈Nkunk est une norme surℓ^∞(E).

PROPOSITION5.21 ⋆⋆ Une suite convergente est bornée

Dans un evn, toute suite(un)convergente est bornée : il existe une constanteM>0telle que_∀n∈N,_kunk ÉM. Démonstration Soit(u_n)une suite convergente deE de limitea. Il existe N∈Ntel que sinÊNalors_|u_n−a| É1. Donc {un |nÊN}⊂B(a, 1). PosonsR=max©

1,ku₀−ak, . . . ,ku_N−1−akª

. Alors{un |n∈N}⊂B(a, R)et la suite est bornée.

5.2.5 Opérations sur les limites

P^ROPOSITION5.22 Opérations sur les limites

L’ensemble des suites convergentes deE, est un sev de^S(E)(et même deℓ^∞(E)). Autrement dit : si(un) , (vn)∈S(E) convergent respectivement versletl^′alorsα(un)+β(vn)converge versαl+βl^′.

Démonstration C’est la même démonstration que dans le cas des suites à valeurs dansK. Voir le cours de première année.

Attention 5.2 Tout comme pour les suites à valeurs dansC, on ne peut parler de suite à valeurs dansEcroissante, décroissante, ... (à moins queE=R!)

5.3 Topologie d’un espace vectoriel normé

5.3.1 Quelques rappels de première année sur la borne supérieure d’une partie de

SoitAune partie deR(ou deQ) et un réela. On dit queaest :

• leplus grand élémentdeAsi et seulement sia∈Aet_∀x∈A, xÉa.

• leplus petit élémentdeAsi et seulement sia∈Aet_∀x∈A, aÉx.

S’il existe, le plus grand élément deAest unique. Nous le noteronsmax (A). De même, s’il existe, le plus petit élément deAest unique et nous le noteronsmin (A).

Démonstration Supposons queaeta^′soient deux plus grands éléments deA. Commeaest un plus grand élément deAet que a^′∈A, on doit avoira^′Éa. De façon symétrique, on a aussia^′Éa. Il s’ensuit quea=a^′.

Exemple 5.3

— N,Q,Rn’ont pas de plus grand élément.

— Npossède un plus petit élément (0) mais pasQniR.

— [0, 1]possède un plus grand et un plus petit élément.

— ]0, 1[ne possède ni de plus grand ni de plus petit élément.

— X=©

x∈Q|x²É2ª

ne possède pas de plus grand élément dansQmais il en possède un dansRqui vaut^p2. DÉFINITION5.16 Majorant, minorant

SoitAune partie deR(ou deQ) et soita∈R. On dit queaest

• un majorant deAsi et seulement si∀x∈A, xÉa.

• un minorant deAsi et seulement si∀x∈A, aÉx.

Remarque 5.14 Un majorant n’est pas unique. Le plus grand élément d’une partie, s’il existe, est un majorant de la partie qui, de plus, appartient à cette partie.

Exemple 5.4

— La partie[0, 1]possède par exemple comme majorants2et3et comme minorants₋1et0.

— La partieX=©

x∈Q|x²É2ª

admet par exemple5comme majorant.

DÉFINITION5.17 Borne supérieure SoitAune partie deR(ou deQ)

• Laborne supérieuredeAest, si elle existe, le plus petit élément de l’ensemble des majorants deA. On la note sup (A).

• Laborne inférieuredeAest, si elle existe, le plus grand élément de l’ensemble des minorants deA. On la note inf (A).

Exemple 5.5

— 0est la borne inférieure de[0, 1]ou de]0, 1[.

— 1est la borne supérieure de[0, 1]ou de]0, 1[.

— X=©

x∈Q|x²É2ª

ne possède pas de borne supérieure dans Q. Xpossède une borne supérieure dansR qui vaut^p2.

PROPOSITION5.23 Unicité de la borne supérieure

Si une partieAdeRpossède une borne supérieure alors celle-ci est unique.

Démonstration Nous avons montré que le plus petit élément d’un ensemble (ici les majorants deA) était unique.

Axiome de la borne supérieure Toute partie non vide et majorée deRpossède une borne supérieure.

Remarque 5.15 Cette propriété distingueRdeQ. En effet, la partieX={x∈Q|x²<2}n’admet pas de borne supérieure dansQ.

ε a x

X a−ε

F^IGURE5.2 – Caractérisation de la borne supérieure

THÉORÈME5.24 ⋆⋆⋆ Caractérisation de la borne supérieure SoientXune partie deRetaun nombre réel. Il y a équivalence entre :

1 aest la borne supérieure deX.

2 ∀x∈X,xÉa et ∀ε>0,∃x∈X, x∈]a−ε,a]

Démonstration

⇒ Supposons queaest la borne supérieure deX. Par définition de celle-ci,aest un majorant deXet la première affirmation de(2)est prouvée. Soitε>0, sia−εétait un majorant deX, on auraitaÉa−εce qui est faux. Puisquea−εn’est pas un majorant deX, il existex∈Xtel quea−ε<x.

⇐ Supposons maintenant que(2)est vraie et montrons queaest la borne supérieure deX. Il est clair queaest un majorant deX. Il faut montrer que c’est le plus petit des majorants deX. Supposons que ce ne soit pas le cas. Il existe alors un réel a^′qui majoreXet qui est plus petit quea. On a donc :

∀x∈X, xÉa^′<a

Posonsε=a−a^′>0. En appliquant (2), on peut affirmer qu’il existe un élémentx∈Xtel quex∈]a−ε,a]=¤

a^′,a¤. Mais alorsa^′<xeta^′ne peut être un majorant deXce qui prouve la seconde implication par l’absurde.

Remarque 5.16 Une erreur commise fréquemment dans la démonstration précédente : le réel a−ε n’appar- tient pas nécessairement à la partie A. Si l’on considère la partie A=[0, 1[∩(R\Q), elle possède une borne su- périeure sup A=1 et pour tout entier non nul n, avec ε=1/n, 1−ε6∈A. Cette erreur provient du fait que l’on fait souvent des dessins avec des partiesA qui sont des intervalles ouverts lorsqu’on raisonne sur les propriétés de la borne supérieure.Multimédia : représenter une partie A “à trous”, faire glisser a−ε et colorer un point x∈A tel que sup A−εÉxÉsup A.

THÉORÈME5.25 ⋆⋆⋆ Caractérisation séquentielle de la borne supérieure SoientXune partie deRetaun nombre réel. Il y a équivalence entre :

1 aest la borne supérieure deX.

2 aest un majorant deXet il existe(xn)n∈N∈X^Nune suite de limitea. Démonstration

⇒ Siaest la borne supérieure deXalors d’après le théorème précédent,aest un majorant deXet :_∀ε>0,∃x∈X, x∈ ]a−ε,a]. Alors pour toutn∈Net pourε=2⁻ⁿ, il existex∈]a−ε,a]∩X. Notonsx_nce point. On construit ainsi une suite (xn)_n∈N∈X^Nde limitea.

⇒ Réciproquement, si une telle suite(x_n)_n∈Nexiste et siaest un majorant deXalors commex_n−−−−−→_n

→+∞ a, pour toutε>0, on a pournassez grandx_n∈]a−ε,a+ε[. Maisaest un majorant deXet(x_n)_n∈N∈X^N. Doncamajore chaquex_net on a en faitxn∈]a−ε,a]. On démontre ainsi que pour toutε>0,]a−ε,a]∩X6=∅. On en déduit, par le théorème précédent, queaest la borne supérieure deX.

5.3.2 Parties ouvertes, fermées d’un evn

Dans toute la suite, on considère un evn(E,k k). DÉFINITION5.18 ⋆⋆ Voisinage

Soita∈EetV⊂E. On dit que la partieVest unvoisinagedu pointasi elle contient une boule ouverte centrée ena:

∃r>0, B(a,r)⊂V On notera^Val’ensemble des voisinages du pointa.

Remarque 5.17 Une union quelconque de voisinages de aest encore un voisinage dea. Une intersectionfiniede voisinages deaest encore un voisinage dea.

Remarque 5.18 HPLa notion de voisinage d’un point dépend de la norme. Si deux normes sont équivalentes, les voisinages d’un point pour une norme sont les mêmes que les voisinages du point pour l’autre norme.

DÉFINITION5.19 ⋆ Ouvert

Une partieO⊂Eest diteouvertesi pour touta∈O, il exister>0tel que la boule ouverte de centreaet de rayonr soit toute entière incluse dansO:B(a,r)⊂O:

∀a∈O, ∃r>0, B(a,r)⊂O

O a

(a) partie ouverte

F a

(b) partie fermée FIGURE5.3 – Parties ouvertes, fermées

Remarque 5.19 Une partie estEest ouverte si et seulement si c’est un voisinage de chacun de ses points. Voir l’exercice

??page??.

DÉFINITION5.20 ⋆ Fermé

Une partieF⊂Eest diteferméesi son complémentaire est ouvert :

∀x∈E \ F, ∃r>0, B(x,r)⊂E \ F

Exemple 5.6

— Une boule ouverte est un ouvert, voir l’exercice??page??.

— Une boule fermée est un fermé, voir l’exercice??page??..

— Une sphère est un fermé, voir l’exercice??page??.

— L’espace toute entierEest à la fois ouvert et fermé. En effet pour toutx∈E, on aB(x, 1)⊂EdoncEest ouvert.

De plus, pour toutr>0 B(x,r)∩E=B(x,r)6=∅doncEest fermé. Par passage au complémentaire, on en déduit que l’ensemble vide∅est aussi ouvert et fermé.

— Un singleton deEest fermé. En effet, six∈Ealors pour toutr>0,B(x,r)∩E={x}6=∅.

— Une union finie de points deEest donc fermée comme union finie de fermée/

— L’espace toute entierEprivé d’un nombre fini de points est ouvert comme complémentaire d’un ensemble fermé.

Voir l’exercice??page??pour les deux premiers points.

Attention 5.7 Une partie d’un espace vectoriel normé n’est pas toujours ouverte ou fermée. Elle peut être ouverte et fermée, elle peut aussi être ni ouverte, ni fermée.

THÉORÈME5.26 ⋆ Réunion, intersection d’ouverts

1. Si(O_i)_i∈Iest une famille d’ouverts deE, alors la la réunion^Si∈IO_i est encore une partie ouverte.

2. Une intersectionfiniede parties ouvertes est encore une partie ouverte.

Démonstration Voir l’exercice??page??.

THÉORÈME5.27 ⋆ Réunion, intersection de fermés

1. Une intersection quelconque de fermés est encore un fermé.

2. Une unionfiniede fermés est encore un fermé.

Démonstration Voir l’exercice??page??.

5.3.3 Adhérence, intérieur, frontière d’une partie d’un evn

DÉFINITION5.21 ⋆⋆ Intérieur d’une partie SoitA⊂Eune partie d’un evn(E,k.k).

1. Un pointa∈Eest ditintérieurà la partieAs’il existe une boule ouverte centrée enacontenue dans la partieA:

∃r>0, B(a,r)⊂A

2. L’ensemble de tous les points intérieurs d’une partieAest notéA^◦ et s’appellel’intérieurde la partieA.

Remarque 5.20 Siaest un point intérieur àAalorsa∈A.

P^ROPOSITION5.28 ⋆ L’intérieur d’une partie est le plus grand ouvert contenu dans cette partie SoitA⊂Eune partie d’un evn(E,k.k). Alors l’intérieur deAest le plus grand ouvert deEcontenu dansA:

A◦= [

A⊃O Oouvert

O .

Démonstration PosonsB= [

A⊃O Oouvert

O.

— L’intérieur deAest un ouvert. En effet soitx∈A^◦. Alors il exister>0tel queB(x,r)⊂A. Mais pour toutx^′∈B(x,r), on a B(x^′,r−°

°x^′−x°

°)⊂B(a,r)⊂Adoncx^′∈A^◦′. On montre ainsi queB(x,r)⊂A^◦.

— CommeA^◦est un ouvert deEcontenu dansA, on aA^◦⊂B.

— SoitOun ouvert deEcontenu dansA. Soitx∈Oalors commeOest ouvert, il exister>0tel queB(a,r)⊂O⊂Adonca est un point intérieur àAeta∈A^◦. DoncO⊂A^◦etB⊂A^◦.

Remarque 5.21 SiOest ouvert alors le plus grand ouvert deOcontenantOestOlui-même doncO^◦=O. DÉFINITION5.22 ⋆ Adhérence

Soit une partieA⊂E.

1. Un pointa⊂Eest ditadhérentà la partieAlorsque toute boule ouverte centrée enarencontre la partieA:

∀r>0, B(a,r)∩A6=∅

2. L’ensemble des points adhérents à la partieAs’appellel’adhérencede la partieAet se noteA.

Remarque 5.22 La borne supérieuresup Ad’une partie non vide et majorée deAest un point adhérent àA. En effet, si M=sup Aalors d’après le théorème de caractérisation de la borne supérieure, on a :

∀ε>0, ∃x∈A : M−ε<x<M autrement dit :

∀ε>0, B(M,ε)∩A6=∅_.

PROPOSITION5.29 ⋆ L’adhérence d’une partie est le plus petit fermé contenant cette partie SoitA⊂Eune partie d’un evn(E,k.k). Alors l’adhérence deAest le plus petit fermé deEcontenantA:

A= \

A⊂F Ffermé

F .

Démonstration

— Montrons que l’adhérence deAest un fermé deE. Pour ce faire, montrons queA^cest ouvert. On a les équivalences :

x∈A^c⇐⇒ ∃r>0 : B(x,r)∩A=∅_⇐⇒x∈

◦ z}|{

A^c.

On en déduit queA^c=

◦ z}|{

A^c c’est-à-dire quzA=





◦ z}|{

A^c



 c

. DoncAest fermé comme complémentaire d’un ouvert deE. Il est par ailleurs évident queA⊂A.

— NotonsB=T

A⊂F Ffermé

F. Il est alors clair queB⊂A.

— SoitFun fermé deEcontenantAet soita∈A. Sia6∈Falorsa∈F^cqui est ouvert. Donc il existe une bouleB(a,r)contenue dansF^c. Mais commeA⊂F, cette boule est disjointe deAce qui vient contredire le fait quea∈A. Par conséquenta∈Fet A⊂B. On montre ainsi queA=B.

Remarque 5.23 SiFest fermé alors le plus petit fermé deFcontenantFestFlui-même doncF=F. D^ÉFINITION5.23 ⋆ Frontière d’une partie

On appellefrontièred’une partieA, l’ensembleFr(A)=A \A^◦.

PROPOSITION5.30 ⋆ La frontière d’une partie est fermée SoitAun partie d’un evn(E,k.k). AlorsFr(A)est fermée.

Démonstration En effet,Fr(A)=A∩ µ◦

A

¶_c

est donnée comme l’intersection de deux fermés et est donc aussi fermée, voir exercice

??page??.

Exemple 5.8

— Sia,b∈R,Fr(]a,b])={a,b};

— SiB=B(a,r),Fr(B)={x∈E| kx−ak =r};

— Fr(Q)=R.

T^HÉORÈME5.31 ⋆ Caractérisation séquentielle des points adhérents SoitAune partie non-vide d’un evn(E,k.k). Soitx∈E. On a équivalence entre :

— x∈A;

— il existe une suite de points deA,(an)∈A^Ntelle quean−−−−−→_n

→+∞ x. Démonstration

⇒ Soitx∈Aalors pour toutn∈N^∗,B(x, 2⁻ⁿ)∩A6=∅. Soitx_n un point de cette intersection. On construit ainsi une suite (xn)de points deAqui converge versa.

⇐ Réciproquement, s’il existe(x_n)une suite de points deAqui converge versxalors pour toutr>0, il existeN∈Ntel que pour toutnÊN,xn∈B(x,r). Donc pour toutr>0,A∩B(x,r)6=∅etx∈A.

Remarque 5.24 SiAest une partie non vide et majorée deRalors on a vu dans la remarque 5.22 que sa borne supérieure sup Aest un point adhérent àA. Alors d’après le théorème précédent, il existe(xn)∈A^Nune suite de points deAtelle quexn−−−−−→_n

→+∞ sup A. Par ailleursaest un majorant deA. On retrouve ainsi le théorème 5.25 page 11 THÉORÈME5.32 ⋆ Caractérisation séquentielle des parties fermées

SoitFune partie non vide d’unK-espace vectoriel normé(E,k.k)On a équivalence entre :

— Fest fermé ;

— Toute suite convergente d’éléments deFa sa limite dansF. Démonstration

⇒ On suppose queFest fermé. DoncF=F. Soit(un)une suite convergente d’éléments deF. On notelsa limite. Alors par le théorème précédentl∈F=F.

⇐ Réciproquement, si toute suite convergente d’éléments deFa sa limite dansF, montrons queFest fermé. Il suffit pour ce faire de montrer queF=F. On sait déjà queF⊂F. Soitx∈F. Alors il existe d’après le théorème précédent une suite (x_n)∈F^Ntelle quex_n−−−−−→_n

→+∞ x. Mais, par hypothèse, on sait quex∈F. DoncF⊂F. On prouve ainsi queF=Fet queF est fermé.

Remarque 5.25 Ce théorème important dit qu’une partieFest fermée si elle contient les limites de toutes les suites convergentes deF.

P^LAN5.1 : Pour montrer qu’une partieFest fermée

— Considérons une suite quelconque de points deF:(xn)∈F^N.

— On suppose que cette suite converge vers un point deE:xn−−−−−→_n

→+∞ x∈E.

— Montrons que la limite reste dansF:x∈F.

5.3.4 Parties denses HP

DÉFINITION5.24 ⋆ Partie dense On considère un evn(E,k.k).

1. On dit que la partieAestdensedans la partieBlorsqueB⊂A. 2. On dit que la partieAestdensedansElorsqueA=E.

THÉORÈME5.33 ⋆ Caractérisation séquentielle des parties denses

Soit une partieAd’un evn(E,k.k). La partieAest dense dansBsi et seulement si pour tout point deB, il existe une suite de points deAqui converge vers ce point :

¡Aest dense dansB¢

(i)

⇐⇒¡

∀b∈B,∃(an)∈A^Ntelle quean−−−−−→_n

→+∞ b¢

(ii)

THÉORÈME5.34 ⋆ L’ensemble des rationnels ou des irrationnels est dense dansR 1. Qest dense dansR.

2. (R\Q)est dense dansR. Démonstration