EPFL 29 octobre 2007 Algèbre linéaire
1ère année 2007-2008
Série 6
L'exercice 1 est à rendre le 5 novembre au début de la séance d'exercices.
Dans cette série, le symbole F désigne soit R, soit C.
Exercice 1. Montrer que la liste (1, t,2t2−1,4t3−3t,8t4−8t2+ 1)forme une base deP4(R). (Ce sont les cinq premiers polynômes de Tchebychev.)
Exercice 2. Soit p(t) ∈ P(F) un polynôme non-nul de degré n. Montrer que p(t) et ses n dérivées forment une base dePn(F).
Exercice 3. Quelle est la dimension des F-espaces vectoriels suivants : 1. Mat(m, n;F);
2. les sous-espaces vectoriels A(n), S(n)⊆Mat(n, n;F)de la série 4.
Exercice 4. On appelle trace d'une matriceA= (αi,j)∈Mat(n, n;F) la somme des termes de la diagonale principale : tr(A) =α1,1+· · ·+αn,n.
1. Montrer que l'ensemble E = {A ∈ Mat(n, n;F)| tr(A) = 0} est un sous-espace vectoriel deMat(n, n;F). En déterminer la dimension.
2. Trouver un complément de E, i.e. un sous-espace vectoriel F de Mat(n, n;F) tel que E⊕F = Mat(n, n;F).
Exercice 5. Soient U et W des sous-espaces de F9 tels que dim(U) = dim(W) = 5. Montrer que U∩W 6={0}.
Exercice 6. Supposons que V est un F-espace vectoriel de dimension nie et que U est un sous-espace vectoriel tel que dim(U) = dim(V). Montrer queU =V.
