Agrégation externe de Mathématiques
TD Famille libre, famille génératrice, dimension
E. Aubry
Exercice 1 Soit (Pi)i∈N une famille de polynômes de K[X] (resp. unitaires de A[X]) tels quedegPi=ipour touti∈N. Montrer que(Pi)forme une base de K[X] (resp. deA[X]).
Exercice 2 SoitE un K-espace vectoriel de dimension nie et(Fi)i∈I une famille de sous- espaces vectoriels de E. Montrer qu'il existe des sous ensembles nis J et K de I tels que
∩i∈IFi=∩j∈JFj etP
i∈IFi=P
k∈KFk.
Exercice 3 SoitE un A-module libre de base(ei)i∈I. Montrer queE est isomorphe à A(I). On noteE∗ le module dual (i.e. l'ensemble des applications linéaires deE dansA). Montrer queE∗ est isomorphe àAI.
Exercice 4 SoitKun corps et(x1,· · ·, xn)∈Kn des points distincts. Montrer que pour tout (α1,· · ·, αn)∈Kn, il existe un uniqueP ∈Kn−1[X]tel queP(xi) =αi pour tout1≤i≤n. A quelles conditions la propriété reste vraie, si on remplace le corpsK par l'anneauZ?
Exercice 5 SoitK⊂K0 deux corps commutatifs etE un K0-espace vectoriel. Montrer que si E est de dimension nie sur K0 et si K0 est de dimension nie sur K alors E est de dimension nie sur K et qu'on a dimKE = dimKK0 ·dimK0E. Montrer que si E est de dimension nie surK alors il est de dimension nie surK0 et que si E6={0} alors K0 est de dimension nie surK.
En déduire qu'il n'existe pas de corps intermédiaire entre R etC. Montrer que si K est un corps ni de caractéristique palors il existen∈Ntel que#K=pn.
Exercice 6 Caractériser les vecteurs(a, b)∈Z2 qui peuvent être complèté en une base duZ module Z2. Trouver tous les vecteurs (c, d) tels que (2,3); (c, d)forme une base de Z2. Exercice 7 SoitEetF desK-espaces vectoriels de dimensionnetp, etf ∈ L(E, F)de rang r. Calculer la dimension du sous-espaceAdeL(F, E)déni parA={g∈ L(F, E)/f◦g◦f = 0}.
Exercice 8 Soit E un K-espace vectoriel de dimension nie et f ∈ L(E). Montrer qu'il existe P∈K[X] tel queP(f) = 0.
Exercice 9 Soit f un endomorphisme de R8 tel que rgf2 = 4. Quels sont les rangs de f possibles?
Exercice 10 Soitx0=−∞,xn+1= +∞etx1<· · ·< xndes réels. Quelle est la dimension de l'espace des fonctions C1 sur Rdont la restriction à chaque ]xi, xi+1[est un polynôme de dégré au plus2?
Exercice 11 Soit p un nombre premier, F un corps de cardinal pn et E un F-espace vec- toriel de dimension n. Quels sont les nombres d'éléments, de bases, d'endomorphismes et d'automorphismes deE?
Exercice 12 Soit K un sous-corps de L. Un élément α ∈ L est dit algèbrique sur K s'il existeP ∈K[X]tel que P(α) = 0. Montrer queαest algèbrique surK ssiK[α] est un corps ssiK[α]est unKespace vectoriel de dimension nie. En déduire que l'ensemble des éléments deLalgèbriques surK est un corps.
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