Chap 30 : Equations non linéaires ordinaires
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Chap 30 : Equations non linéaires ordinaires
) ' (
( , )
espace de Banach, ouvert de E y x y
E U f
I. Solution d’une équation différentielle
1
) ( , )
( , ). (
( , ) ( , ( )) '( ) ( , ( ))
est un couple où est un intervalle non trivial de
ouvert de , Une solution de l'équation différentielle
et , et
,
U E f U E
I E x I x x U x f x x
I
I f
C
C
0, 0 0 0 0
( ) ( )
Une solution passe par le point x y U lorsque x I et f x y
: ( ) \
ouvert de , est localement lipschitzienne si , tq V est lispschitzienne
U X f U F f x U VV x f
1 localement lipschitzienne f C
1. Dans le cadre du programme, tous les théorèmes utilisent des fonctions En réalité, "localement lipschitzienne" est suffisant
C
1
0 0
0 0 0
0 0 0 0
) ' ( , ) ( , ) (
( , ) ( ( )
( , ) ( ( ) ( ) ( ) (
( , ) )
) )
Cauchy-Lipschitz : ,
solution de telle que et t
Si est solution de q et , tq : ,
f U x y U
I I x y
J J x y V x x V I J
y x
x
x
x x
f y
C
V
' ( , , ') 0
Les théorèmes sont vrais pour les ED résolues en : ne pas les utiliser pour y f x y y
0 0
( , ) ( , ) ( ) ( , )
Mêmes hypothèses : si I et J sont deux sols de passant par x y , et coïncident sur IJ
{xint(IJ) / ( ) x ( )}y est fermé dans int(IJ), avec CL, vois. de tous ses pointsA ouvert 1 2
( )
' | | 0 4 0 0
0
Contre exemple : non loc. lipschitzienne : : et si sont sol, de val en si
x a x a
f y y
x a
II. Ordre sur les solutions, solutions maximales
( , )I prolonge ( , )J si J I et \J
1
0 0 0 0 0
0 0 0
( )
\
( , ) ( , ) !( , ) ( ( )
(( , ) ( ) ( )
) )
, solution de et
sol de tq et et
L'intervalle de définition est a
telle que :
lors ouvert.
I
J
f U E x y U I I x y
J E x J x y J I
I
x
C
0 0
)
) ( )
( ( , )
(
Cette solution est la solution maximale de passant par
Les graphes des solutions maximales de l'E D sont appelée courbes intégrales de x y
)
( .
Sous les hypothèses de CL, les courbes intégrales de forment une partition de U
III. Prolongement
// // 1
( , ) (] , [ ), . 0 {( , ( )) / ] , [}
( ) ]
, )
, [
( Si tq compact de ,
on peut trouver tq se prolonge en une sol de sur , sol de
HP f U E a b b x x x b b K U
c b a c
C
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( ) ] , [ '( ) ( , ( )) ' lim ( ,
( ) ( ) ( , )
, est bornée sur est int , par fermeture )
et , est sol, non max ( non ouv
de ,
Si ert) ...
I
b
x b
b l b f b l J
b x f x x f X l K b l K U
( )I Cas part. : définie sur f E, bornée sur [ , ]a b E( a b) Toute sol max de( ) est définie sur
' '
Sur , la monotonie peut remplacer l'hypothèse compacte.
Si est bornée au voisinage de , on peut utiliser l'intégrabilité de ou le critère de Cauchyf b f
2 2 2
2
2 2
'( ) ( ) 1 ( ) '( ) 1 arctan )
'
1 ( ) (
Toutes les solutions de sont définies sur des intervalles bornés
x non
x x x
y
x x
x x y
